北师大版高中数学选择性必修第一册5-1计数原理课件

1 计数原理 2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会将在北京和张家口市联合举行，这是体坛的一大盛事，一名志愿者从成都赴北京为奥运会服务，从成都到北京每天有3个航班，2列火车．该志愿者从成都到北京的方案可以分为几类？在这几类中各有几种方法？该志愿者从成都到北京共有多少种不同的方法？成都北京1.通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”.3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.1.通过两个计数原理的学习，体现了逻辑推理的素养．2.借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，提升数学运算的素养.课标要求素养要求问题1 从甲地到乙地，可以乘飞机，可以乘火车，也可以乘轮船,还可以乘汽车。每天有2个班次的飞机，有4个班次的火车，有2个班次的轮船，有1个班次的汽车.那么,乘坐以上交通工具中的一种从甲地到乙地，在一天中共有多少种选择呢?探究点1 分类加法计数原理图5-1分析 如图5-1,该问题需要完成的是:从甲地到乙地共有多少种方法.所有方法可以分成:乘飞机、火车、轮船、汽车4类办法，每类办法中分别又有2,4,2,1种方法.于是，乘坐以上交通工具从甲地到乙地，共有2+4+2+1=9种方法.图5-1 思考1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 提示：因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.思考2：你能说说解决以上问题的步骤吗？提示：解决以上问题的步骤如下：(1)求完成一件事的所有方法数，这些方法可以分成n类，且类与类之间两两不交;(2)求每一类中的方法数；⑶ 把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数.你能举出一些生活中类似的例子吗？ 分类加法计数原理 完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种方法.(也称“加法原理”)两类不同方案中的方法互不相同注意:完成这件事的若干种方法可以分成n类，且类与类之间两两不交.问题2 春节到了，某同学要与父母一起参加家庭聚会.(1)她有3件不同的上衣,4条不同的裤子,如果把1件上衣和1条裤子看作一种搭配方法,那么共有多少种搭配方法？(2)她还有5双不同的鞋子,如果把1件上衣、1条裤子和1双鞋子看作一种搭配方法, 那么共有多少种搭配方法？探究点2 分步乘法计数原理分析 (1)我们先看裤子的选择方法数，有4条不同的裤子，则有4种选择方法;每一条裤子对应3件不同的上衣，如图5-2.因此，根据分类加法计数原理，共有N=3+3+3+3=3×4=12种搭配方法.(2)由题意知还有5双不同的鞋子，且每一双鞋子对应的裤子和上衣的搭配方法有12种，如图5-3.因此，根据分类加法计数原理，共有N=12+12+12+12+12=12×5=3×4×5=60种搭配方法. 若再考虑围巾、帽子等因素，则可以按照类似的思路继续进行. 实际上，我们可以发现，问题(1)是分两步完成，第1步确定裤子有4种选择方法，第2步确定每一条裤子对应3件上衣;问题(2)是在问题(1)的基础上确定每一双鞋子对应12种 裤子和上衣的搭配方法,即需要分三步完成.思考3：你能说说解决以上问题的步骤吗？提示：解决以上问题的步骤如下：(1)完成一件事需要经过Q个步骤；(2)完成每一步有若干种方法，且每一步对其他步没有影响；(3)把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.你能举出一些生活中类似的例子吗？分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N=m1•m2•…•mn种方法.(也称“乘法原理”)一个步骤不能单独完成这件事情注意:完成这件事情需要若干个步骤，每个步骤不能单独完成这件事情.例1 在1,2,3,…,200中,能够被5整除的数共有多少个？探究点3 计数原理的应用解 能够被5整除的数，末位数字是0或5,因此,我们把1,2,3,…,200中能够被5整除的数分成2类来计数：第1类，末位数字是0的数，共有20个；第2类，末位数字是5的数，共有20个.根据分类加法计数原理,在1,2,3,…,200中,能够被5整除的数共有N=20+20=40个.例2 如图5-4,从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条.李明要从A村先到B村,再经过C村,最后到D村,共有多少条线路可以选择？解 先考虑李明从A村经过B村到C村:从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，因此李明从A村经过B村到C村可以分成3类, 每一类都有2种不同的方法，共有2+2+2=2×3=6条线路可以选择. 再考虑从C村到D村，有3条道路可以选择，因此可以认为有3类，共有6+6+6=3×6=18条线路可以选择.因此，整个行程可以理解为共有N=2×3×3=18条线路可以选择. 【总结提升】 以上例题,再次从分类加法计数原理的角度理解分步乘法计数原理.分步乘法计数原理的本质实际上是分类加法计数,事实上，可以把第一步的m1种不同的方法看成有m1类，只不过每一类的方法数是相同的，因此可以运用乘法表示加法.下面的例题就是对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的直接应用.例3 有一项活动，需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加.(1)若只需1名参加，共有多少种选法？(2)若需教师、男学生、女学生各1名参加，共有多少种选法？解 ⑴只要选出1名就可以完成这件事，而选出的1名有3种不同类型,即教师、男学生或女学生，因此要分3类相加：第1类,选出的是教师，有3种选法；第2类，选出的是男学生，有8种选法；第3类，选岀的是女学生，有5种选法.根据分类加法计数原理，共有N = 3 + 8 + 5 = 16种选法.例3 有一项活动，需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加.(1)若只需1名参加，共有多少种选法？(2)若需教师、男学生、女学生各1名参加，共有多少种选法？解 (2)完成这件事,需要分别选出1名教师、1名男学生和1名女学生,可以先选教师，再选男学生,最后选女学生，因此要分3步相乘：第1步，选1名教师，有3种选法；第2步，选1名男学生，有8种选法；第3步，选1名女学生，有5种选法.根据分步乘法计数原理，共有N = 3×8×5 = 120种选法.【归纳总结】22C23B24502526  分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.完成了所有步骤 ,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独 立 .分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步方法数相乘,得到总数. 两大原理妙无穷, 茫茫数理此中求; 万万千千说不尽, 运用解题任驰骋。2.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的方法技巧