北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 组合学案

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 组合学案，共15页。

[笔记教材]
知识点一 组合及组合问题
(1)组合
一般地，从n个________元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个________为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合问题
有关求________的问题叫作组合问题．
答案：(1)不同 元素 (2)组合的个数
知识点二 组合数与组合数公式
答案：所有组合的个数 eq \f(n·n－1·n－2…[n－m－1],m！) eq \f(n！,m！n－m！) Ceq \\al(n－m,n) Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n) 1
知识点三 简单计数的排列、组合问题的处理
策略
1．捆绑法
在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”．例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某m(m≤n)个元素必相邻的排列有Aeq \\al(n－m＋1,n－m＋1)·Aeq \\al(m,m)个．其中Aeq \\al(n－m＋1,n－m＋1)是一个“整体排列”，而Aeq \\al(m,m)则是“局部排列”．
2．插空法
先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空当中，此法主要解决“元素不相邻问题”．
3．“元素分析法”与“位置分析法”
从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则．
4．定序法
当某些元素次序一定时，可用此法．解题方法是：先将n个元素进行全排列有Aeq \\al(n,n)种，m(m＜n)个元素的全排列有Aeq \\al(m,m)种．由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有eq \f(A\\al(n,n),A\\al(m,m))种排列方法．记忆规律是：顺序一定作除法．
[重点理解]
1．组合概念的理解
(1)组合的概念中有两个要点：①取出元素，且要求n个元素是不同的；②“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关．无序性是组合的特征．
(2)两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，那么无论元素的顺序如何，都是相同的组合，两个组合中的元素不完全相同(即使有一个元素不同)就是不同的组合．
(3)组合与排列的共同点：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素；不同点：对于排列，取出元素后还需对所取出的元素进行排列(对顺序有要求)，而组合对取出的元素无需排列，只需组成一组即可(对顺序无要求)．可总结为：有序排列，无序组合．
2．组合数
(1)组合数的理解
①同“排列”与“排列数”，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同的元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有组合的个数”，它是一个数．
②我们可以从集合的角度来理解组合数的概念，从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素并成一组是一个组合，任取m个元素组成的组合的全体构成一个集合，例如：从3个不同元素a，b，c中任取2个的所有组合构成的集合为A＝{ab，ac，bc}．所谓组合数就是这个集合的元素的个数．
(2)组合数公式的理解
①组合数公式(连乘形式)的特点：分子是m个数相乘，且第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是[n－(m－1)]；分母是m的阶乘．
②注意组合数公式中m，n满足的条件．
③在学习组合数公式时，要注意与排列数公式进行对比，组合数公式Ceq \\al(m,n)＝eq \f(nn－1n－2·…·[n－m－1],m！)一般用于计算．组合数公式Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n！,m！n－m！)一般用于含有字母的组合数的式子的变形或证明．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)从1,3,5,7中任取两个数相除可以得Ceq \\al(2,4)个商．()
(2)Ceq \\al(3,5)＝5×4×3＝60.()
(3)Ceq \\al(2 016,2 017)＝Ceq \\al(1,2 017)＝2 017.(√)
2．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有( )
A．27种 B．48种 C．21种 D．24种
答案：D
3．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽样方法数为( )
A．224 B．112 C．56 D．28
答案：B
4．从10名学生中选出2名学生参加一个座谈会，有________种不同的选法．
答案：45
5．计算Ceq \\al(96,99)＋Ceq \\al(97,99)＝________.
答案：161 700
研习1 组合数公式
[典例1] (2022重庆西南大附中模拟)(多选题)下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是( )
A．(n＋1)Aeq \\al(m,n)＝Aeq \\al(m＋1,n＋1)
B．mCeq \\al(m,n)＝nCeq \\al(m－1,n－1)
C．Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),n！)
D.eq \f(1,n－m)Aeq \\al(m＋1,n)＝Aeq \\al(m,n)
[答案] ABD
[解析] 对于A，(n＋1)Aeq \\al(m,n)＝(n＋1)n(n－1)·…·(n－m＋1)＝Aeq \\al(m＋1,n＋1)，故A正确；对于B，Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n！,m！n－m！)，Ceq \\al(m－1,n－1)＝eq \f(n－1！,m－1！n－m！)，所以Ceq \\al(m,n)＝eq \f(nn－1！,mm－1！n－m！)＝eq \f(n,m)×eq \f(n－1！,m－1！n－m！)＝eq \f(n,m)×Ceq \\al(m－1,n－1)，所以mCeq \\al(m,n)＝nCeq \\al(m－1,n－1)，故B正确；对于C，Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(A\\al(m,n),m！)，故C错误；对于D，eq \f(1,n－m)Aeq \\al(m＋1,n)＝eq \f(1,n－m)×n×(n－1)×…×(n－m)＝n×(n－1)×…×(n－m＋1)＝Aeq \\al(m,n)，故D正确．故选ABD.
