北师大版高中数学选择性必修第一册1-1-5两条直线的交点坐标学案

1.5　两条直线的交点坐标

[笔记教材]

知识点　两条直线的交点坐标

(1)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示.

(2)依据直线方程的概念可知，两条直线l1，l2交点的坐标就是两个方程的公共解．因此，可通过求解方程组得到两条直线l1，l2的交点坐标．

答案：(1)相交　重合　平行

[重点理解]

1．关于过两条直线交点的直线方程的说明

(1)直线l1与l2是相交直线，设交点为P(x0，y0)，方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过点P(x0，y0)，除l2外的所有直线．

(2)点斜式y－y0＝k(x－x0)和斜截式y＝kx＋b都是交点直线系．

①将点斜式整理为y－y0－k(x－x0)＝0，对照交点直线系方程(*)，其中λ就是－k，y－y0＝0是直线l1，x－x0＝0是直线l2，故y－y0＝k(x－x0)是过点(x0，y0)除x＝x0外的一切直线．

②同①可说明直线系y＝kx＋b(b为已知，k为参数)是过点(0，b)除x＝0(即y轴)外的所有直线．

(3)已知三条直线相交于一点，求直线方程中的参数，只需求出其中两直线的交点，利用该点也在第三条直线上即可求解．已知三条直线有三个不同的交点，需满足其中两条直线的交点不在第三条直线上和三条直线的斜率不同．

2．关于直线恒过定点问题

(1)中心直线系：把平面内恒过定点的直线的全体称为中心直线系．中心直线系过确定一点．中心直线系里的所有直线均过该定点．

(2)解决含参数的直线恒过定点问题，常用的方法有四种：

①直接法：将已知的方程转化为点斜式、斜截式或截距式方程，进而得定点．

②特殊法：取出直线系中的两条直线，它们的交点即为这两条直线的交点，也就是所有直线都过的定点．

③任意法：任取直线系中的两条直线，它们的交点即为这两条直线的交点，也就是所有直线都过的定点．

④方程法：将已知的方程整理成关于参数的方程，由于直线恒过定点，则关于参数的方程应有无穷多解，进而求出定点．如整理成f(x)＋a·g(x)＝0，而该方程有无穷多解，则有f(x)＝0且g(x)＝0，其解就是所有直线都恒过的定点．

[自我排查]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)两条直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点坐标就是方程组的解．(√)

(2)两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(3,2)．()

2．下列直线与直线x＋y＝0相交的是(　　)

A．y＝－x＋3    B．－x－y＋＝0

C．x－y＋2＝0    D．2x＋2y－5＝0

答案：C

3．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________．

答案：a≠2

    研习1   求两条直线交点的坐标

[典例1]　判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标．

(1)l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0；

(2)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0；

(3)l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0.

(1)[解]　解方程组得所以交点坐标为(2,1)，所以l1与l2相交．

(2)[解]　解方程组

①×2，得4x－6y＋10＝0.因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．

(3)[解]　解方程组①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程组无解，所以两条直线无公共点，l1∥l2.

[巧归纳]　解答本题充分利用了直线相交与联立直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解此类问题的基础．

[练习1]直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为(　　)

A．(1，－4)　    B．(0，－2)

C．(－1,0)　   D．

答案：C

解析：由两条直线互相垂直，得(－2)·＝－1，a＝－2，解方程组得所以两直线的交点为(－1,0).

研习2   求过两直线交点的直线方程

[典例2]　求过直线l1：3x＋2y－7＝0与l2：x－y＋1＝0的交点，且平行于直线5x－y＋3＝0的直线方程．

[解]　方法一：由得又所求直线与直线5x－y＋3＝0平行，所以斜率k＝5，由点斜式得y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.

方法二：设所求直线方程为3x＋2y－7＋λ(x－y＋1)＝0，即(λ＋3)x＋(2－λ)y－7＋λ＝0.∵直线与5x－y＋3＝0平行，∴－(λ＋3)＝5(2－λ)，解得λ＝，∴所求直线为3x＋2y－7＋(x－y＋1)＝0，即5x－y－3＝0.

[巧归纳]　常见的直线系方程：

(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0.(3)过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2为参数)．当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为l1；当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为l2.

[练习2]求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．

解：方法一：由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．

∵直线过坐标原点，所以其斜率k＝＝－1，直线方程为y＝－x，一般式为x＋y＝0.

方法二：∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0，将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1，∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.

