北师大版高中数学选择性必修第一册2-3-1抛物线及其标准方程学案
展开§3 抛物线
3.1 抛物线及其标准方程
新课程标准 | 新学法解读 |
1.了解抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握拋物线的标准方程及其推导过程. | 1.结合教材实例掌握抛物线的定义. 2.掌握抛物线标准方程中参数p的几何意义,会求抛物线的标准方程. 3.通过抛物线概念的引入和抛物线方程的推导,提高用坐标法解决几何问题的能力. |
[笔记教材]
知识点一 抛物线的定义
定义 | 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的集合(或轨迹)叫作抛物线 |
焦点 | ________叫作抛物线的焦点 |
准线 | ________叫作抛物线的准线 |
集合 表示 | P={M|________},d 为点M到准线l的距离 |
答案:相等 定点F 定直线l |MF|=d
知识点二 抛物线的标准方程
标准方程 | 图形 | 焦点坐标 | 准线方程 |
y2=2px (p>0) | ________ | ||
________ ________ | ________ | x= |
续表
标准方程 | 图形 | 焦点坐标 | 准线方程 |
x2=2py (p>0) | ________ | ||
________ ________ | ________ | y= |
答案:x=- y2=-2px(p>0)
y=- x2=-2py(p>0)
[重点理解]
1.对抛物线定义的理解
(1)抛物线的定义也可归结为“一动三定”:“一动”即一个动点M;“三定”即一个定点F(焦点)、一条定直线l(准线)、一个定值1(|MF|和动点M到定直线l的距离之比为常数1).
(2)注意定义中的关键词“l不经过点F”,否则动点M的轨迹是经过定点F且与定直线l垂直的直线,如到定点F(1,2)与定直线l:x=1的距离相等的动点M的轨迹为过定点F(1,2)且与定直线l:x=1垂直的直线y=2.
(3)由抛物线的定义知,抛物线上一点到焦点的距离与它到准线的距离相等,因此两种距离可以相互转化,凡涉及抛物线上一点到焦点的距离都可以转化为该点到准线的距离.
2.理解四种标准方程时的注意点
(1)标准方程的特征:等号的一边是某个变量的平方,等号的另一边是另一个变量的一次单项式.
(2)焦点的非零坐标是一次项系数的.
(3)准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.
(4)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同,一次项的变量和其系数的符号决定抛物线的开口方向.
(5)只有抛物线的顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上时,抛物线方程才具有标准形式.
[自我排查]
1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“”)
(1)抛物线y2=20x的焦点坐标是(0,5).()
(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定.(√)
(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.()
2.(2020全国卷(理))已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )
A.2 B.3 C.6 D.9
答案:C
3.(2022北京东直门中学检测)设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是2,则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:C
4.(2022陕西西安中学检测)设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y-8=0上,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=-1 B.x=-2
C.x=-3 D.x=-4
答案:D
5.(2022上海七宝中学检测)抛物线y=ax2(a<0)的焦点坐标为________.
答案:
研习1 求抛物线的焦点坐标和准线方程
[典例1] 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
(1)y2=-14x;
(2)5x2-2y=0;
(3)y2=ax(a≠0).
[解] (1)因为p=7,所以焦点坐标是,准线方程是x=.
(2)抛物线方程化为标准形式为x2=y,所以p=,所以焦点坐标是,准线方程是y=-.
(3)当a>0时,p=,所以焦点坐标是,准线方程是x=-.当a<0时,方程可看作y2=-(-a)x,2p=-a,p=-,所以焦点坐标是,准线方程是x=-.综上,抛物线y2=ax(a≠0)的焦点坐标为,准线方程是x=-.
[巧归纳] 求抛物线焦点坐标和准线方程的一般步骤:(1)化方程为标准方程;(2)由一次项(是x还是y)及其符号(是正还是负)确定抛物线的开口方向,可得焦点和准线的位置;(3)由一次项的系数确定2p(大于零)的值,进而求得,结合(2)可得焦点坐标和准线方程.
[练习1](2022湖南益阳检测)(多选题)已知双曲线C:-=1,它的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),则下列结论正确的是( )
A.C的虚轴长为4
B.C的渐近线方程为4x±3y=0
C.C上的任意点P都满足|PF1|+|PF2|=6
D.C的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合
答案:BD
解析:因为双曲线C:-=1的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),所以c=5,a=3,b=4.A.C的虚轴长为8,故错误;B.C的渐近线方程为4x±3y=0,故正确;C.C上的任意点P都满足||PF1|-|PF2||=6,故错误;D.C的右顶点(3,0)与抛物线y2=12x的焦点重合,故正确.故选BD.