[巧归纳] 1.公式Ceq \\al(m,n)＝eq \f(nn－1n－2·…·[n－m－1],m！) (n∈N，m∈N，m≤n)一般用于求值计算．
2．公式Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n！,m！n－m！)一般用于化简、证明．
3．在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即Ceq \\al(m,n)中的n为正整数，m为自然数，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去．
4．性质“Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)”的意义及作用
5．要注意Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)的顺用、逆用及其变形应用．顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形一般为Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1)－Ceq \\al(m,n)，它为某些项相互抵消提供了方便，在解题中要注意灵活运用．
[练习1](1)计算：Ceq \\al(98,100)＋Ceq \\al(199,200)；
(2)化简：Ceq \\al(5,5)＋Ceq \\al(5,6)＋Ceq \\al(5,7)＋Ceq \\al(5,8)＋Ceq \\al(5,9)＋Ceq \\al(5,10)；
(3)求证：Ceq \\al(n,m＋2)＝Ceq \\al(n,m)＋2Ceq \\al(n－1,m)＋Ceq \\al(n－2,m).
(1)解：Ceq \\al(98,100)＋Ceq \\al(199,200)＝Ceq \\al(2,100)＋Ceq \\al(1,200)＝eq \f(100×99,2)＋200＝4 950＋200＝5 150.
(2)解：Ceq \\al(5,5)＋Ceq \\al(5,6)＋Ceq \\al(5,7)＋Ceq \\al(5,8)＋Ceq \\al(5,9)＋Ceq \\al(5,10)
＝Ceq \\al(6,6)＋Ceq \\al(5,6)＋Ceq \\al(5,7)＋Ceq \\al(5,8)＋Ceq \\al(5,9)＋Ceq \\al(5,10)
＝Ceq \\al(6,7)＋Ceq \\al(5,7)＋Ceq \\al(5,8)＋Ceq \\al(5,9)＋Ceq \\al(5,10)＝…＝Ceq \\al(6,11)＝Ceq \\al(5,11).
(3)证明：由组合数的性质Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)可知，右边＝(Ceq \\al(n,m)＋Ceq \\al(n－1,m))＋(Ceq \\al(n－1,m)＋Ceq \\al(n－2,m))＝Ceq \\al(n,m＋1)＋Ceq \\al(n－1,m＋1)＝Ceq \\al(n,m＋2)＝左边．所以原式成立.
研习2 有限制条件的组合
[典例2] 某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)抽调的6名专家中至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)抽调的6名专家中至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(1)[解] 分步：首先从4名外科专家中任选2名，有Ceq \\al(2,4)种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有Ceq \\al(4,6)种选法，所以共有Ceq \\al(2,4)·Ceq \\al(4,6)＝90(种)抽调方法．
(2)[解] 方法一：(直接法)按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有Ceq \\al(2,4)·Ceq \\al(4,6)种选法；②选3名外科专家，共有Ceq \\al(3,4)·Ceq \\al(3,6)种选法；③选4名外科专家，共有Ceq \\al(4,4)·Ceq \\al(2,6)种选法．根据分类加法计数原理，共有Ceq \\al(2,4)·Ceq \\al(4,6)＋Ceq \\al(3,4)·Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(4,4)·Ceq \\al(2,6)＝185(种)抽调方法．
方法二：(间接法)不考虑是否有外科专家，共有Ceq \\al(6,10)种选法，考虑选取1名外科专家参加，有Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(5,6)种选法；没有外科专家参加，有Ceq \\al(6,6)种选法，所以共有Ceq \\al(6,10)－Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(5,6)－Ceq \\al(6,6)＝185(种)抽调方法．
(3)[解] “至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有Ceq \\al(6,6)种选法；②有1名外科专家参加，有Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(5,6)种选法；③有2名外科专家参加，有Ceq \\al(2,4)·Ceq \\al(4,6)种选法．所以共有Ceq \\al(6,6)＋Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(5,6)＋Ceq \\al(2,4)·Ceq \\al(4,6)＝115(种)抽调方法．.
