北师大版高中数学选择性必修第一册6-4二项分布与超几何分布学案

§4　二项分布与超几何分布

新课程标准
新学法解读
1.通过具体实例，了解n次独立重复试验(又称n重伯努利试验)，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题．
2．通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．
1.注意理解在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率公式与二项式定理之间的联系．
2．在利用二项分布解决实际问题的过程中，深化对随机现象的认识，体会特殊分布的应用．
3．通过具体实例，了解超几何分布，并能解决简单的实际问题.

[笔记教材]
知识点一　n次独立重复试验(又称n重伯
努利试验)
(1)定义：一般地，在________下重复做n重伯努利试验，且每次试验的结果________，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验．
(2)概率公式
一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝____________________.
公式的推导：首先，由独立事件的概率公式可知，n次独立重复试验中，事件A在某指定的k次发生而在其余的(n－k)次不发生的概率为pk(1－p)n－k；其次，事件A在n次试验中发生k次的不同发生方式有C种，且它所对应的C个事件是互斥的，因而由概率的加法公式可知P(x＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
答案：(1)相同条件　都不受其他试验结果的影响
(2)Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)
知识点二　二项分布
(1)二项分布的定义
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0,1，…，n，因此X的分布列如下表所示.
X
0
1
…
k
…
n
P
Cp0qn
Cp1qn－1
…
Cpkqn－k
…
Cpnq0
注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X________参数为n，p的二项分布，记作________．
[说明]两点分布是二项分布在参数n＝________时的特殊情况．
(2)二项分布和两点分布的期望与方差
一般地，若随机变量X～B(n，p)，则
EX＝________，DX＝________.
特殊地，若随机变量X服从参数为p的两点分布，则
EX＝________，DX＝________.
答案：(1)服从　X～B(n，p)　1　(2)np　np(1－p)　p　p(1－p)
知识点三　超几何分布
(1)定义：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝________，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}．
其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.
公式中的k可以取的最小为max{0，n－(N－M)}，而不一定是0.
若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为________的超几何分布．
答案：　N，M，n
知识点四　二项分布与超几何分布的区别与
联系
(1)区别：由__________________________，由____________________，这两个分布的关系：在产品抽样检验中，如果采用________，则次品数________，如果采用________，则次品数服从________．在实际工作中，抽样一般都采用不放回方式，因此在计算次品数为k的概率时应该用超几何分布．
(2)联系：_________________________________________.
答案：(1)古典概型得出超几何分布　独立重复试验得出二项分布　有放回抽样　服从二项分布　不放回抽样　超几何分布
(2)当产品总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，计算超几何分布时可以用二项分布来代替
[重点理解]
1．使用概率公式的注意点
(1)公式必须在满足“独立重复试验”时才能运用．
(2)使用公式时一定要明确该公式中各量表示的意义：n为独立重复试验的次数；p是在1次试验中事件A发生的概率；1－p是在1次试验中事件A不发生的概率；k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数．
(3)独立重复试验是相互独立事件的特例．一般地，有“恰好发生k次”“恰有k次发生”字样的问题，求概率时，用n次独立重复试验概率公式计算更简便．
2．对超几何分布的理解
(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”．如果是有放回地抽取，就变成了n次伯努利试验，这时满足二项分布．所以两个概率模型的区别就在于是否为有放回地抽取．
(2)若随机变量X满足：①试验是不放回地抽取n次；②随机变量X表示抽取到两类中其中一类物品的件数．则该随机变量服从超几何分布．
(3)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③已知各类对象的个数；④从中抽取若干个个体，考察样本中某类个体个数X的概率分布列．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)在抛掷骰子的试验中，每一次试验可能出现的结果有6种．(√)
(2)在抛掷硬币的试验中，每一次试验可能出现的结果有2种．(√)
(3)若X～B(n，p)，则X的取值有n＋1个．(√)
(4)在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样．()
(5)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.()
(6)从4男、3女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(√)
2．任意抛掷三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为(　　)
A. B．
C. D．
答案：B
3．一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则含有3个黑球的概率为(　　)
A. B．
C. D．
答案：A
4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于的是(　　)
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
答案：C
5．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有一箱不合格产品，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率是________．
答案：

