高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆与圆的位置关系导学案及答案

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[笔记教材]
知识点 圆与圆的位置关系的判定方法
(1)几何法：
圆C1(x－x1)2＋(y－y1)2＝req \\al(2,1)(r1＞0)，
圆C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req \\al(2,2)(r2＞0)，
两圆的圆心距d＝|C1C2|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)，则有
(2)代数法：圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq \\al(2,1)＋Eeq \\al(2,1)－4F1＞0)，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq \\al(2,2)＋Eeq \\al(2,2)－4F2＞0)，两圆的方程联立得方程组，则有
答案：(1)d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
(2)相交 外切 内切 外离 内含
[重点理解]
1．判断两圆位置关系的特别提醒
(1)当r1＝r2时，两圆不会出现内切或内含的情况．若两圆的圆心距d＝0且r1＝r2，则两圆重合．
(2)利用代数法判断两圆的位置关系时，方程无解或是只有一解时两圆的位置关系不确定，因此还需要结合其他条件进行判断．此时可以将其中一个较小的圆的圆心坐标代入另一个圆的方程中，通过判断此圆心在另一圆的圆内还是圆外，从而得到两圆确切的位置关系．
2．判断圆与圆的位置关系的步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准方程，则此步骤省略)．
(2)求两圆的圆心坐标和半径r1，r2.
(3)求两圆圆心的距离d.
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系．
(5)根据大小关系确定位置关系．
3．对于两圆公共弦的三点说明
(1)将两圆的方程相减求两圆公共弦所在直线的方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解．若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数．
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．(3)当两圆的半径相等时，两圆关于公共弦所在的直线对称．
4．求两圆公共弦长的具体方法及注意事项
(1)求弦长方法：若求两圆公共弦长，则：①利用两圆方程组成的方程组求得两交点的坐标，再利用两点间距离公式求解即可．②利用圆心到公共弦所在直线的距离及勾股定理也可求得公共弦长，其具体步骤是：a.两圆的方程作差，求出公共弦所在的直线方程；b.求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离；c.利用勾股定理求出公共弦长．
(2)求解两圆的公共弦所在直线方程及长度的注意事项：①公共弦长的求解是以公共弦所在直线方程的求解为基础的，两圆的公共弦长转化到一个圆的弦长问题解决；②要注意数形结合的思想．
5．判断两圆公切线条数的文字表述
设两圆圆心距为d，两圆半径分别为R，r，则
(1)当d>R＋r时，两圆外离，此时有四条公切线．
(2)当d＝R＋r时，两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条．
(3)当|R－r|(4)当d＝|R－r|时，两圆内切，连心线过切点，只有一条公切线．
(5)当0≤d<|R－r|时，两圆内含，没有公切线．
在求两圆的公切线时，先要判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止漏解；其次，应注意公切线的几何性质，得出最佳解法．由两圆外公切线分圆心距成两圆半径之比，内公切线内分圆心距成两圆半径之比，故两圆公切线与连心线的交点可求，从而公切线可求．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)如果两个圆无公共点，那么这两个圆相离．()
(2)两圆方程联立，若有两个不同解，则两圆相交．(√)
(3)两个半径不相等的同心圆从位置关系上来说是内含．(√)
(4)若两圆有且只有一个公共点，则两圆外切．()
2．圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9的位置关系是( )
A．相离 B．外切
C．相交 D．内切
答案：B
3．(2022江西南昌二中模拟)若圆C：x2＋y2＝5－m与圆E：(x－3)2＋(y－4)2＝16有三条公切线，则m的值为( )
A．2 B.eq \r(3)
C．4 D．6
答案：C
4．已知圆O1与圆O2的方程分别为(x－1)2＋y2＝1，(x＋1)2＋y2＝r2(r>1)，若两圆相交，则r的取值范围是________．
答案：(1,3)
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝________.
答案：±1
研习1 判断两圆的位置关系
[典例1] 当a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.
(1)外切；
(2)相交；
(3)外离.
[解] 将两圆方程写成标准方程，C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.
设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.
(2)当1(3)当d>5，即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离，此时a>2或a<－5.
[巧归纳] 1.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径．
(2)计算两圆圆心的距离d.
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系.