[巧归纳] 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：
一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；
二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：①直接分类法，但要注意分类要不重不漏；②间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
[提示] 解决有约束条件的组合问题遵循“谁特殊谁优先”的原则，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．
[练习2]某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去，则不同的选派方案共有________种(用数字作答)．
答案：55
解析：由于“甲和乙不能都去”，故要分三类完成：第一类，甲去乙不去，有Ceq \\al(3,6)种选派方案；第二类，乙去甲不去，有Ceq \\al(3,6)种选派方案；第三类，甲、乙都不去，有Ceq \\al(4,6)种选派方案．故共有Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(4,6)＝55(种)不同的选派方案.
研习3 与几何有关的组合应用题
[典例3] 以正方体的顶点为顶点，可确定多少个四面体？
[解] 正方体的8个顶点可构成Ceq \\al(4,8)个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的4个顶点．故可以确定四面体Ceq \\al(4,8)－12＝58(个)．
[巧归纳] 几何中的计数问题
(1)在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．
(2)解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可．计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．
[练习3]设α，β是两个平行平面，在α内取4个点，在β内取5个点．
(1)这些点最多能确定几条直线？几个平面？
(2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？
解：(1)在9个点中，除了α内的四点共面和β内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所确定的平面和直线才能达到最多．此时，最多能确定直线Ceq \\al(2,9)＝36(条)．又因三个不共线的点确定一个平面，故最多可确定Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,5)＋Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,5)＋2＝72(个)平面．
(2)解：同(1)题，在其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所作三棱锥才能达到最多，此时最多能作Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,5)＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(3,5)＝120(个)三棱锥.
研习4 分组、分配问题
[典例4] 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
(2)分成三份，每份两本；
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本．
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
(1)[解] 根据分步乘法计数原理得Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)＝90(种)．
(2)[解] 分给甲、乙、丙三人，每人两本有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有Aeq \\al(3,3)种方法．根据分步乘法计数原理可得Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)＝xAeq \\al(3,3)，所以x＝eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))＝15.因此分为三份，每份两本，一共有15种方法．
(3)[解] 这是“不均匀分组”问题，一共有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,3)＝60(种)方法．
(4)[解] 在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,3)Aeq \\al(3,3)＝360(种)方法．
(5)[解] 可以分为三类情况：①“2,2,2型”，即 (1)的分配情况，有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)＝90(种)方法；②“1,2,3型”，即有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,3)Aeq \\al(3,3)＝360(种)方法；③“1,1,4型”，有Ceq \\al(4,6)Aeq \\al(3,3)＝90(种)方法．所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法．
[巧归纳] 1.分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等；(2)部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
2．分配问题属于“排列”问题：分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
[练习4]在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为________．
答案：84
解析：当两所2人一所1人时，有eq \f(C\\al(2,5)·C\\al(2,3)·A\\al(3,3),A\\al(2,2))种，其中甲乙或丙丁在同一医院有Aeq \\al(3,3)＋4Aeq \\al(3,3)种；当一所3人两所1人时，有Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(3,3)种，故满足条件的分配方法总数为eq \f(C\\al(2,5)·C\\al(2,3)·A\\al(3,3),A\\al(2,2))－Aeq \\al(3,3)－4Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(3,3)＝84.
研习5 先组后排问题
[典例5] (1)将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1A．18 B．30 C．36 D．48
(2)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( )
A．60 B．90 C．120 D．130
(1)[答案] B
[解析] 由于a1，a3，a5的大小顺序已定，且a1≠1，a3≠3，a5≠5，所以a1可取2,3,4，若a1＝2或3，则a3可取4,5，当a3＝4时，a5＝6，当a3＝5时，a5＝6；若a1＝4，则a3＝5，a5＝6.而其他的三个数字可以任意排列，因而共有(2×2＋1)Aeq \\al(3,3)＝30.
(2)[答案] D
[解析] 易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论．其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(1,2)＝10(种)情况；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,2)＝40(种)情况；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,3)＋Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(2,3)＝80(种)情况．由于10＋40＋80＝130，故答案为D.
