高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何2 空间向量与向量运算2.1 从平面向量到空间向量学案

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2.2 空间向量的运算
第1课时 空间向量的加减法与空间向量的数乘运算
[笔记教材]
知识点一 空间向量的概念
(1)空间向量
①定义：在空间中，我们把具有________和________的量叫作空间向量．
②长度或模：向量的________叫作向量的长度或模．
③表示法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(几何表示法：空间向量用 ,表示,字母表示法：用字母 表示，,若向量a的起点是A，终点是B，,则向量a也可以记作 ，,其模记为 ))
(2)几类常见的空间向量
答案：(1)①大小 方向 ②大小 ③有向线段 a，b，c…
eq \(AB,\s\up6(→)) |eq \(AB,\s\up6(→))|
(2)0 1 1 1 相等 相反 －a 平行 重合 平行 平行 相同 相等
知识点二 空间向量的线性运算
1．空间向量的加减法
2.空间向量的数乘
(1)定义
(2)运算律
①交换律：λa＝________(λ∈R)．
②分配律：a.λ(a＋b)＝________(λ∈R)．
b．(λ＋μ)a＝________(λ∈R，μ∈R)．
③结合律：(λμ)a＝________(λ∈R，μ∈R)．
(3)空间向量共线定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝________.
答案：1.eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)) eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)) (1)b＋a (2)a＋(b＋c)
2．(1)向量 λa |λ||a| 相同 相反 ＝0 (2)①aλ ②a.λa＋λb b．λa＋μa ③λ(μa) (3)λb
[重点理解]
1．关于向量加减法则的说明
(1)两个向量相加减的三角形法则与平行四边形法则在空间仍然成立．因此，当求首尾相接的两向量之和时，可考虑用三角形法则；当求共起点的两向量之和时，可考虑用平行四边形法则．
(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(A2A3,\s\up6(→))＋eq \(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq \(A1An,\s\up6(→)).
(3)首尾顺次相接的若干向量，若构成一个封闭图形，则它们的和为0.
如图，eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(FG,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))＋eq \(HO,\s\up6(→))＝0.
2．对于向量数乘运算的两点强调说明
(1)对于任意一个非零向量a，当λ＝eq \f(1,|a|)时，λa＝eq \f(a,|a|)表示与向量a同方向的单位向量．
(2)根据空间向量数乘运算的定义，λa是与向量a共线的向量，因此，对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，若存在实数λ，使得a＝λb，则a与b共线．反之，由共线向量的定义，若向量a与b共线且b≠0，则一定存在实数λ使得a＝λbeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中|λ|＝\f(|a|,|b|)，若向量a，b方向相同，则λ>0；若向量a，b方向相反，则λ