北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 直线的方程导学案及答案

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 直线的方程导学案及答案，共10页。
[笔记教材]
知识点一 直线的两点式方程
知识点二 直线的截距式方程
答案：a≠0，b≠0
知识点三 直线的一般式方程
把关于x，y的二元一次方程________(其中A，B不全为0)叫作直线的一般式方程，简称一般式．
答案：Ax＋By＋C＝0
知识点四 直线的点法式方程
(1)直线的法向量
与方向向量________的向量称为直线的法向量．
(2)直线方程的点法式
在平面直角坐标系中，已知直线l经过点P(x0，y0)，且它的一个法向量为n＝(A，B)，则直线l的点法式方程为________．
答案：(1)垂直 (2)A(x－x0)＋B(y－y0)＝0
[重点理解]
1．对于直线方程两点式的3条提醒
(1)两点确定一条直线，直线的两点式方程的表示与P1，P2的选取无关.eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)⇔eq \f(y－y2,y1－y2)＝eq \f(x－x2,x1－x2)，即直线的两点式方程的表示与P1(x1，y1)和P2(x2，y2)这两点的选取顺序无关．
(2)方程eq \f(y－y1,x－x1)＝eq \f(y2－y1,x2－x1)表示直线上的动点(x，y)与定点(x1，y1)连线的斜率始终等于定点(x1，y1)与(x2，y2)连线的斜率，则此时方程表示的直线不包含点(x1，y1)．
(3)若把两点式变形为(y－y1)(x2－x1)＝(y2－y1)(x－x1)，则此时方程表示过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线．
2．对于直线方程的截距式的4条注意点
(1)截距并非距离，截距相等的情况包括截距为零的情况．
(2)截距式方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1应用的前提是a≠0且b≠0，即直线过原点或与坐标轴垂直时不能用截距式方程．
(3)截距式方程的特点有两个：一是中间必须用“＋”连接，二是等式的一端是1.
(4)截距式方程是两点式方程的一种特殊情况(两点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时比较方便．直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1与坐标轴围成的三角形的面积S＝eq \f(1,2)|a||b|.
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)过点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线都可以用方程eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)表示．()
(2)在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.()
(3)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(√)
(4)任何一条直线的方程都可以转化为一般式．(√)
(5)直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距为－eq \f(C,A)，在y轴上的截距为－eq \f(C,B).()
(6)若直线Ax＋By＋C＝0与两坐标轴都相交，则A≠0或B≠0.()
2．经过点A(－3,2)，B(4,4)的直线的两点式方程为( )
A.eq \f(y－2,2)＝eq \f(x＋3,7) B.eq \f(y－2,－2)＝eq \f(x－3,7)
C.eq \f(y＋2,2)＝eq \f(x－3,7) D.eq \f(y－2,x＋3)＝eq \f(2,7)
答案：A
3．在x轴、y轴上的截距分别是5，－3的直线的截距式方程为( )
A.eq \f(x,5)＋eq \f(y,3)＝1 B.eq \f(x,5)－eq \f(y,3)＝1
C.eq \f(y,3)－eq \f(x,5)＝1 D.eq \f(x,5)＋eq \f(y,3)＝0
答案：B
4．(2022福建仙游一中模拟)过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( )
A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
答案：A
5．直线2x＋3y－6＝0与坐标轴围成的三角形面积为________．
答案：3
研习1 直线方程的两点式和截距式方程
[典例1] 求满足下列条件的直线方程：
(1)过点A(－2,3)，B(4，－1)；
(2)在x轴、y轴上的截距分别为4，－5；
(3)过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．
(1)[解] (1)由两点式，得eq \f(y－3,－1－3)＝eq \f(x＋2,4＋2)，化简得2x＋3y－5＝0.
(2)[解] 由截距式，得eq \f(x,4)＋eq \f(y,－5)＝1，化简为5x－4y－20＝0.
(3)[解] 当直线过原点时，所求直线方程为3x－2y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1.因为直线过点P(2，3)，所以eq \f(2＋3,a)＝1，即a＝5，直线方程为eq \f(x,5)＋eq \f(y,5)＝1，即x＋y－5＝0.所以所求直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
[巧归纳] 1.已知直线上的两点坐标，应验证两点的横坐标不相等，纵坐标也不相等后，再用两点式方程，也可先求出直线的斜率，再利用点斜式求解．
2．若已知直线在x轴、y轴上的截距(都不为0)，用截距式方程最为方便．
[练习1](1)直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________．
(2)过点(0，－3)和(2,0)的直线的截距式方程为________．
(3)过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．
(1)答案：x－y＋3＝0
解析：将(－1,2)和(2,5)代入eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)，得eq \f(y－2,5－2)＝eq \f(x＋1,2＋1)，即eq \f(y－2,3)＝eq \f(x＋1,3)，∴直线l的方程为x－y＋3＝0.
