北师大版高中数学选择性必修第一册2-2-1双曲线及其标准方程学案

§2　双曲线 2.1　双曲线及其标准方程新课程标准新学法解读1.了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程以及双曲线标准方程的推导过程．2．掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形.1.结合教材实例掌握双曲线的定义．2．掌握双曲线的标准方程、几何图形，会用待定系数法求双曲线的标准方程．3．通过双曲线概念的引入和双曲线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力. [笔记教材]知识点一　双曲线的定义定义平面内到两个定点F1，F2的________________等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线焦点两个________叫作双曲线的焦点焦距两焦点间的________叫作双曲线的焦距集合语言P＝{M|____________，0<2a<|F1F2|}答案：距离之差的绝对值　定点F1，F2　距离　||MF1|－|MF2||＝2a知识点二　双曲线的标准方程 焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程________________－＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1______，F2______焦距|F1F2|＝________a，b，c的关系c2＝______________答案：－＝1(a>0，b>0)　(0，－c)　(0，c)　2c　a2＋b2[重点理解]1．对双曲线定义的理解设双曲线上的点M到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2a，则“0<2a<|F1F2|”这一条件不能忽略．否则，①若2a＝|F1F2|，则点M的轨迹是分别以F1，F2为端点且在直线F1F2上的两条射线；②若2a>|F1F2|，则点M的轨迹不存在；③若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．2．关于双曲线标准方程的四点说明(1)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．(2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．(3)在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示．这个三角形就是双曲线的特征三角形．(4)M(x，y)为双曲线－＝1(a>0，b>0)上的任意一点，左、右焦点分别为F1，F2.若点M在双曲线的右支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a；若点M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a. 因此得到|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆的定义中|MF1|＋|MF2|＝2a是不同的．[自我排查]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.()2．(2022浙江舟山模拟)已知平面中的两点F1(－2，0)，F2(2,0)，则满足{M|||MF1|－|MF2||＝1}的点M的轨迹是(　　)A．椭圆   B．双曲线C．一条线段   D．两条射线答案：B3．(2022黑龙江大庆实验中学模拟)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)A．2   B．4C．6   D．10答案：C4．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________．答案：－＝1或－＝1.5．(2022四川泸县第二中学月考)已知点A(0,2)，B(0，－2)，C(3,2)，若动点M(x，y)满足|MA|＋|AC|＝|MB|＋|BC|，则点M的轨迹方程为________________．答案：y2－＝1(y≤－1)研习1  待定系数法求双曲线的标准方程　　　　　　　　　　　　　　　[典例1]　(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和，求双曲线的标准方程．(2)求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．[解]　(1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得∴双曲线的标准方程为－＝1.(2)方法一：设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意易求得c＝2.又双曲线过点(3，2)，∴－＝1.又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线方程为－＝1.方法二：设双曲线方程为－＝1(－4<k<16)，将点(3，2)代入得k＝4，∴所求双曲线方程为－＝1.[巧归纳]　待定系数法求双曲线的标准方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．②与双曲线－＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2<k<a2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．(4)结论：写出双曲线的标准方程．[练习1]根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．(1)解：椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意，知解得故双曲线的方程为－＝1.(2)解：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，因为双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，所以解得所以所求双曲线的标准方程为－＝1.研习2  定义法求双曲线的标准方程[典例2]　已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解]　如图，设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，∴|MC1|－|MC2|＝2.又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∵2＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴点M的轨迹方程是－＝1(x≥ )．