北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 离散型随机变量的均值学案设计

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 离散型随机变量的均值学案设计，共12页。
[笔记教材]
知识点一 离散型随机变量的均值
(1)离散型随机变量的均值的概念
设离散型随机变量X的分布列如表：
则称EX＝__________________为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．
[说明]均值EX刻画的是X取值的“________”，反映了离散型随机变量X取值的________，是随机变量X的一个重要特征．
(2)两点分布的均值与均值的性质
①两点分布的均值：若离散型随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝1×p＋0×(1－p)＝________.
②均值的性质
若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则由X与Y之间分布列的关系可知EY＝________.
证明：若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，a≠0，X，Y是随机变量．因为P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n，于是EY＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pn)＝aEX＋b，即E(aX＋b)＝aEX＋b.
答案：(1)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 中心位置 平均水平
(2)①p ②aEX＋b
知识点二 离散型随机变量的方差
(1)离散型随机变量方差的概念
若离散型随机变量X的分布列如表：
则(xi－EX)2描述了xi(i ＝1,2，…，n)相对于均值EX的偏离程度，而 DX＝E(X－EX)2＝________为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根eq \r(DX)为随机变量X的标准差，记作σX.
[说明]随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于________．方差(标准差)越小则随机变量偏离于均值的平均程度________；反之，方差(标准差)越大，则随机变量的取值________．
(2)两点分布的方差与方差的性质
①两点分布的方差：若离散型随机变量X服从参数为p的两点分布，则DX＝________.
②方差的性质
若X与Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则由X与Y之间分布列和均值之间的关系可知DY＝________.
证明：DY＝(ax1＋b－aEX－b)2p1 ＋(ax2＋b－aEXb)2p2＋…＋(axn＋b－aEX－b)2pn＝a2(x1－EX)2p1＋(x2－EX)2p2＋…＋(xn－EX)2pn＝a2DX.
答案：(1) eq \(eq \(∑,\s\up6(n)),\s\d4(i＝1))(xi－EX)2pi 均值的平均程度 越小 越分散 (2)①p(1－p) ②a2DX
[重点理解]
1．对离散型随机变量的均值概念的深层理解
(1)离散型随机变量X的均值(数学期望)EX是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量的平均取值水平．即若随机试验进行了n次，根据X的分布列，在n次试验中，有p1n次出现了x1，有p2n次出现了x2，……，有pnn次出现了xn，则n次试验中，X的平均值为eq \f(p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn,n)＝EX，即EX＝p1x2＋p2x2＋…＋pnxn.
(2)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．
2．对离散型随机变量的方差的深层理解
(1)离散型随机变量X的方差DX是个数值，是随机变量的一个重要特征数，(x1－EX)2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值EX的偏离程度，而DX是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
(2)标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．
(3)均值与方差的关系
在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化．()
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同．()
(3)均值是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．(√)
(4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．()
(5)若a是常数，则Da＝0.(√)
(6)离散型随机变量X的方差与样本数据的方差概念相同．()
(7)DX的单位是随机变量X单位的平方．(√)
2．已知离散型随机变量X的分布列为
则X的数学期望EX＝( )
A.eq \f(3,2)B．2
C.eq \f(5,2)D．3
答案：A
3．如果X是离散型随机变量，且EX＝5，则随机变量Y＝3X＋2的均值为________．
答案：17
4．已知随机变量X的分布列为
则DX＝________.
答案：0.61
5．设一随机试验的结果只有A和eq \x\t(A)，且P(A)＝p，令随机变量X＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，A发生，,0，A不发生，))则X的方差DX＝________.
答案：p(1－p)
研习1 离散型随机变量的均值
[典例1] 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数X的分布列与期望．
[解] (1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则eq \x\t(A)表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得：
P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝1－eq \f(A\\al(2,3),A\\al(2,6))＝1－eq \f(1,5)＝eq \f(4,5).
(2)X的所有可能值为0,1,2,3,4，且
P(X＝0)＝eq \f(10,A\\al(2,6))＝eq \f(1,3)，P(X＝1)＝eq \f(8,A\\al(2,6))＝eq \f(4,15)，
P(X＝2)＝eq \f(6,A\\al(2,6))＝eq \f(1,5)，P(X＝3)＝eq \f(4,A\\al(2,6))＝eq \f(2,15)，
P(X＝4)＝eq \f(2,A\\al(2,6))＝eq \f(1,15).
从而知X的分布列为
所以EX＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(4,15)＋2×eq \f(1,5)＋3×eq \f(2,15)＋4×eq \f(1,15)＝eq \f(4,3).
[巧归纳] 1.求离散型随机变量X的均值的步骤：
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．
(3)写出X的分布列．
(4)利用均值的定义求EX.
2．注意运用随机变量均值的性质．
[练习1](1)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且Eη＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为( )
A.eq \f(1,3)B．eq \f(1,4)
C.eq \f(1,6)D．eq \f(1,8)
(2)根据统计，一年中，一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者交保险费100元，若在一年之内，万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元(a>100)，问a如何确定，可使保险公司获益？
(1)答案：A
解析：因为η＝12ξ＋7，则Eη＝12Eξ＋7，即Eη＝12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1×\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×\f(1,12)))＋7＝34.所以2m＋3n＝eq \f(5,3)①，又eq \f(1,4)＋m＋n＋eq \f(1,12)＝1，所以m＋n＝eq \f(2,3)②.由①②可解得m＝eq \f(1,3).
(2)解：设保险公司获益ξ元，则可得ξ的分布列
所以Eξ＝100×0.99＋(－a＋100)×0.01＝100－0.01a>0.所以100