(2)答案：eq \f(x,2)＋eq \f(y,－3)＝1
解析：因为直线在x轴、y轴上的截距分别为2，－3，由直线方程的截距式，得方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,－3)＝1.
(3)eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝1
解析：设方程的截距式为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,b)＝1，,a＋b＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝3，))所以直线方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝1.
研习2 直线方程的一般式
[典例2] 设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：
(1)直线l的斜率为－1；
(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.
(1)[解] (1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－eq \f(2,k－3)x＋2，
由题意得－eq \f(2,k－3)＝－1，解得k＝5.
(2)[解] (2)直线l的方程可化为eq \f(x,k－3)＋eq \f(y,2)＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
[巧归纳] 1.一般式化为斜截式的步骤：(1)移项得By＝－Ax－C；(2)当B≠0时，得斜截式：y＝－eq \f(A,B)x－eq \f(C,B).
2．一般式化为截距式的步骤：方法一：(1)把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；(2)当C≠0时，方程两边同除以－C，得eq \f(Ax,－C)＋eq \f(By,－C)＝1；(3)化为截距式：eq \f(x,－\f(C,A))＋eq \f(y,－\f(C,B))＝1.方法二：(1)令x＝0，求直线在y轴上的截距b；(2)令y＝0，求直线在x轴上的截距a；(3)代入截距式方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.
3．由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，不会将一般式化为两点式和点斜式．
[练习2]下列直线中，斜率为－eq \f(4,3)，且不经过第一象限的是( )
A．3x＋4y＋7＝0
B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0
D．3x＋4y－42＝0
答案：B
解析：将一般式化为斜截式，斜率为－eq \f(4,3)的有B，C两项．又y＝－eq \f(4,3)x＋14过点(0,14)，即直线过第一象限，所以只有B项正确.
研习3 利用直线方程的点法式求直线方程
[典例3] 已知直线l经过点A(3,2)，而且v＝(3，－4)是直线l的一个法向量，求直线l的一般式方程．
[解] 方法一：设P(x，y)为平面直角坐标系中任意一点，则P在直线l上的充要条件是 eq \(AP,\s\up15(→))与v＝(3，－4)垂直．又因为eq \(AP,\s\up15(→))＝(x－3，y－2)，
所以3×(x－3)＋(－4)×(y－2)＝0，
整理可得一般式方程为3x－4y－1＝0.
方法二：因为v＝(3，－4)是直线l的一个法向量，所以可以设l的方程为3x－4y＋C＝0，
代入点A(3,2)，可求得C＝－1，因此所求方程为3x－4y－1＝0.
[巧归纳] 若直线l过点P(x0，y0)，且其法向量为n＝(A，B)，则其直线l的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.
[练习3](2022福建厦门一中月考)过点(5，－1)，一个法向量是n＝(2,3)的直线的点法式方程是________．
答案：2(x－5)＋3(y＋1)＝0
解析：在直线上任取一点(x，y)，则直线的方向向量为(x－5，y＋1)，由直线的法向量为n＝(2,3)，∴2(x－5)＋3(y＋1)＝0，故答案为2(x－5)＋3(y＋1)＝0.
研习4 直线方程的综合应用
[典例4] 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)求证：不论a取何值，直线l必过定点，并求出这个定点；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
(1)[证明] 直线l的方程可变形为(a＋1)x＋y＋3－(a＋1)＝0，即y＋3＝－(a＋1)(x－1)．
故不论a取何值，直线l恒过定点(1，－3)．
(2)[解] 将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋1>0，,a－2≤0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋1＝0，,a－2≤0.))
∴a≤－1.故a的取值范围是(－∞，－1]．
[巧归纳] 含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系．这无穷多条直线是过同一个点的．这里对一般式灵活变形后变成点斜式是解决问题的关键．
[练习4]若将本例中直线的方程变为“(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R)”其它不变，该题应如何做．
(1)证明：直线方程可变为a(3x－y)－(x－2y＋1)＝0的形式，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y＝0，,x－2y＋1＝0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(3,5).))
∴不论a取何值，直线l必过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(3,5))).