[巧归纳]　求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定．[练习2](2022江苏南京天印高级中学月考)(多选题)已知点P在双曲线－＝1上，F1，F2分别是左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列判断正确的有(　　)A．点P到x轴的距离为B．PF1＋PF2＝C．△PF1F2为钝角三角形D．∠F1PF2＝答案：BC解析：由双曲线方程得a＝4，b＝3，则c＝5，由△PF1F2的面积为20，得×2c×|yP|＝×10|yP|＝20，得|yP|＝4，即点P到x轴的距离为4，故A错误；将|yP|＝4代入双曲线方程得|xP|＝，根据对称性不妨设P，则|PF2|＝＝，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a＝8，则|PF1|＝8＋＝，则|PF1|＋|PF2|＝＋＝，故B正确；在△PF1F2中，|PF1|＝>2c＝10>|PF2|＝，则kPF2＝＝>0，∠PF2F1为钝角，则△PF1F2为钝角三角形，故C正确；cos∠F1PF2＝＝＝＝1－＝1－≠，则∠F1PF2＝错误，即D错误．故选BC.研习3  双曲线的定义及标准方程的应用[典例3]　若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．[解]　由双曲线方程－＝1，可知a＝3，b＝4，c＝＝5.由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a＝±6，将此式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.如图所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.[巧归纳]　求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a.②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式．③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值．④利用公式S△PF1F2＝×|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2求得面积．(2)方法二：利用公式S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．[练习3](2022江苏无锡第一中学检测)(多选题)已知A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是　　(　　)A．爆炸点在以A，B为焦点的椭圆上B．爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上C．若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B监测点的距离为米D．若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B监测点的距离为680米答案：BD解析：依题意，A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒．设爆炸点为C，则|CA|－|CB|＝340×2＝680<800，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上．所以A选项错误，B选项正确．若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，所以＝4，即|CA|＝2|CB|，结合|CA|－|CB|＝680可得|CB|＝680.所以C选项错误，D选项正确．故选BD.1．(2022河北廊坊检测)已知定点M(－ 2，a)，N(2，a)，a为常数，且|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是(　　)A．一条射线   B．椭圆C．双曲线   D．双曲线的一支答案：D解析：根据题意，动点P到两个定点M和N的距离之差为定值，且该定值小于M，N的距离，故动点P的轨迹方程是以M和N为焦点的双曲线，又因为|PM|－|PN|＝2，故只是双曲线上靠近焦点N的一支．故选D.2．(2022浙江检测)双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点在P双曲线上，若|PF1|＝5，则|PF2|＝(　　)A．1   B．9C．1或9   D．7答案：B解析：双曲线－＝1的a＝2，b＝2，c＝＝4.若点在P双曲线的右支上，可得|PF1|≥a＋c＝6；若点在P双曲线的左支上，可得|PF1|≥c－a＝2.由|PF1|＝5可得P在双曲线的左支上，可得|PF2|－|PF1|＝2a＝4，即有|PF2|＝5＋4＝9.故选B.3．(2022河北枣强中学检测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.若双曲线上存在点A使得∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝2|AF2|＝4，则双曲线的方程为(　　)A．x2－＝1    B.－y2＝1C.－＝1   D.－＝1答案：A解析：由题意，根据双曲线的定义及|AF1|＝2|AF2|＝4，可得|AF1|－|AF2|＝|AF2|＝2＝2a，解得a＝1，因为∠F1AF2＝90°，所以|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2＝20，即(2c)2＝20，即c2＝5，又b2＋a2＝c2，则b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的方程为x2－＝1.故选A.4．(2022北京八十中开学考试)“m<8”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：若方程－＝1表示双曲线，则(m－10)(m－8)>0⇒m<8或m>10，所以“m<8”是“方程－＝1表示双曲线”的充分而不必要条件．故选A.[误区警示]忽略双曲线焦点的位置致错[示例]　若方程＋＝3表示双曲线，则实数m的取值范围是_________________________．[错解]　由题意，方程可化为－＝3，∴解得m<－2.[正解]　由方程＋＝3表示双曲线，得或即或解得1<m<2或m<－2.[答案]　(－∞，－2)∪(1,2)[易错警示]　本题错解只考虑了焦点在y轴上的情况．在求解有关双曲线标准方程的问题时，一定要明确焦点所在的坐标轴，若不能确定，则需要分类讨论或者使用一般方程进行求解．