[巧归纳]
对于复杂的排列问题，先选出符合要求的元素，再考虑元素的顺序，实质是运用排列的定义，把事件分为两个步骤完成，这种方法常称之为“先选后排法”．
[练习5]某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )
A．(Ceq \\al(1,26))2Aeq \\al(4,10)个 B．Aeq \\al(2,26)Aeq \\al(4,10)个
C．(Ceq \\al(1,26))2104个 D．Aeq \\al(2,26)104个
答案：A
解析：英文字母可以相同，故有(Ceq \\al(1,26))2种选法，而数字有0～9共10个，不允许重复，故有Aeq \\al(4,10)种排法，由分步乘法计数原理，满足要求的牌照号码共有(Ceq \\al(1,26))2Aeq \\al(4,10)个，故选A.
研习6 两个计数原理在排列、组合综合问题中的应用
[典例6] 用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四块区域涂色，要求相邻的区域颜色不同，每块只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？
[解] 方法一(分步涂色)：第一步，给A区域着色有Ceq \\al(1,5)种方法．第二步，给B区域着色有Ceq \\al(1,4)种方法．第三步，给C区域着色．若C区域用A区域的颜色，则D区域有Ceq \\al(1,4)种涂法．若C区域的颜色与A，B区域不同，则有Ceq \\al(1,3)种涂法，则D区域也有Ceq \\al(1,3)种涂法．故共有涂法Ceq \\al(1,5)·Ceq \\al(1,4)·(Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(1,3)·Ceq \\al(1,3))＝260(种)．
方法二(按用色种数分类)：第一类：用5色中的两色，则A，C同色，B，D同色，共有Ceq \\al(2,5)·Aeq \\al(2,2)种涂法．第二类：用5色中的3色，选取3种颜色有Ceq \\al(3,5)种选法，三色中的一种颜色涂A，有Ceq \\al(1,3)种涂法，一种颜色涂B有Ceq \\al(1,2)种方法，若余下的一种颜色涂C，则D与B同色．若余下的一种颜色涂D，则C与A同色．故最后一种颜色有两种涂法，本类有Ceq \\al(3,5)·Ceq \\al(1,3)·Ceq \\al(1,2)×2种涂法．第三类：用5色中的4色，有Ceq \\al(4,5)·Aeq \\al(4,4)种涂法．由分类加法计数原理，共有涂法Ceq \\al(2,5)·Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(3,5)·Ceq \\al(1,3)·Ceq \\al(1,2)×2＋Ceq \\al(4,5)·Aeq \\al(4,4)＝260(种)．
[巧归纳] 1.“分类”与“分步”的区别
(1)分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能完成这件事情，简单地说分类的标准是“不重不漏，一步完成”．
(2)分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成．简单地说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”．
2．解决排列组合应用题的常用方法：(1)合理分类，准确分步；(2)特殊优先，一般在后；(3)先取后排，间接排除；(4)集团捆绑，间隔插空；(5)抽象问题，构造模型；(6)均分除序，定序除序．
[练习6]把4个男同志和4个女同志平均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票劳动，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况．
(1)有几种不同的分配方法？
(2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志，有几种不同的分配方法？
(3)男同志与女同志分别分组，有几种不同的分配方法？
(1)解：男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成．先安排2人上第一辆车，共有Ceq \\al(2,8)种，再上第二辆车共有Ceq \\al(2,6)种，再上第三辆车共有Ceq \\al(2,4)种，最后上第四辆车共有Ceq \\al(2,2)种，按分步乘法计数原理有Ceq \\al(2,8)·Ceq \\al(2,6)·Ceq \\al(2,4)·Ceq \\al(2,2)＝2 520(种)．
(2)解：要求男女各1人，因此先把男同志安排上车，共有Aeq \\al(4,4)种不同方法，同理，女同志也有Aeq \\al(4,4)种方法，由分步乘法计数原理知，车上男女各1人的不同分配方法为Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(4,4)＝576(种)．
(3)解：男女分别分组，4个男的平均分成两组共有eq \f(C\\al(2,4),2)＝3(种)分法，4个女的平均分成两组也有eq \f(C\\al(2,4),2)＝3(种)不同分法，这样分组方法就有3×3＝9(种)，对于其中每一种分法上4辆车，又有Aeq \\al(4,4)种分法，因而不同分配方法为9·Aeq \\al(4,4)＝216(种)．
1．(Ceq \\al(2,100)＋Ceq \\al(97,100))÷Aeq \\al(3,101)的值为( )
A．6 B．101 C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,101)
答案：C
解析：原式＝(Ceq \\al(2,100)＋Ceq \\al(3,100))÷Aeq \\al(3,101)＝Ceq \\al(3,101)÷Aeq \\al(3,101)＝eq \f(1,A\\al(3,3))＝eq \f(1,6).
