高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.2 空间向量运算的坐标表示及其应用学案

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[笔记教材]
知识点一 空间向量的标准正交分解与
坐标表示
(1)标准正交基
{i，j，k}为标准正交基，需满足的两个条件：
①i，j，k的方向分别与空间直角坐标系中________、________、________的正方向相同；
②i，j，k是________向量．
(2)空间向量的标准正交分解
前提条件：①{i，j，k}为标准正交基，p是空间________向量；
②存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得________成立．
结论：________叫作p的标准正交分解．
(3)空间向量的坐标表示
若空间向量p的标准正交分解为p＝xi＋yj ＋zk，则________叫作空间向量p的坐标，记作p＝________.
答案：(1)①x轴 y轴 z轴 ②单位 (2)①任意一个 ②p＝xi＋yj＋zk p＝xi＋xj＋zk (3)(x，y，z) (x，y，z)
知识点二 空间向量运算的坐标表示
(1)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则eq \(AB,\s\up6(→))＝________________.
(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)
①加法：a＋b＝________________；
②减法：a－b＝________________；
③数乘：λa＝________________；
④数量积：a·b＝________________.
答案：(1)(x2－x1，y2－y1，z2－z1) (2)①(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) ②(x1－x2，y1－y2，z1－z2) ③(λx1，λy1，λz1) ④x1x2＋y1y2＋z1z2
知识点三 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，当b≠0时，
a∥b⇔a＝λb⇔______________(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔________________；
|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1))；
csa，b＝eq \f(a·b,|a||b|)＝
eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)＋z\\al(2,2))).
答案：x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
[重点理解]
1．对空间向量坐标的理解
(1)向量a的坐标实质上是向量a的标准正交分解的系数．
(2)两个向量相等等价于它们对应的坐标相等，如a＝(x1，y1，z1)与b＝(x2，y2，z2)相等，等价于x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2.
(3)在空间直角坐标系中，点P的坐标为(x，y，z)，O为坐标原点，则向量eq \(OP,\s\up6(→))的坐标也是(x，y，z)．这是因为向量eq \(OP,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk，即在标准正交基i，j，k中对应有序实数组(x，y，z)．点P的坐标(x，y，z)反映的是点P在空间直角坐标系中的位置，向量eq \(OP,\s\up6(→))的坐标(x，y，z)反映的是向量的方向与长度．
(4)若向量a不在空间直角坐标系内的任何一个坐标平面内，则把|a|的起点移到坐标原点，以a为对角线，在x轴、y轴、z轴上截取棱作长方体，长方体的各棱长就是相应坐标的绝对值．
2．关于空间向量平行的坐标表示的理解
(1)空间向量平行的坐标表示与平面向量平行不一样，它没有平面向量平行的等积式x1y2＝x2y1，但实质都是对应的坐标成比例．
(2)从空间向量平行的坐标表示更易理解空间向量共线定理中的“b≠0”和“有且只有一个实数λ”的对应．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)在空间直角坐标系中，向量eq \(AB,\s\up6(→))的坐标与终点B的坐标相同．()
(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b⇒eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)＝eq \f(z1,z2).()
(3)四边形ABCD是平行四边形，则向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))的坐标相同．(√)
(4)设A(0,1，－1)，O为坐标原点，则eq \(OA,\s\up6(→))＝(0,1，－1)．(√)
2．已知i，j，k分别是空间直角坐标系O－xyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，且eq \(AB,\s\up6(→))＝－i＋j－k，则点B的坐标是( )
A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1) D．不确定
答案：D
3．下列说法中不正确的是( )
A．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基
B．竖坐标为0的向量平行于x轴与y轴所确定的平面
C．纵坐标为0的向量都共面
D．横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直
答案：A
4．在空间直角坐标系O－xyz中，下列说法中正确的是( )
A．向量eq \(AB,\s\up6(→))的坐标与点B的坐标相同
B．向量eq \(AB,\s\up6(→))的坐标与点A的坐标相同
C．向量eq \(AB,\s\up6(→))的坐标与向量eq \(OB,\s\up6(→))的坐标相同
D．向量eq \(AB,\s\up6(→))的坐标与eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))的坐标相同
答案：D
5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则eq \(AD1,\s\up6(→))的坐标为________，eq \(AC1,\s\up6(→))的坐标为________．
答案：(0,2,1) (2,2,1)
研习1 空间向量的加法与减法运算
[典例1] (1)(2022天津静海区大邱庄中学月考)如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝eq \f(1,4)A1B1，则eq \(BE,\s\up6(→))等于( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)，－1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0，1))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,4)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0，－1))
(2)(2022福建福清西山学校模拟)已知向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,0,2)，则a·(b＋c)＝( )
A．6 B．7
C．9 D．13
(1)[答案] C
[解析] 由题，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝eq \f(1,4)A1B1，则B(1,1,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,4)，1))，∴ eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(OE,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,4)，1))－(1,1,0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,4)，1))，故选C．