[练习1](2022四川西昌模拟)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262～公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O(0,0)，A(3,0)，动点P(x，y)满足eq \f(|PA|,|PO|)＝2，则动点P的轨迹与圆(x－1)2＋y2＝1的位置关系是( )
A．外离 B．外切
C．相交 D．内切
答案：C
解析：设P(x，y)，由|PA|＝2|PO|，得(x－3)2＋y2＝4x2＋4y2，
整理得(x＋1)2＋y2＝4，表示圆心为(－1,0)，半径R＝2的圆，圆(x－1)2＋y2＝1表示圆心为(1,0)，半径r＝1的圆，两圆的圆心距为2，满足R－r<2故选C.
研习2 两圆相切问题
[典例2] 已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
求：(1)m取何值时，两圆外切；
(2)m取何值时两圆内切，求此时的公切线方程．
[解] 两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.
圆心分别为C1(1,3)，C2(5,6)，半径分别为eq \r(11)和eq \r(61－m).
(1)当两圆外切时，eq \r(5－12＋6－32)＝eq \r(11)＋eq \r(61－m).
解得m＝25＋10eq \r(11).
(2)当两圆内切时，因定圆的半径eq \r(11)小于两圆圆心距5，
故有eq \r(61－m) －eq \r(11)＝5.
解得m＝25－10eq \r(11).
因为kc1c2＝eq \f(6－3,5－1)＝eq \f(3,4)，
所以两圆公切线的斜率是－eq \f(4,3)，
设切线方程为y＝－eq \f(4,3)x＋b，则有eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)×1＋3－b)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋1))＝eq \r(11).
解得b＝eq \f(13,3)±eq \f(5\r(11),3).
容易验证，当b＝eq \f(13,3)＋eq \f(5\r(11),3)，直线与另一圆相交，
故所求公切线方程为y＝－eq \f(4,3)x＋eq \f(13,3)－eq \f(5\r(11),3).
即4x＋3y＋5eq \r(11)－13＝0.
[巧归纳] 求公切线的五个步骤
(1)判断公切线的条数．
(2)设出公切线的方程．
(3)利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值．
(4)验证特殊情况下的直线是否为公切线．
(5)归纳总结．
[练习2]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
答案：C
解析：圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
又圆C1：x2＋y2＝1，所以|C1C2|＝5.
又因为两圆外切，所以5＝1＋eq \r(25－m)，解得m＝9.
研习3 与两圆相交有关的问题
[典例3] 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
(1)[解] 将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5eq \r(2)，圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝eq \r(10).
又∵|C1C2|＝2eq \r(5)，r1＋r2＝5eq \r(2)＋eq \r(10)，r1－r2＝5eq \r(2)－eq \r(10)，
∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，
∴两圆相交．
(2)[解] 将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)[解] 方法一：由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离d＝eq \f(|1－2×－5＋4|,\r(1＋－22))＝3eq \r(5)，
∴公共弦长l＝2eq \r(r\\al(2,1)－d2)＝2eq \r(50－45)＝2eq \r(5).
方法二：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2.))
即A(－4,0)，B(0,2)．
∴|AB|＝eq \r(－4－02＋0－22)＝2eq \r(5)，即公共弦长为2eq \r(5).
[巧归纳] 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法：若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
2．公共弦长的求法：(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
[练习3](2022重庆八中模拟)(多选题)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，下列说法正确的为( )
A．两圆有两条公切线
B．直线AB的方程为y＝2x＋2
C．线段AB的长为eq \f(6,5)
D．圆O上一点E，圆M上一点F，|EF|的最大值为eq \r(5)＋3
答案：AD
解析：对于A，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；对于B，因为圆O：x2＋y2＝4，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，两圆作差得4x－2y＋4＝－4，即y＝2x＋4，所以直线AB的方程为y＝2x＋4，故B错误；对于C，圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线AB的距离d＝eq \f(4,\r(4＋1))＝eq \f(4\r(5),5)，所以|AB|＝2eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(5),5)))2)＝eq \f(4\r(5),5)，故C错误；对于D，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的圆心M(－2,1)，半径为1，所以|EF|max＝|OM|＋2＋1＝eq \r(5)＋3，故D正确．故选AD.
研习4 两圆位置关系的应用
[典例4] 求过两圆x2＋y2－4＝0和x2－4x＋y2＝0的交点，且圆心在直线x－eq \r(3)y－6＝0上的圆的方程．
[解] 方法一：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－4＝0，,x2＋y2－4x＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝\r(3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－\r(3)，))
∵点(1，eq \r(3))和(1，－eq \r(3))都在直线x＝1上，
故过这两个点的圆的圆心在x轴上．
又圆心在直线x－eq \r(3)y－6＝0上，
∴圆心为(6,0)，半径r＝eq \r(6－12＋\r(3)2)＝eq \r(28).