研习2 求抛物线的标准方程
[典例2] 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)焦点为(-2,0);
(2)准线为y=-1;
(3)过点A(2,3);
(4)焦点到准线的距离为.
(1)[解] 由于焦点在x轴的负半轴上,且=2,∴p=4,∴抛物线的标准方程为y2=-8x.
(2)[解] ∵焦点在y轴正半轴上,且=1,∴p=2,∴抛物线的标准方程为x2=4y.
(3)[解] 由题意,抛物线方程可设为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),将点A(2,3)的坐标代入,得32=m·2或22=n·3,∴m=或n=.∴所求抛物线的标准方程为y2=x或x2=y.
(4)[解] 由焦点到准线的距离为,可知p=.∴所求抛物线的标准方程为y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y.
[巧归纳] 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
[注意] 当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.
[练习2]求适合下列条件的抛物线的标准方程:
(1)过点M(-6,6);
(2)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上.
(1)解:由于点M(-6,6)在第二象限,∴过M的抛物线开口向左或开口向上.若抛物线开口向左,焦点在x轴上,设其方程为y2=-2px(p>0),将点M(-6,6)代入,可得36=-2p×(-6),∴p=3.∴抛物线的方程为y2=-6x.若抛物线开口向上,焦点在y轴上,设其方程为x2=2py(p>0),将点M(-6,6)代入可得,36=2p×6,∴p=3,∴抛物线的方程为x2=6y.综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y.
(2)解:直线l与坐标轴的交点为(2,0)和(0,-3),
①当抛物线的焦点是F(2,0)时,=2,∴p=4,∴抛物线的标准方程是y2=8x.
②当抛物线的焦点是F(0,-3)时,∴=3,∴p=6,∴抛物线的标准方程是x2=-12y.
综上所述,所求抛物线的标准方程是y2=8x或x2=-12y.
研习3 抛物线定义的应用
[典例3] (1)若动圆M与圆C:(x-2)2+y2=1外切,又与直线x+1=0相切,求动圆圆心的轨迹方程;
(2)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
(1)[解] 设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由已知可得定圆圆心为C(2,0),半径r=1.
因为两圆外切,所以|MC|=R+1.又动圆M与已知直线x+1=0相切,所以圆心M到直线x+1=0的距离d=R.
所以|MC|=d+1.即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x+2=0的距离.由抛物线的定义可知,点M的轨迹是以C为焦点,x+2=0为准线的抛物线,且=2,p=4,故其方程为y2=8x.
(2)[解] 由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由右图可知,P点,(0,2)点和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小,所以最小距离d=2+(2-0)2=.
[巧归纳] 抛物线定义的两种应用:(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线的定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.
[练习3](2020北京卷)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线( )
A.经过点O B.经过点P
C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
答案:B
解析:如图所示:
因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等,又点P在抛物线上,根据定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.
研习4 抛物线的实际应用
[典例4] 某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成,尺寸如图所示,某卡车载一集装箱,箱宽3 m,车与箱共高4 m,此车能否通过此隧道?请说明理由.
[解] 建立如图所示的平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0),当x=3时,y=-3,即点(3,-3)在抛物线上.代入得2p=3,故抛物线方程为x2=-3y.已知集装箱的宽为3 m,当x=时,y=-,而桥高为5 m,所以5-=4>4.故卡车可以通过此隧道.
[巧归纳] 求抛物线实际应用的五个步骤
[练习4]某抛物线形拱桥跨度是20米,拱桥高度是4米,在建桥时,每4米需用一根支柱支撑,求其中最长支柱的长.
解:如图,建立平面直角坐标系, 设抛物线方程为x2=-2py(p>0).依题意知,点P(10,-4)在抛物线上,∴100=-2p×(-4),2p=25.即抛物线方程为x2=-25y.∵每4米需用一根支柱支撑,∴支柱横坐标分别为-6,-2,2,6.由图知,AB是最长的支柱之一,点B的坐标为(2,yB),代入x2=-25y,得yB=-.∴|AB|=4-=3.84,即最长支柱的长为3.84米.