2．甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有( )
A．3种 B．6种 C．9种 D．12种
答案：B
解析：本题用排除法．甲、乙两人从A，B，C三个景点中各选两个游玩，共有Ceq \\al(2,3)·Ceq \\al(2,3)＝9种，但两人所选景点不能完全相同，所以排除3种完全相同的选择，故有6种．故选B.
3．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A．10 B．11 C．12 D．15
答案：B
解析：与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类，与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选2个位置相同，其他2个不同，有Ceq \\al(2,4)＝6(个)；第二类，与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选1个位置相同，其他3个不同，有Ceq \\al(1,4)＝4(个)；第三类，与信息0110没有一个对应位置上的数字相同，即4个对应位置上的数字都不同，有Ceq \\al(0,4)＝1(个)．由加法原理知，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6＋4＋1＝11.
4．若Aeq \\al(4,2n)＝120Ceq \\al(2,n)，则n＝________.
答案：3
解析：2n(2n－1)(2n－2)(2n－3)＝eq \f(120nn－1,2)，解得n＝3或n＝－1(舍去)，所以n＝3.
5．房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，至少开一个灯用以照明，则不同的开灯方法种数为________．
答案：31
解析：5个电灯5个开关控制，“至少一个灯开”事件总数为Ceq \\al(1,5)＋Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(5,5)＝31.
[误区警示]
重复计数与遗漏计数致错
[示例] 4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，则恰好有1个空盒子的放法有多少种？
[错解] 错解一：从4个小球中任取3个小球，有Ceq \\al(3,4)种取法，从4个盒子中任取3个盒子，有Ceq \\al(3,4)种取法．
先将3个小球放入取出的3个盒子中，有Aeq \\al(3,3)种放法，再把余下的1个小球放入3个盒子中的1个，有3种放法．
所以满足题意的放法有Ceq \\al(3,4)·Ceq \\al(3,4)·Aeq \\al(3,3)·3＝288(种)．
错解二：先将3个小球放入4个盒子中，有Aeq \\al(3,4)种放法，再把余下的1个小球放入3个盒子中的1个，有3种放法，所以满足题意的放法有Aeq \\al(3,4)·3＝72(种)．
[错因分析] 导致上述两种错解的原因如下：
错解一解答错误的原因是重复计数；错解二解答错误的原因是遗漏计数．分析如下：
设4个不同的小球为a，b，c，d，从4个小球中取出3个，若取出的是a，b，c，则d与a，b，c搭配，有a，d；b，d；c，d.
若取出的是b，c，d，则a与b，c，d搭配，有b，a；c，a；d，a.其中a，d与d，a是同一种情况，这就是错解一解答出错的地方．
取3个小球，如a，b，c，则d与a，b，c搭配，有a，d；b，d；c，d.但遗漏了a，b；a，c；b，c这3种情况，这就是错解二解答出错的地方．
[正解] 由题意知，必有1个盒子内放入2个小球，从4个小球中取出2个小球，有Ceq \\al(2,4)种取法，此时把它看作1个小球，与另2个小球共3个小球放入4个盒子中，有Aeq \\al(3,4)种放法，所以满足题意的放法有Ceq \\al(2,4)·Aeq \\al(3,4)＝144(种)．
[题后总结] 计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，不能将二者混淆．若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会导致重复计数．
新课程标准
新学法解读
通过实例，理解组合的概念，能利用计数原理推导组合数公式.
1.理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．
2．会推导组合数公式，并会应用公式进行计算．
3．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明.
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的________，叫作从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的组合数
表示法
Ceq \\al(m,n)
组合数
公式
乘积
形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝________
阶乘
形式
Ceq \\al(m,n)＝________
性质
(1)Ceq \\al(m,n)＝________，
(2)Ceq \\al(m,n＋1)＝________
备注
①n∈N＋，m∈N且m≤n，②规定Ceq \\al(0,n)＝________