∴圆的方程为(x－6)2＋y2＝28.
方法二：设所求圆的方程为x2＋y2－4＋λ(x2＋y2－4x)＝0(λ≠－1)．
整理得x2＋y2－eq \f(4λ,1＋λ)x－eq \f(4,1＋λ)＝0.
∵圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2λ,1＋λ)，0))在直线x－eq \r(3)y－6＝0上，
∴eq \f(2λ,1＋λ)－6＝0，
解得λ＝－eq \f(3,2).
∴所求圆的方程为x2＋y2－12x＋8＝0.
[巧归纳] 常见的圆系方程
(1)设两相交圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则C3：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两相交圆交点的圆(不包括C2)；当λ＝－1时，(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0表示两圆的公共弦所在直线的方程．(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0，表示过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线ax＋by＋c＝0交点的圆．
[练习4]求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋eq \r(3)y＝0相切于点(3，－eq \r(3))的圆的方程．
解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
将x2＋y2－2x＝0化为标准方程，得(x－1)2＋y2＝1，
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(a－12＋b2)＝r＋1，,\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r，,\f(b＋\r(3),a－3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(3))))＝－1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝0，,r＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝－4\r(3)，,r＝6，))
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq \r(3))2＝36.
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．外切
C．内切 D．相交
答案：D
解析：圆O1的圆心为(1,0)，半径r1＝1，圆O2的圆心为(0，－2)，半径r2＝2，|O1O2|＝eq \r(5)，r1＋r2＝3，r2－r1＝1，所以r2－r1<|O1O2|2．以点(2，－2)为圆心且与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0外切的圆的方程是( )
A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9
C．(x－2)2＋(y－2)2＝16
D．(x－2)2＋(y＋2)2＝16
答案：B
解析：由x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心(－1,2)，半径r1＝2，
故所求的圆的半径r2＝eq \r(2＋12＋－2－22)－2＝5－2＝3，则所求的圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝9，故选B.
3．(2022吉林长春外国语学校模拟)两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案：B
解析：将两圆方程化为标准式，得
C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4与C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4两圆的圆心分别是(－1，－1)，(2,1)，半径分别是2,2，则04．两圆C1：x2＋y2＝a与C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则a的值为________．
答案：1或121
解析：x2＋y2＋6x－8y－11＝0⇔(x＋3)2＋(y－4)2＝36，
从而C1(0,0)，r1＝eq \r(a)，C2(－3,4)，r2＝6，
因为C1与C2内切，所以|C1C2|＝|r2－r1|,5＝|6－eq \r(a)|，所以a＝1或121.
[误区警示]
两圆位置关系考虑不全面致错
[示例] 求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．
[错解] 设所求圆的圆心为C(a，b)，则 eq \r(a－42＋b＋12)＝1，①
当两圆相切时，有eq \r(a－22＋b＋12)＝3，②
由①②解得a＝5，b＝－1.
∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1.
[错因分析] 错解中误认为两圆相切就是两圆外切，而丢掉两圆内切时的情况．
[正解] 设所求圆的圆心为C(a，b)，则 eq \r(a－42＋b＋12)＝1，①
(1)当两圆外切时，有eq \r(a－22＋b＋12)＝3，②
由①②解得a＝5，b＝－1.
∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1.
(2)当两圆内切时，有eq \r(a－22＋b＋12)＝1，③
由①③解得a＝3，b＝－1.
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
[题后总结] 两圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离，在用圆心距与两个圆的半径的和、差的绝对值之间的大小关系进行判断时，要特别注意两圆相交和内含成立的充要条件：相交时|r1－r2|新课程标准
新学法解读
能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系.
1.结合教材实例了解圆与圆的位置关系．
2．会解决圆与圆的位置关系有关的问题．
3．会解决圆与圆相切，相交弦长等相关的问题；能解决简单轨迹问题.
位置
关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与
r1，r2
的关系
____
____
|r1－r2|
＜d
＜____
____
____
方程组解的情况
2组
1组
0组
两圆的公共点
2个
1个
0个
两圆的位置关系
____
____或____
____或____