北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 乘法公式与事件的独立性导学案

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 乘法公式与事件的独立性导学案，共10页。


[笔记教材]
知识点一 乘法公式
由条件概率的定义P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)，则有P(AB)＝________(其中P(A)>0)．①
同理，P(AB)＝________其中P(B)>0.②
称公式①②为乘法公式，利用它们可以计算两个事件同时发生的概率．
这就是说，根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以由①求出A与B同时发生的概率；根据事件B发生的概率，以及已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，可以由②求出A与B同时发生的概率．知识点一
P(B|A)P(A) P(A|B)P(B)
知识点二 事件的独立性
(1)相互独立事件的定义：如果事件________是否发生对事件________发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫作相互独立事件．
(2)相互独立事件同时发生的概率公式：
两个相互独立事件同时发生的概率，等于____________，即
eq \x(PAB＝ .)
反之亦然，也就是有：P(AB)＝P(A)P(B)⇔事件A与事件B相互独立．
(3)相互独立事件的性质
若事件A与B相互独立，则________，________，________也都相互独立．
(4)推广：一般地，如果事件A1，A2…，An相互独立，那么n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝________.
(5)独立性与条件概率的现象
当P(B)>0时，A与B独立⇔P(A|B)＝________.其等价命题为：
①A与B独立⇔P(A|B)＋P(eq \x\t(A))＝________；
②A与B独立⇔(Peq \x\t(A)|B)＋P(A)＝________.
答案：(1)A(或B) B(或A)
(2)这两个事件发生的概率的积 P(A)P(B)
(3)A与 eq \x\t(B) eq \x\t(A)与B eq \x\t(A)与 eq \x\t(B)
(4)P(A1)P(A2)…P(An)
(5)P(A) 1 1
[重点理解]
关于事件的相互独立性理解
(1)当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)．
这也就同时说明，当P(A|B)≠P(A)时，事件B的发生会影响事件A发生的概率，此时A与B是不独立的．事实上，“A与B独立”也经常被说成“A与B互不影响”等．
推导：(充分性)当P(B)>0且P(AB)＝P(A)P(B)时，由条件概率的计算公式有P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(PAPB,PB)＝P(A)，即P(A|B)＝P(A)．同理，当P(A)>0时有P(B|A)＝P(B)．
(必要性)若P(A|B)＝P(A)，则有P(AB)＝P(B)P(A|B) ＝P(A)P(B)，即事件A与B独立．同理，若P(B|A)＝P(B)，可知事件A与B独立．
(2)对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)已知P(B|A)＝a，P(A)＝b，则P(AB)≠ ab.()
(2)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(√)
(3)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．(√)
(4)不可能事件与任何一个事件相互独立．(√)
(5)必然事件与任何一个事件相互独立．(√)
2．已知P(B|A)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(3,8)，则P(A)等于( )
A.eq \f(3,16)B．eq \f(13,16)
C.eq \f(3,4)D．eq \f(1,4)
答案：C3.(2022山东省实验中学段考)(多选题)下列说法一定不正确的是( )
A．P(B|A)B．P(B)＝P(A)P(B|A)
C．P(AB)＝P(A)·P(B)
D．P(A|A)＝0
答案：AD
4．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．
答案：0.56
5．一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则该产品的正品率为________．
答案：(1－a)(1－b)
研习1 乘法公式的应用
[典例1] 一批产品中有4%的次品，其余均为合格品，而合格品中的一等品占45%.从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率．
[解] 设“取到的产品是一等品”为事件A，“取到的产品是合格品”为事件B，则P(A|B)＝45%，P(eq \x\t(B))＝4%，于是P(B)＝1－P(eq \x\t(B))＝96%，故由题可得P(A)＝ P(AB) ＝P(B)P(A|B)＝96%×45%＝43.2%.
[巧归纳] 若P(B)>0，则P(AB)＝P(B)P(A|B)；若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)，这两个式子都称为乘法公式，可以利用计算两个事件同时发生的概率．
[练习1]设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为eq \f(1,2)；第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为eq \f(7,10)；前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为eq \f(9,10).求透镜落下三次而未打破的概率．
解：以Ai(i＝1,2,3)表示事件“透境第i次落下”，以B表示事件“透镜落下三次而未打破”，则P(B)＝P(eq \x\t(A)1eq \x\t(A)2eq \x\t(A)3)＝P(eq \x\t(A)1)P(eq \x\t(A)2|eq \x\t(A)1)P(eq \x\t(A)3|eq \x\t(A)1eq \x\t(A)2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,10)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(9,10)))＝eq \f(3,200).
