北师大版高中数学选择性必修第一册2-1-1椭圆及其标准方程学案

第二章　圆锥曲线 §1　椭　　圆 1.1　椭圆及其标准方程新课程标准新学法解读1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，理解椭圆标准方程的推导和化简过程．2．掌握椭圆的定义，标准方程及几何图形.1.结合教材实例掌握椭圆的定义．2．掌握椭圆的标准方程、几何图形、会用待定系数法求椭圆的标准方程．3．通过椭圆概念的引入和椭圆方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力. [笔记教材]知识点一　椭圆的定义定义平面内到两个定点F1，F2的_____________(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆焦点两个________叫作椭圆的焦点焦距两个焦点间的________叫作椭圆的焦距，焦距的________称为半焦距．集合语言P＝{M|______________，2a>|F1F2|}答案：距离之和等于常数　定点　距离　一半　|MF1|＋|MF2|＝2a知识点二　椭圆的标准方程 焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0) 续表 焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点坐标________________________a，b，c的关系________________答案：F1(－c,0)，F2(c,0)　F1(0，－c)，F2(0，c)　c2＝a2－b2 [重点理解]1．关于椭圆定义的说明条件结论2a>|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a＝|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a<|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在2.方程＋＝1表示椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是 [自我排查]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.(√)(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆．()2．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是(　　)A．椭圆  B．直线  C．圆  D．线段答案：A3．(2022四川外国语学校月考)已知椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，则△ABF2的周长为(　　)A．2  B．4  C．6  D．8答案：D4．(2022陕西安康模拟)已知椭圆C：＋＝1，点A(1,1)，则点A与椭圆C的位置关系是(　　)A．点A在椭圆C上B．点A在椭圆C内C．点A在椭圆C外D．无法判断答案：B5．椭圆＋＝1的焦点在________轴上，焦距是________，椭圆＋＝1的焦点在________轴上，焦点坐标是____________．答案：x　8　y　(0，)和(0，－)研习1  与椭圆有关的轨迹问题[典例1]　已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程.[解]　如图所示，连接AP，∵l垂直平分AC，∴|AP|＝|CP|，∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4＞|AB|＝2，∴P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∵2a＝4,2c＝|AB|＝2，∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.∴点P的轨迹方程为＋＝1.[巧归纳]　求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；(2)首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准方程，求出其中a，b的值，得到标准方程．[练习1](2022湖南湘南三校联盟联考)平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|＋|PB|＝8，则|PA|的取值范围是(　　)A．[1,4]  B．[2,6]C．[3,5]  D．[3,6]答案：C解析：根据题意，|AB|＝2，|PA|＋|PB|＝8>2，所以动点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝8,2c＝|AB|＝2.所以a＝4，c＝1，因为||PA|－|PB||≤2，所以3≤|PA|≤5，所以|PA|的取值范围是 [3,5]，故选C.研习2  椭圆的焦点三角形[典例2]　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．[解]　由已知得a＝2，b＝，∴c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②将②代入①解得|PF1|＝，∴S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝××2×＝.∴所求△PF1F2的面积是.[巧归纳]　椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求面积，这时可把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝4a2－2|PF1||PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量．[练习2](2022海南海口检测)(多选题)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是(　　)A．AF＋BF为定值B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]C．当m＝时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF 的面积为答案：AD解析：设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，因为|AF|＋|BF|为定值6，∴|AB|的范围是(0,6)，∴△ABF的周长的范围是(6,12)，B错误；将y＝与椭圆方程联立，可解得A(－，)，B(，)，又∵F(，0)，∴BA·BF＝(－2，0)·(－，－)＝6－6<0，∴△ABF不是直角三角形，C不正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)，∴S△ABF＝×2×1＝，D正确．故选AD.研习3  求椭圆的标准方程[典例3]　写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a＝4，c＝3，焦点在y轴上；(2)a＋b＝8，c＝4；(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．[解]　(1)焦点在y轴上，设标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)⇒⇒⇒∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(3)方法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有解得故所求椭圆的方程为＋＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有得，舍去，故所求椭圆的方程为＋＝1.方法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．依题意有解得故所求椭圆的方程为＋＝1.[巧归纳]　求椭圆标准方程的一般步骤为：[练习3](2022山西长治检测)经过两点A(0,2)，B的椭圆的标准方程为________．答案：x2＋＝1解析：由于未知椭圆焦点在哪个轴上，所以可设椭圆方程为＋＝1，将A(0,2)，B 代入方程可得解得m＝1，n＝2，所以椭圆方程为x2＋＝1.故答案为x2＋＝1.1．下列说法正确的是(　　)A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为8的点的轨迹是椭圆B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆C．到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D．到F1(－4,0)，F2(4,0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆答案：C解析：椭圆是到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．A中，|F1F2|＝8，故到F1，F2两点距离之和为常数8的点的轨迹是线段F1F2.B中，到F1，F2的两点距离之和为6，小于|F1F2|的距离，故这样的轨迹不存在．C中，点(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4>|F1F2|＝8，故轨迹是椭圆．D中，轨迹是线段F1F2的垂直平分线．故选C.2．已知椭圆＋＝1上一点P，它到左焦点F1的距离为2，则它到右焦点的距离为(　　)A．4  B．6  C．30  D.答案：B解析：由定义|PF1|＋|PF2|＝8，知|PF2|＝6.3．(2022湖南邵东一中检测)已知椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|＝10，弦MN过点F2，则ΔF1MN的周长为(　　)A．10   B．20  C．10   D．20答案：D解析：∵|F1F2|＝2c＝10，∴c＝5，∴a＝＝＝5.由椭圆定义知：|MF1|＋|MF2|＝|NF1|＋|NF2|＝2a＝10，∴△F1MN的周长为|MF1|＋|MF2|＋|NF1|＋|NF2|＝20.故选D.4．(2022湖南雅礼中学月考)“2<m<6”是“方程＋＝1为椭圆”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：若方程＋＝1表示椭圆，则解得2<m<6且m≠4，所以2<m<6是方程＋＝1表示椭圆的必要不充分条件．故选B.5．(2022吉林长春希望高中检测)求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程为________．答案：＋＝1解析：椭圆9x2＋5y2＝45化成标准方程，得＋＝1，∴椭圆的焦点在y轴，且c2＝9－5＝4，得c＝2，焦点为(0,2)，(0，－2)．∵所求椭圆经过点M(2，)且与已知椭圆有共同的焦点，∴设椭圆方程＋＝1，将M(2，)代入＋＝1，解得a2＝12，∴所求的椭圆方程为＋＝1.[误区警示]忽视焦点的具体位置致错[示例]　求经过点A，B的椭圆的标准方程．[错解]　当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意得解得∴当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1.同理，当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1.综上所述，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.[正解]　正解一：①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意得解得∴当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1.②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意得解得又∵a>b>0，∴不合题意，应舍去．正解二：设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，依题意得解得∴椭圆的标准方程为＋＝1.[题后总结]　本题错题过程看似正确无误，但是细心的同学会发现点B并不在椭圆＋＝1上．事实上，上述错误的原因有两处：(1)误认为不管题目的条件如何，只要把焦点在x轴上的椭圆的标准方程中的x，y互换，就可得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程；(2)忽视了a>b>0这一条件．