(2)[答案] C
[解析] 由a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,0,2)，得b＋c＝(2,0,5)，
∴a·(b＋c)＝2×2＋(－3)×0＋1×5＝9，故选C．
[巧归纳] 关于空间向量坐标运算的两类问题：(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．(2)由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．
[练习1](1)(2022福建南安侨光中学月考)已知点A(1,1,0)，向量eq \f(1,2)AB＝(4,1,2)，则点B的坐标为( )
A．(7，－1,4) B．(9,3,4)
C．(3,1,1) D．(1，－1,1)
(2)(2022山东宁阳一中模拟)已知向量a＝(1,3，－2)，b＝(2,1,0)，则a－2b＝( )
A．(－3,1，－2) B．(5,5，－2)
C．(3，－1,2) D．(－5，－5,2)
(1)答案：B
解析：由题意得eq \(AB,\s\up6(→))＝(8,2,4)
∴eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,1,0)＋(8,2,4)＝(9,3,4)，即B点坐标为(9,3,4)．故选B．
(2)答案：A
解析：∵2b＝(4,2,0)，∴a－2b＝(－3,1，－2)．故选A．
研习2 空间向量共线(平行)与垂直问题
[典例2] 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq \(AB,\s\up6(→))，b＝eq \(AC,\s\up6(→)).
(1)若|c|＝3，c∥eq \(BC,\s\up6(→))，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
(1)[解] 因为eq \(BC,\s\up6(→))＝(－2，－1,2)，且c∥eq \(BC,\s\up6(→))，所以设c＝λeq \(BC,\s\up6(→))＝(－2λ，－λ，2λ)，
得|c|＝eq \r(－2λ2＋－λ2＋2λ2)＝3|λ|＝3，解得λ＝±1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)[解] 因为a＝eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，b＝eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－eq \f(5,2).
[巧归纳] (1)平行与垂直的判断：①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线；②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.(2)平行与垂直的应用：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
[练习2](1)(2022浙江宁波诺丁汉附中月考)与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),10)，\f(2\r(2),5)，－\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(2),10)，－\f(2\r(2),5)，\f(\r(2),2)))
B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),10)，\f(2\r(2),5)，－\f(\r(2),2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),10)，\f(2\r(2),5)，\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(2),10)，－\f(2\r(2),5)，－\f(\r(2),2)))
D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(2),10)，－\f(2\r(2),5)，\f(\r(2),2)))
(2)(2022内蒙古鄂尔多斯衡水实验中学模拟)已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( )
A．2 B．－eq \f(4,3)
C．eq \f(14,5) D．－2
(1)答案：A
解析：根据共线的定义可设与向量(－3，－4,5)共线的单位向量为(－3k，－4k,5k)，所以(－3k)2＋(－4k)2＋(5k)2＝50k2＝1，可得k＝±eq \f(\r(2),10)，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(2),10)，－\f(2\r(2),5)，\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),10)，\f(2\r(2),5)，－\f(\r(2),2)))，故选A．
(2)答案：A
解析：∵a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，∴a－λb＝(－2,1,3)－λ(－1,2,1)＝(－2＋λ，1－2λ，3－λ)∵a⊥(a－λb)，∴a·(a－λb)＝(－2)×(－2＋λ)＋1×(1－2λ)＋3×(3－λ)＝0，解得λ＝2.故选A．
研习3 空间向量的夹角与长度的计算
[典例3] 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长．
(1)[证明] 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
则D(0,0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，C(0，1,0)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2))).所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，eq \(CG,\s\up6(→)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－1，\f(1,2))).因为eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×0＝0，所以eq \(EF,\s\up6(→))⊥eq \(CF,\s\up6(→))，即EF⊥CF.
(2)[解] 因为eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×1＋eq \f(1,2)×0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(3),2)，
|eq \(CG,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2)，所以cs〈eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(CG,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(EF,\s\up6(→))·\(CG,\s\up6(→)),|\(EF,\s\up6(→))||\(CG,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(1,4),\f(\r(3),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(15),15).又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为eq \f(\r(15),15).