1.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为( )
A.4 B.2 C.6 D.8
答案:A
解析:∵a2=6,b2=2,∴c2=a2-b2=4,c=2.椭圆的右焦点为(2,0),∴=2,p=4.
2.(2022云南宣威第五中学检测)若点A(2,-2)在抛物线y2=2px上,F为抛物线的焦点,则=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:C
解析:∵点A(2,-2)在抛物线y2=2px上,∴(-2)2=4p,即p=2,
∴|AF|=xA+=2+1=3.故选C.
3.(2022江西进贤第一中学检测)已知点A(3,4),F是抛物线y2=8x的焦点,M是抛物线上的动点,当|MA|+|MF|最小时,M点坐标是( )
A.(0,0) B.(3,2)
C.(2,4) D.(3,-2)
答案:C
解析:由题知点A在抛物线内.设M到准线的距离为|MK|,则|MA|+|MF|=|MA|+|MK|,当|MA|+|MK|最小时,M点坐标是(2,4).
4.(2022福建宁德检测)(多选题)已知抛物线E:x2=4y的焦点为F,圆 C: x2+(y-1)2=16与抛物线E交于A,B两点,点P为劣弧 上不同于A,B的一个动点,过点P作平行于y轴的直线l交抛物线E于点N,则以下结论正确的是( )
A.点P的纵坐标的取值范围是(3,5]
B.圆C的圆心到抛物线准线的距离为1
C.|PN|+|NF|等于点P到抛物线准线的距离
D.△PFN周长的取值范围是(8,10)
答案:ACD
解析:如图所示:A.圆C:x2+(y-1)2=16的圆心为(0,1),半径为4,与y的正半轴交点为(0,5),
由解得y=3,所以点P的纵坐标的取值范围是(3,5],故正确;
B.因为圆C的圆心为抛物线的焦点,所以圆C的圆心到抛物线准线的距离为p=2,故错误;
C.由抛物线的定义得|PN|+|NF|等于点P到抛物线准线的距离,故正确;
D.△PFN周长为|PF|+|PN|+|NF|=r+yP+1=yP+5∈(8,10),故正确.
故选ACD.
5.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽________米.
答案:2
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,
所以x2=-2y.当y=-3时,x2=6,所以水面宽为2米.
[误区警示]
求抛物线标准方程时,忽略分类讨论导致出错
[示例] 抛物线的焦点F在x轴上,点A(m,-3)在抛物线上,且|AF|=5,求抛物线的标准方程.
[错解一] 因为抛物线的焦点F在x轴上,且点A(m,-3)在抛物线上,所以抛物线的标准方程可设为y2=2px(p>0).
设点A到准线的距离为d,则d=|AF|=+m,
所以
解得或
所以抛物线的标准方程为y2=2x或y2=18x.
[错解二] 因为抛物线的焦点F在x轴上,且点A(m,-3)在抛物线上,所以当m>0时,点A在第四象限,抛物线的标准方程可设为y2=2px(p>0).
设点A到准线的距离为d,则d=|AF|=+m,
所以
解得或
所以抛物线的标准方程为y2=2x或y2=18x.
当m<0时,点A在第三象限,抛物线的标准方程可设为y2=-2px(p>0).
设点A到准线的距离为d,则d=|AF|=+m,
所以解得
或(舍去).
所以抛物线的标准方程为y2=-2(5+)x.
综上所述,抛物线的标准方程为y2=-2(5+)x或y2=2x或y2=18x.
[错因分析] 错解一忽略了对m<0的讨论;错解二在m<0时计算点到准线的距离时失误.
[正解] 因为抛物线的焦点F在x轴上,且点A(m,-3)在抛物线上,所以①当m>0时,点A 在第四象限,抛物线的标准方程可设为y2=2px(p>0),设点A到准线的距离为d,则d=|AF|=+m,所以
解得或.
所以抛物线的标准方程为y2=2x或y2=18x.
②当m<0时,点A在第三象限,抛物线的标准方程可设为y2=-2px(p>0).
设点A到准线的距离为d,则d=|AF|=-m,
所以
解得或
所以抛物线的标准方程为y2=-2x 或y2=-18x.
综上所述,抛物线的标准方程为y2=-2x或y=-18x2或y2=2x或y2=18x.
[易错警示] 当题中未知元素的不同情况影响题中的相关条件及结果时,应注意对不同情况进行分类讨论.