北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 点在空间直角坐标系中的坐标学案及答案

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 点在空间直角坐标系中的坐标学案及答案，共14页。


[笔记教材]
知识点一 空间直角坐标系
(1)建系原则：本书建立的坐标系都是右手直角坐标系．伸出右手，让四指与大拇指________，并使四指先指向________正方向，然后让四指沿握拳方向旋转________指向________正方向，此时大拇指的指向即为________正方向.
(2)构成要素：________叫作原点，________叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为________平面、________平面和________平面．
答案：(1)垂直 x轴 90° y轴 z轴 (2)点O x轴、y轴、z轴 xOy yOz zOx
知识点二 空间直角坐标系中点的坐标
(1)空间直角坐标系中点的坐标
在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用唯一的一个三元有序实数组(x，y，z)来表示，三元有序实数组________叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P________，其中x叫作点P的________，y 叫作点P的________，z叫作点P的________．
(2)空间直角坐标系中的中点坐标公式
空间中任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点P0的坐标为________．
答案：(1)(x，y，z) (x，y，z) 横坐标 纵坐标 竖坐标
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2)))
知识点三 长方体的对角线
(1)连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为________________．(如图)
(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d＝________.
答案：(1)长方体的对角线 (2)eq \r(a2＋b2＋c2)
知识点四 空间两点间的距离方式
(1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点O的距离为__________________．
(2)已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为|PQ|＝________________.
答案：(1)|OP|＝eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋z\\al(2,0))
(2)eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)
[重点理解]
1．关于空间中点的坐标的三点说明
(1)在同一个空间直角坐标系中，一个点有且只有一个坐标，不同点的坐标不同．
(2)如果在同一个空间图形所在的空间中建立两个不同的坐标系，那么同一个点在两坐标系中的坐标一般不相同．
(3)关于空间特殊点的坐标的总结
原点的坐标为(0,0,0)；x轴上的点的坐标为(x,0,0)，其中x为任意实数；y轴上的点的坐标为(0，y,0)，其中y为任意实数；z轴上的点的坐标为(0,0，z)，其中z为任意实数； xOy平面上的点的坐标为(x，y,0)，其中x，y为任意实数； yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，其中y，z为任意实数；zOx平面上的点的坐标为(x,0，z)，其中x，z为任意实数．
2．空间两点间的距离公式的特殊情况及说明
特别地，点O(0,0,0)与P(x0，y0，z0)间的距离为|OP|＝eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋y\\al(2,0)).
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)给定空间直角坐标系，空间任意一点与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系．(√)
(2)点P(1,0,2)在空间直角坐标系中的xOy坐标平面上．()
(3)空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标为(0，y,0)．(√)
(4)在不同的空间直角坐标系中，同一点的坐标可能不同．(√)
(5)空间两点间的距离公式与两点顺序有关．()
(6)点A(1,1,0)与点B(1,1,1)之间的距离是1.(√)
2．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．zOx平面上 D．第一象限内
答案：C
3．(2022山东泰安一中学情检测)如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A的坐标是( )
A．(－1，－1，－1) B．(1，－1,1)
C．(1，－1，－1) D．(－1,1，－1)
答案：C
4．在空间直角坐标系中，设A(1,2，a)，B(2,3,4)，若|AB|＝eq \r(3)，则实数a的值是( )
A．3或5 B．－3或－5
C．3或－5 D．－3或5
答案：A
5．在空间直角坐标系中，自点P(－4，－2,3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为________．
答案：(－4,0,0)