研习1 二项分布
[典例1]　抛掷两枚正方体骰子，取其中一枚的点数为点P的横坐标，另一枚的点数为点P的纵坐标，求连续抛掷两枚骰子三次，点P在圆x2＋y2＝16内的次数X的分布列．
[解]　由题意可知，P点的坐标可能有6×6＝36(种)情况，而符合题意的点只有8个(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，那么在抛掷两枚骰子一次时，点P在圆x2＋y2＝16内的概率为＝.
由题意可知X～B，
所以P(X＝0)＝C0×3＝，
P(X＝1)＝C1×2＝＝，P(X＝2)＝C2×1＝＝，P(X＝3)＝C3×0＝.故X的分布列为
X
0
1
2
3
P




[巧归纳]　解决二项分布问题的两个关注点
(1)公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1，2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
若服从二项分布，则确定对应的n，p的值，从而利用二项分布公式正确计算．
[练习1]某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数x的分布列．
解：由题意，得到的次品数X～B(2,0.05)，
P(X＝0)＝C×0.952＝0.902 5；
P(X＝1)＝C×0.05×0.95＝0.095；
P(X＝2)＝C×0.052＝0.002 5.
因此次品数X的分布列如下：
X＝k
0
1
2
P(X＝k)
0.902 5
0.095
0.002 5
研习2 　超几何分布
[典例2]　某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数．求X的分布列．
[解]　依题意随机变量X服从超几何分布，所以P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3,4)．所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P





[巧归纳]　求超几何分布问题的注意事项
(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布．
(2)在超几何分布公式中，P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中，m＝min{M，n}，且0≤n≤N,0≤k≤n,0≤k≤M,0≤n－k≤N－M.
(3)如果随机变量X服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值．
(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．
[练习2]一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；
(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列．
解：(1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝C＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为CCC＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P＝＝.
(2)解：由题意知X＝0,1,2,3.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




研习3 超几何分布与二项分布的均值
[典例3]　 (1)从4名男生和2名女生中任选3人参加某演讲活动，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求数学期望EX.
(2)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
①若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
②设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X，求X的概率分布列及数学期望EX.
[解]　(1)方法一：随机变量X服从参数为N＝6，M＝2，n＝3的超几何分布，则EX＝＝＝1.
方法二：X可能取的值为0,1,2，P(X＝k)＝，k＝0,1,2.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P



所以EX＝0×＋1×＋2×＝1.
(2)①设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，
那么1－P()＝1－p＝，解得p＝.
②由题意，知X～B，
P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C2＝，
P(X＝2)＝C2＝，
P(X＝3)＝C03＝.
所以随机变量X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P




故随机变量X的数学期望为
方法一：EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
方法二：EX＝3×＝.
[巧归纳]　(1)如果随机变量X～B(n，p)，则EX＝np.
如果随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，它的均值EX＝n.
(2)超几何分布和二项分布是两种特殊而且应用相当广泛的分布列，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接用公式求出期望．
[练习3](1)(2022福建福州检测)某市为了解居民用水情况，通过抽样得到部分家庭月均用水量的数据，制得频率分布直方图(如图)．若以频率代替概率，从该市随机抽取5个家庭，则月均用水量在8到12吨的家庭个数X的数学期望是(　　)