(3)[解] |CE|＝|eq \(CE,\s\up6(→))|＝eq \r(02＋－12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2).
[巧归纳] 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时更便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．
[练习3](1)(2022山东夏津第一中学月考)已知空间向量a＝(3,0,1)，b＝(－2,1，n)，c＝(1,2,3)且(a－c)·b＝2，则a与b的夹角的余弦值为( )
A．eq \f(\r(210),21) B．－eq \f(\r(210),21)
C．eq \f(\r(7),21) D．－eq \f(\r(7),21)
(2)(2022北京第四十三中学模拟)已知向量a＝(－1,2,1)，b＝(3，x，y)，且a∥b，那么|b|＝( )
A．3eq \r(6) B．6 C．9 D．18
(1)答案：B
解析：a－c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，0，1))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2，3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－2，－2))，因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－c))·b＝－4－2－2n＝2，解得n＝－4，即b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1，－4)).所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))＝eq \f(－6＋0－4,\r(9＋0＋1)·\r(4＋1＋16))＝eq \f(－\r(210),21).故选B．
(2)答案：A
解析：根据题意，向量a＝(－1,2,1)，b＝(3，x，y)，且a∥b，则设b＝ka，即(3，x，y)＝k(－1,2,1)，则有k＝－3，则x＝－6，y＝－3，则b＝(3，－6，－3)，故|b|＝eq \r(9＋36＋9)＝3eq \r(6).故选A．
1．(2022北京模拟)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－1,0,1)，则a＋2b＝( )
A．(－1,2,5) B．(－1,4,5)
C．(1,2,5) D．(1,4,5)
答案：A
解析：因为a＝(1,2,3)，b＝(－1,0,1)，则a＋2b＝(1,2,3)＋2(－1,0,1)＝(－1,2,5)．
故选A．
2．(2022天津静海区瀛海学校月考)已知向量a＝(λ，1,3)，b＝(0，－3,3＋λ)，若a⊥b，则实数λ的值为( )
A．－2 B．－eq \f(3,2)
C．eq \f(3,2) D．2
答案：A
解析：因为a⊥b，所以λ×0＋1×(－3)＋3×(3＋λ)＝0，∴λ＝－2.故选A．
3．(2022北京中关村中学模拟)已知向量a＝(－1,2,1)，b＝(3，x,1)，且a⊥b，那么eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))等于( )
A．eq \r(10) B．eq \r(11)
C．2eq \r(3) D．5
答案：B
解析：因为向量a＝(－1,2,1)，b＝(3，x,1)，且a⊥b，所以－1×3＋2x＋1＝0，解得x＝1，
所以b＝(3,1,1)，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝eq \r(32＋12＋12)＝eq \r(11)，故选B．
4．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
答案：A
解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,4,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(5,1,3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，－3,1)．由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＞0，得A为锐角；由eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＞0，得C为锐角；由eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＞0，得B为锐角．所以△ABC为锐角三角形．
[误区警示]
向量加减法几何意义不明确致错
[示例] 已知向量a＝(1,2，－1)，b＝(m，m2＋3m－6，n)，若向量a，b同向，求实数m，n的值．
[错解] 由题意可知a∥b，所以eq \f(m,1)＝eq \f(m2＋3m－6,2)＝eq \f(n,－1)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋3m－6＝2m，,n＝－m，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－3，,n＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝－2.))
[错因分析] “两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件，错解中错认为“同向”就是“平行”，从而导致错误．
[正解] 由题意可知a∥b，
所以eq \f(m,1)＝eq \f(m2＋3m－6,2)＝eq \f(n,－1)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋3m－6＝2m，,n＝－m，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－3，,n＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝－2.))
当m＝－3，n＝3时，b＝(－3，－6,3)＝－3a，向量a，b反向，不符合题意，舍去；
当m＝2，n＝－2时，b＝(2,4，－2)＝2a，向量a，b同向，符合题意．
综上，m＝2，n＝－2.
[题后总结] 由于向量可以任意平移，所以有关向量的平行问题与直线的平行问题是有区别的，并且两向量同向与两向量平行也是不等价的．若两向量平行，则两向量可能同向，也可能反向．
新课程标准
新学法解读
1．了解标准正交基的概念；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2．掌握空间向量的坐标运算；会判断两向量平行或垂直；掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式.
1．会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题.
2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．
3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题.