研习2 独立事件的判断
[典例2] 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}，对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
[解] (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率都为eq \f(1,4).∵A＝{(男，女)，(女，男))，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，∴P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(3,4)，P(AB)＝eq \f(1,2).∴P(A)P(B)＝eq \f(3,8)≠P(AB)，∴事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知这8个基本事件的概率均为eq \f(1,8)，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．于是P(A)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4)，P(B)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(3,8)，显然有P(AB)＝eq \f(3,8)＝P(A)P(B)成立，从而事件A与B是相互独立的．
[巧归纳] 1.利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)·P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法判断，因此我们必须熟练掌握．
2．判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．
[练习2](2022山东聊城模拟考试)(多选题)已知事件A，B，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.3，则下列结论正确的是( )
A．如果B⊆A，那么P(A∪B)＝0.6，P(AB)＝0.3
B．如果A与B互斥，那么P(A∪B)＝0.9，P(AB)＝0
C．如果A与B相互独立，那么P(A∪B)＝0.9，P(AB)＝0
D．如果A与B相互独立，那么P(eq \x\t(A) eq \x\t(B))＝0.28，P(eq \x\t(A)B)＝0.12
答案：ABD
解析：A.若B⊆A，则A∪B＝ A，AB＝ B，A正确；
B．A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝是不可能发生的，故P(AB)＝0，B正确；
C．A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.18，C错误；
D. A与B相互独立，则eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也相互独立，P(eq \x\t(A) eq \x\t(B))＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))＝0.4×0.7＝0.28，同理得P(eq \x\t(A)B)＝0.12，D正确．故选ABD.
研习3 相互独立事件的概率的求解
[典例3] 面对某种病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有甲，乙，丙三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是eq \f(1,5)，eq \f(1,4)，eq \f(1,3).求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
[解] 令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝eq \f(1,5)，P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,3).
(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,60).
(2)他们都失败，即事件eq \x\t(A)eq \x\t(B)eq \x\t(C)同时发生．故P(eq \x\t(A)eq \x\t(B)eq \x\t(C))＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(eq \x\t(C))＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,5).
(3)“他们能够研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P＝1－P(eq \x\t(A)eq \x\t(B)eq \x\t(C))＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5).
[巧归纳] 1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤：(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．
[练习3]某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3)，若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
解：记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝eq \f(2,5)，P(B)＝eq \f(3,4)，P(C)＝eq \f(1,3)，设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)，
(1)三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)·P(C)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,10).
(2)三人都不合格的概率：P0＝P(eq \x\t(A)eq \x\t(B)eq \x\t(C))＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))·P(eq \x\t(C))＝eq \f(3,5)×eq \f(1,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,10).
(3)恰有两人合格的概率：P2＝P(ABeq \x\t(C) )＋P(Aeq \x\t(B)C)＋P(eq \x\t(A)BC)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＋eq \f(3,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(23,60).
恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－eq \f(1,10)－eq \f(23,60)－eq \f(1,10)＝eq \f(25,60)＝eq \f(5,12).
综合(1)(2)可知P1最大．所以出现恰有1人合格的概率最大.
研习4 互斥与独立
[典例4] (2022河南平顶山一中检测)若P(AB)＝eq \f(1,9)，P(eq \x\t(A))＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(1,3)，则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
[答案] C
[解析] 因为P(eq \x\t(A))＝eq \f(2,3)，所以P(A)＝eq \f(1,3)，又P(B)＝eq \f(1,3)，P(AB)＝eq \f(1,3)，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但不互斥．
[巧归纳] 互斥事件与相互独立事件两个概念是不相同的，要注意区别．概率公式也不相同，如A，B互斥时，P(AB)＝0，A，B相互独立时，P(AB)＝P(A)P(B)．
[练习4](2022广东茂名一中月考)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
答案：A
解析：对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A.
1．下列事件A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”
D．A表示“一个灯泡能用1 000小时”，B表示“一个灯泡能用2 000小时”
答案：A
解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D中事件B受事件A的影响．
2．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A.eq \f(1,2)B．eq \f(5,12)
C.eq \f(1,4)D．eq \f(1,6)
答案：B
解析：设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A，因为事件相互独立，所以P(A)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(5,12).
3．先后抛掷一枚骰子两次，则两次都出现奇数点的概率为________．
答案：eq \f(1,4)
4．(2022江西九江模拟)已知P(B|A)＝eq \f(1,3)，P(A)＝eq \f(3,5)，则P(AB)＝________.
答案：eq \f(1,5)
解析：∵P(B|A)＝eq \f(1,3)，P(A)＝eq \f(3,5).∴P(AB)＝P(B|A)P(A)＝eq \f(1,5).故答案为eq \f(1,5).
[误区警示]
对相互独立与互斥理解不清致错
[示例] 一个口袋中装有黑球和白球各5个，从中连摸两次球，每次摸一个且每次摸出后不放回，用A表示第一次摸得白球，B表示第二次摸得白球，则A与B是( )
A．互斥事件B．不相互独立事件
C．对立事件D．相互独立事件
[解析] 若A发生，P(B)＝eq \f(4,9)；若A不发生，P(B)＝eq \f(5,9)，B发生受A发生的制约．
[答案] B
[题后总结] 两个事件相互独立与互斥的区别
两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．当A与B互斥时，A与B一定不相互独立；反之亦然．
新课程标准
新学法解读
结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．结合古典概型，利用独立性计算概率.
1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．
2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
3．综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题.