A．3.6 B．3
C．1.6 D．1.5
(2)(2022江苏兴化一中月考)现有10件产品，其中6件一等品，4件二等品，从中随机选出3件产品，其中一等品的件数记为随机变量X，则X的数学期望EX＝________.
(1)答案：B
解析：由频率分布直方图知，月均用水量在8到12吨的频率为(0.16＋0.14)×2＝0.6.
以样本频率作为概率，从该市居民中任选5家，月均用水量在8到12吨的家庭个数为随机变量X，则X～B(5，0.6)，所以X的数学期望为EX＝5×0.6＝3.故选B.
(2)答案：
解析：由题意可得：随机变量X服从超几何分布：
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
据此计算可得X的数学期望EX＝.
研习4 二项分布的方差
[典例4]　一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.
(1)求这位司机遇到红灯次数ξ的期望与方差；
(2)若遇上红灯，则需等待30 s，求司机总共等待时间η的期望与方差．
[解]　 (1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，
即ξ～B，故Eξ＝6×＝2，Dξ＝6××＝.
(2)由已知η＝30ξ，故Eη＝30Eξ＝60，Dη＝900Dξ＝1 200.
[巧归纳]　二项分布方差的计算
(1)定类型：二项分布问题与独立性重复试验紧密相关，因此在问题分析时应恰当地将试验化归为独立重复试验，从而将问题转化为二项分布问题．
(2)用公式：当随机变量X服从二项分布时，可不用列出分布列，直接由公式求出．即若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．
[练习4](2022广东中山模拟)某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X分，B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y分，则DY－DX的值为(　　)
A. B．
C. D．
答案：A
解析：设A学生答对题的个数为m，则得分X＝5m(分)，m～B，Dm＝12××＝，所以DX＝25×＝，同理设B学生答对题的个数为n，可知n～B，Dn＝12××＝，所以DY＝×25＝，所以DY－DX＝－＝.故选A.

1．设X～B(3，p)，且P(X＝2)＝，则概率p等于(　　)
A. B．
C. D．
答案：A
解析：由P(X＝2)＝Cp2(1－p)＝，解得p＝.
2．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　)
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生，3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
答案：B
解析：由超几何分布的数学模型和计算公式知A，C，D均不是超几何分布，选项B是超几何分布．
3．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a＝(　　)
A．1 B．2或8
C．2 D．8
答案：B
解析：由题意，得＝，解得a＝2或a＝8.
4．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k＋1次正面的概率，那么k的值为________．
答案：2
解析：因为Ck5－k＝Ck＋1·5－k－1，所以2k＝4，所以k＝2.


[误区警示]
对独立重复试验理解有误致错
[示例]　某电视台举行奥运知识大赛，比赛分为初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行．每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为.
(1)求选手甲可进入决赛的概率；
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列．
[错解]　由题意，选手甲答题的错误率为1－＝.
(1)选手甲答3题进入决赛的概率为C×3×2＝，
选手甲答4题进入决赛的概率为C×4×1＝，选手甲答5题进入决赛的概率为C×5＝，
所以选手甲可进入决赛的概率为＋＋＝＝.
(2)依题意，ξ的可能取值为3,4,5，则P(ξ＝3)＝3＋3＝，
P(ξ＝4)＝C×3×＋C×3×＝，
P(ξ＝5)＝C×3×2＋C×2×3＝＝，
则答题的个数ξ的分布列为
ξ
3
4
5
P



[错因分析]　本题易错之处在于：(1)甲答3题进入决赛是指甲前3题全部答对，甲答4题进入决赛是指前3题中答对2题，答错1题，第4题答对．只有前3次答题事件满足独立重复试验．同理答5题进入决赛是指前4题中答对2题，答错2题，第5题答对．只有前4次答题事件满足独立重复试验，不是对全部进行独立重复试验．
(2)甲答3题结束比赛，指前3题全答对或全答错．甲答4题结束比赛，指前3题中答对2题，答错1题，第4题答对进入决赛，或前3题中答错2题，答对1题，第4题答错被淘汰．甲答5题结束比赛，是指前4题中答对2题，答错2题，第5题答对进入决赛，或前4题答错2题，答对2题，第5题答错被淘汰．
[正解]　由题意，选手甲答题的错误率为1－＝.
(1)选手甲答3题进入决赛的概率为3＝，
选手甲答4题进入决赛的概率为C×2×1×＝，
选手甲答5题进入决赛的概率为C×2×2×＝，
所以选手甲可进入决赛的概率为＋＋＝.
(2)依题意，ξ的可能取值为 3,4,5，则
P(ξ＝3)＝3＋3＝，
P(ξ＝4)＝C×2×1×＋C×2×1×＝，
P(ξ＝5)＝C×2×2×＋C×2×2×＝，
则答题的个数ξ的分布列为
ξ
3
4
5
P



[题后总结]　求复杂事件的概率，应先列出涉及的各事件，把复杂事件分为若干简单事件来处理，最后根据事件之间的关系选取相应的公式进行运算．正确理解事件发生的情况是解决本题的关键．