研习3  直线过定点问题

[典例3]　求证：无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标．

[证明]　方法一：当k＝1时，直线方程为x＝1.当k＝0时，直线方程为x＋y＝0.由得交点P(1，－1)，将P(1，－1)代入原方程左边，得k＋1－(k－1)×(－1)－2k＝k＋1＋k－1－2k＝0，即点P的坐标总适合直线方程．∴无论k取何实数，点P(1，－1)总在直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0上．

方法二：将原方程化为k(x－y－2)＋x＋y＝0，要使其对任意实数k恒成立，则有解得∴不论k为何实数，原直线都过定点(1，－1)．

[巧归纳]　1.求直线过定点，可以分离参数，即将原方程化为f(x，y)＋mg(x，y)＝0的形式，欲使此式成立与m的取值无关，则由此方程组求得定点坐标．

2．分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程成立，则此点为定点．

[练习3]若将本例中的直线方程改为(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5，应如何求解？

证明：方法一：取m＝1，则直线方程为y＝－4；取m＝，则直线方程为x＝9.两直线的交点为P(9，－4)，将点P的坐标代入原方程左边得(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5.故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即直线恒过点P(9，－4)．

方法二：原方程化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.若对任意m都成立，则有解得

∴不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，－4).

研习4  三线共点问题

[典例4]　已知三条直线l1：x＋y－1＝0，l2：ax－2y＋3＝0，l3：x－(a＋1)y－5＝0.

(1)若这三条直线交于同一点，求实数a的值；

(2)若这三条直线相交，且能围成一个三角形，求实数a的取值范围．

(1)[解]　由l1，l2的方程组成的方程组

解得所以l1与l2的交点是P.又因为三条直线交于同一点，所以点P的坐标满足l3的方程，即－(a＋1)·－5＝0，解得a＝－7或a＝－2(舍去)．故a＝－7.

(2)[解]　要使l1，l2，l3能围成三角形，应使l1，l2，l3两两相交．①若l1，l2，l3交于同一点，由(1)知a＝－7；

②若l1∥l2，此时应满足1×(－2)＝1×a，得a＝－2；③若l1∥l3，此时应满足1×(－a－1)＝1×1，得a＝－2；④若l2∥l3，此时应满足－a(a＋1)＝－2×1，得a＝－2或a＝1.

综上，当a＝－7时，三条直线交于同一点；当a＝－2时，三条直线两两平行；当a＝1时，l2与l3平行，都与l1相交．因此要使三条直线能围成三角形，需a≠－7，且a≠－2，且a≠1.

即a的取值范围是(－∞，－7)∪(－7，－2)∪(－2,1)∪(1，＋∞)．

[巧归纳]　1.证明三线共点或已知三线共点求参数时，通常是先求出其中两条直线的交点，再令该交点在第三条直线上，从而解决问题．

2．给出三条直线方程，方程中含有参数，且三条直线构成三角形，求参数的取值范围时，可以先找构不成三角形的条件，然后利用补集思想求其反面，即得所求参数的取值范围．

[练习4]设有三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4.求当m为何值时，这三条直线不能构成三角形．

解：因为l1，l2，l3无任意两条直线对应系数成比例，所以三条直线中任两条都不重合．①当三条直线交于一点时，由得l1与l2的交点A.要使点A在l3上，即2·－3m·＝4，解得m＝或m＝－1.②当有两条直线平行时，若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－；若l2∥l3，则2＝－3m2，无解．

综上，当m＝－1，－，或4时，这三条直线不能构成三角形．

1．与直线3x－2y＋7＝0关于y轴对称的直线方程为(　　)

A．3x＋2y＋7＝0

B．3x＋2y－7＝0

C．－3x＋2y－7＝0

D．－3x＋2y＋7＝0

答案：B

解析：与直线3x－2y＋7＝0关于y轴对称的直线方程是3(－x)－2y＋7＝0，即3x＋2y－7＝0

2．若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有(　　)

A．2个     B．3个

C．4个    D．6个

答案：C

解析：三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－；若l2∥l3，则m的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m＝1或－.故实数m的取值最多有4个，故选C.

3．若直线l1：y＝k(x－6)与直线l2关于点(3,1)对称，则直线l2恒过定点________．

答案：(0,2)

解析：直线l1：y＝k(x－6)恒过定点(6,0)，定点关于点(3,1)对称的点为(0,2)．又直线l1：y＝k(x－6)与直线l2关于点(3,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．

4．直线l1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为________．

答案：(1，)

解析：由题知，直线l1的方程为y＝(x＋2)，因为直线l2与l1垂直，所以直线l2的斜率k2＝－，故直线l2的方程为y＝－(x－2)，联立l1与l2的方程得交点坐标是(1，)．

[误区警示]

因考虑问题不全面致错

[示例]　若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　　)

A．k>－

B．k<2

C．－<k<2

D．k<－或k>2

[错解]　A，B或D

[错因分析]　此题容易出错的地方有三点：一是没有正确求出交点坐标；二是交点在第一象限内的符号表示错误；三是没有利用数形结合的方法而使计算繁琐出现错误．

[正解]　C　由题意知，直线l1过定点P(－1,2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2,0)，B(0,4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA＝－，kPB＝2，所以－<k<2.故选C.

[题后总结]　解决此类问题的关键是要考虑全面，若注意运用数形结合，则事半功倍．