(2)解：当斜率不存在，即a－2＝0时，a＝2，方程为x＝eq \f(1,5)，直线过第一、四象限，符合条件；当斜率存在时，则斜率应大于等于0，在y轴上的截距小于等于0，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3a－1,a－2)≥0，,－\f(1,a－2)≤0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤\f(1,3)或a＞2，,a＞2.))所以a＞2.
综上，实数a的取值范围是[2，＋∞)．
1．过(2,5)和(2，－5)两点的直线方程是( )
A．1x＝5 B．y＝2
C．x＋y＝2 D．x＝2
答案：D
解析：因为点(2,5)和(2，－5)横坐标相同，因此过(2,5)和(2，－5)两点的直线方程为x＝2.
2．(原创题)直线3x－2y－4＝0的截距式方程为( )
A.eq \f(4x,3)－eq \f(y,2)＝1 B.eq \f(x,\f(1,3))－eq \f(y,\f(1,2))＝1
C.eq \f(3x,4)－eq \f(y,－2)＝1 D.eq \f(x,\f(4,3))＋eq \f(y,－2)＝1
答案：D
解析：令y＝0得x＝eq \f(4,3)，令x＝0得y＝－2，所以直线在x轴、y轴上的截距分别为eq \f(4,3)和－2，所以其截距式方程为eq \f(x,\f(4,3))＋eq \f(y,－2)＝1.
3．(2022山东济宁实验中学月考)(多选题)下列说法不正确的是( )
A.eq \f(y－y1,x－x1)＝k不能表示过点M(x1，y1)且斜率为k的直线方程
B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b
D．平面内的所有直线的方程都可以用斜截式来表示
答案：BCD
解析：由于eq \f(y－y1,x－x1)＝k的定义域为{x|x≠x1}，故不过点M(x1，y1)，故A选项正确；当a＝b＝0时，在x轴、y轴上的截距分别为0的直线不可用eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1表示，故B不正确；直线y＝kx＋b与y轴的交点为(0，b)，到原点的距离为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))，故C不正确；平面内斜率不存在的直线不可用斜截式表示，故D不正确．故选BCD.
4．(2022上海复旦大学附中模拟)若直线l过点A(1,0)，B(2,3)，则它的点法式方程为________．
答案：－3(x－1)＋y＝0
解析：因为直线l过点A(1,0)，B(2,3)，且eq \(AB,\s\up15(→))＝(1,3)，所以直线l的一个法向量为n＝(－3,1)，所以该直线的点法式方程为－3(x－1)＋y＝0.故答案为－3(x－1)＋y＝0.
5．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2的斜率是l1斜率的负倒数，且l2在y轴上的截距是l1在y轴上的截距的相反数，则l2的一般式方程为________．
答案：x＋2y＋6＝0
解析：l1的斜率为2，在y轴上的截距为3，则l2的斜率k2＝－eq \f(1,2)，l2在y轴上的截距b2＝－3，所以l2的方程为y＝－eq \f(1,2)x－3，化为一般式为x＋2y＋6＝0.
[误区警示]
忽略直线方程的局限性致错
[示例] 求经过点P(2,3)，并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
[错解] 设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
将x＝2，y＝3代入，得eq \f(2,a)＋eq \f(3,a)＝1，解得a＝5.
故所求的直线l的方程为x＋y－5＝0.
[错因分析] 截距相等包含两层含义：一是截距不为0时的相等，二是截距为0时的相等，而后者常常被忽略，导致漏解．
[正解] (1)当截距为0时，直线l过点(0,0)，(2,3)，
∵直线l的斜率为k＝eq \f(3－0,2－0)＝eq \f(3,2)，
∴直线l的方程为y＝eq \f(3,2)x，即3x－2y＝0.
(2)当截距不为0时，可设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
∵直线l过点P(2,3)，∴eq \f(2,a)＋eq \f(3,a)＝1，
∴a＝5，∴直线l的方程为x＋y－5＝0.
综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
[题后总结] 不同形式的方程均有其适用条件，在解题时要注意截距式方程的应用前提是截距均不为0且直线不垂直于坐标轴．
新课程标准
新学法解读
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式．
2．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式．
1.了解两点式方程及其特殊化截距式方程、截距与距离的区别与联系．
2．弄清直线的一般式方程和其他几种形式的方程的区别与联系以及每种方程的适用条件．注意直线方向向量和法向量与直线一般式方程之间的关系及应用．
3．通过求解直线的方程及几种方程之间的互化和求解提升数学抽象素养和数学运算素养.
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
两点式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
eq \f(y－y1,y2－y1)＝
eq \f(x－x1,x2－x1)
斜率存在且不为0
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
________