北师大版高中数学选择性必修第一册3-3-1空间向量基本定理学案

§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示  3.1　空间向量基本定理新课程标准新学法解读1．了解空间向量基本定理及其意义．2．掌握空间向量的正交分解． 1．了解空间向量基本定理．2．了解基的意义．3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基表示其他向量的方法．4．会用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题.  [笔记教材]知识点　空间向量基本定理(1)空间向量基本定理：如果向量a，b，c是空间三个________，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝________.(2)基：如果向量a，b，c是空间三个不共面向量，那么所有的空间向量组成的集合就是________________________．这个集合可以看成是由向量a，b，c生成的，这时{a，b，c}叫作空间的一组________，其中a，b，c都叫作基向量．答案：(1)不共面的向量　xa＋yb＋zc　(2){p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}　基[重点理解]特别提醒：(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基．基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同．(2)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．(3)空间向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础．(4)任意三个不共面向量都可以作为一组基将空间中任一向量表示出来，但具体解题时，基要恰当选取．如：四面体选取过同一顶点的三条棱的方向向量作为基；正方体(长方体、平行六面体)选取过同一顶点的三条棱的方向向量作为基；有三条棱两两垂直的三棱锥，选取这三条棱的方向向量作为基．[自我排查]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．()(2)若{a，b，c}为空间的一组基，则a，b，c全不是零向量．(√)(3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一组基，则一定有a与b共线．(√)(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一组基．()2．已知a，b，c是不共面的三个非零向量，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基的向量是(　　)A．2a   B．2bC．2a＋3b   D．2a＋5c答案：D3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　)A．x＝1，y＝   B．x＝，y＝1C．x＝1，y＝   D．x＝1，y＝答案：D4．(2022广西南宁三中月考)在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C共面，则λ＝(　　)A．   B．  C．   D．答案：A研习1  空间基向量的理解与判定[典例1]　(1)下列能使向量，，成为空间的一组基的关系式是(　　)A．＝＋＋B．＝＋C．＝＋＋D．＝2－(2)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，给出下列向量：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基的有(　　)A．1个   B．2个C．3个   D．0个(1)[答案]　C[解析]　对于选项A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)⇔M，A，B，C四点共面，知，，共面；对于选项B，D，可知，，共面，故选C．(2)[答案]　B[解析]　②③均可以作为空间的基，故选B．[巧归纳]　基判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基；若不共面，则能构成基．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基．②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基；若无解，则不共面，能作为基．[练习1]以下四个命题中正确的是(　　)A．基{a，b，c}中可以有零向量B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0D．空间向量的基只能有一组答案：B解析：使用排除法．因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正确；基可以有无数多组，故D不正确. 研习2  用基向量表示向量[典例2]　如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，D为BC的中点．试用向量a，b，c表示向量和.[解]　因为＝＋，而＝，＝－，又D为BC的中点，所以＝(＋)，所以＝＋＝＋(－)＝＋×(＋)－＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．又因为＝－，＝＝×(＋)＝(b＋c)，所以＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.所以＝(a＋b＋c)，＝－a.[巧归纳]　用基表示向量时，若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．[练习2]在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．(1)用向量a，b，c表示，；(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．解：(1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1，＝＋＝－＋－＝a－b－c，＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．(2)＝(＋)＝(－＋)＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c，∴x＝，y＝－，z＝－1. 研习3  空间向量基本定理的应用[典例3]　在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足＝x＋y－(x＋y－1)，点N满足＝λ＋(1－λ)，当AM，BN最短时，·＝(　　)A．－   B．  C．－   D．[答案]A[解析]　因为点M满足＝x＋y－(x－y－1)，所以M∈平面BCD．因为点N满足＝λ＋(1－λ)，所以N∈直线AC，若AM，BN最短，则AM⊥平面BCD，BN⊥AC，所以M为△BCD的中心，N为AC的中点，此时||＝，∵AM⊥平面BCD，MC⊂平面BCD，∴AM⊥MC，∴||＝＝＝.又＝(＋)，∴·＝(·＋·)＝－||2＝－.故选A．[巧归纳]　1.在空间图形中，一般选取共点但不共面的三条直线的方向向量作为基．2．用基表示空间某一向量的步骤：(1)找到以指定向量为一边的封闭图形；(2)结合平行四边形法则或三角形法则，用基表示封闭图形的各边所对应的向量；(3)写出向量的表达式．3．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量(基)表示，只要基选定，这一向量用基表示的形式是唯一的． [练习3]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别为BB1，BC的中点．(1)求D1C和B1C的夹角；(2)求证：AC1⊥EF.(1)解：设＝a，＝b，＝c，则＝＝－＝a－c，||＝，＝＝－＝b－c，||＝.·＝(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2＝0－0－0＋1＝1.cos〈，〉＝＝＝.又〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.∴D1C与B1C的夹角为.(2)证明：∵＝a＋b＋c，＝＝＝(－)＝(b－c)，∴·＝(a＋b＋c)·(b－c) ＝(a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2)＝(0－0＋1－0＋0－1)＝0，∴AC1⊥EF.1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成基的向量是(　　)A．   B．C．   D．或答案：C解析：∵＝a－b且a，b不共线，∴a，b，共面，∴与a，b不能构成一组基．2．{a，b，c}为空间的一组基，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z的值分别为(　　)A．0,0,1   B．0,0,0C．1,0,1   D．0,1,0答案：B解析：若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－b－c，∴a，b，c共面．这与{a，b，c}是基矛盾，故x＝y＝z＝0.3．已知空间的一组基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y等于(　　)A．2　   B．－2  C．1　   D．0答案：D解析：∵m与n共线，∴xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．∴∴∴x＋y＝0.4．(2022天津第五十五中学月考)下列说法错误的是(　　)A．设a，b是两个空间向量，则a，b一定共面B．设a，b是两个空间向量，则a·b＝b·aC．设a，b，c是三个空间向量，则a，b，c一定不共面D．设a，b，c是三个空间向量，则a·(b＋c)＝a·b＋a·c答案：C解析：A，设a，b是两个空间向量，则a，b一定共面，正确，因为向量可以平移；B，设a，b是两个空间向量，则a·b＝b·a，正确，因为向量的数量积满足交换律；C，设a，b，c是三个空间向量，则a，b，c可能共面，可能不共面，错误．D，满足向量运算律，正确． [误区警示]对基理解不清致错[示例]　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，试用基向量a，b，c表示向量.[错解]　本题易错的地方是向量分解不彻底，如在解题过程中可能会得到如下错解：＝－＝＋－(＋)＝c＋－a－b.上式中含有AM这一非基向量的向量．[正解]　如图，连接A1M，A1C1，则＝－＝＋－(＋)＝＋(＋)－(＋)＝－(＋)＝－a－b＋c.[题后总结]　基可以表示空间内任一向量，用基表示向量时，最后结果应只含基向量．