研习1 求空间点的坐标
[典例1] 如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．
[解] 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，E点在平面xDy中，且|EA|＝eq \f(1,2).∴E点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0)).
∵B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2))).同理可得G点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，\f(1,2))).
[巧归纳] 1.空间中点的位置和点的坐标是相对的，建立空间直角坐标系，要尽可能简捷地将点的坐标表示出来．因此，要确定各点到xDy面、yDz面、zDx面的距离，同时中点坐标公式在空间直角坐标系中仍然适用．
2．设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则P1P2的中点P(x，y，z)的坐标满足x＝eq \f(x1＋x2,2)，y＝eq \f(y1＋y2,2)，z＝eq \f(z1＋z2,2).
[练习1](1)点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，26，－\f(1,3)))所在的位置是( )
A．x轴上 B．zOx平面上
C．xOy平面内 D．yOz平面内
答案：D
解析：∵M点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，26，－\f(1,3)))，x＝0，∴点M在平面yOz内．
(2)正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，且|BP|＝eq \f(1,3)|BD′|，建立如图所示的空间直角坐标系，则P点的坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)，\f(1,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3)))
答案：D
解析：如右图所示，过P分别作平面xOy和z轴的垂线，垂足分别为E，H，过E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为F，G，由于|BP|＝eq \f(1,3)|BD′|，所以|DH|＝eq \f(1,3)|DD′|＝eq \f(1,3)，|DF|＝eq \f(2,3)|DA|＝eq \f(2,3)，|DC|＝eq \f(2,3)|DG|＝eq \f(2,3)，所以P点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3)))，故选D．
研习2 已知点的坐标确定点的位置
[典例2] 在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6,4)．
[解] 方法一：先确定点M′(2，－6,0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，
则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了(如图所示)．
方法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2,6,4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．
[巧归纳] 由点的坐标确定点的位置的方法：(1)先确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置；(2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．
[练习2]在空间直角坐标系中，作出点P(5，4,6)．
解：第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.
研习3 求空间某对称点的坐标
[典例3] 求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．
[解] 如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使|AM|＝|CM|，则A与C关于坐标平面xOy对称，点C(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N，并延长到点B，使|AN|＝|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，－2，1)，∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2,1)，关于x轴对称的点的坐标为(1，－2,1).
[巧归纳] 点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点：
(1)P(x，y，z)eq \(――→,\s\up17(关于原点对称))P1(－x，－y，－z)．
(2)P(x，y，z)eq \(――→,\s\up17(关于x轴对称))P2(x，－y，－z)；
P(x，y，z)eq \(――→,\s\up17(关于y轴对称))P3(－x，y，－z)；
P(x，y，z)eq \(――→,\s\up17(关于z轴对称))P4(－x，－y，z)．
(3)P(x，y，z)eq \(――→,\s\up17(关于坐标平面xOy对称))P5(x，y，－z)；
P(x，y，z)eq \(――→,\s\up17(关于坐标平面yOz对称))P6(－x，y，z)；
P(x，y，z)eq \(――→,\s\up17(关于坐标平面zOx对称))P7(x，－y，z)．
记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”．
[练习3](2022山东商河第一中学月考)(多选题)在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，则下列说法不正确的是( )
A．点P关于x轴的对称点坐标是(x，－y，z)
B．点P关于yOz平面的对称点坐标是(x，－y，－z)
C．点P关于y轴的对称点坐标是(x，－y，z)
D．点P关于原点的对称点坐标是(－x，－y，－z)
答案：ABC
解析：A．点P(x，y，z)关于x轴的对称点是(x，－y，－z)，所以A不正确；B．点P(x，y，z)关于yOz平面的对称点坐标是(－x，y，z)，所以B不正确；C．点P关于y轴的对称点坐标是(－x，y，－z)，所以C不正确；D．点P关于原点的对称点坐标是(－x，－y，－z)，所以D正确．故选ABC．
研习4 求空间两点间的距离
[典例4] 已知△ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)．
(1)求△ABC中最短边的边长；
(2)求AC边上中线的长度．
[解] (1)由空间两点间距离公式得|AB|＝eq \r(1－22＋5－32＋2－42)＝3，
|BC|＝eq \r(2－32＋3－12＋4－52)＝eq \r(6)，
|AC|＝eq \r(1－32＋5－12＋2－52)＝eq \r(29)，
∴△ABC中最短边是|BC|，其长度为eq \r(6).
(2)由中点坐标公式，得AC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，3，\f(7,2)))，
∴AC边上中线的长度为
eq \r(2－22＋3－32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(7,2)))2)＝eq \f(1,2).
[巧归纳] 1.求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．
2．若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算．
[练习4](2022四川岳池第一中学月考)已知△ABC的三个顶点A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为( )
A．2 B．3
C．eq \f(64,7) D．eq \f(65,7)
答案：B
解析：由题意知BC的中点为M(2,1,4)，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AM))＝eq \r(3－22＋3－12＋2－42)＝3.故选B．
研习5 求空间点的坐标
[典例5] 已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|AB|取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的|AB|.
[解] 由空间两点的距离公式得|AB|＝
eq \r(1－x2＋[x＋2－5－x]2＋[2－x－2x－1]2)
＝eq \r(14x2－32x＋19)＝eq \r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8,7)))2＋\f(5,7))，
当x＝eq \f(8,7)时，|AB|有最小值eq \r(\f(5,7))＝eq \f(\r(35),7).此时Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,7)，\f(27,7)，\f(9,7)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(22,7)，\f(6,7))).
[巧归纳] 解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，结合已知条件确定点的坐标．
[练习5](2022辽阳集美中学月考)已知点A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点间距离的最小值为( )
A．eq \f(3\r(10),10) B．eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(3\r(5),5) D．eq \f(3,5)
答案：C
解析：因为点A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋(t－t)2＝5t2－2t＋2.由二次函数易知当t＝eq \f(1,5)时，取得最小值为eq \f(9,5)，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))的最小值为eq \f(3\r(5),5).故选C．
研习6 空间距离公式的应用
[典例6] 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O－xyz.
(1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；
(2)在线段C1D上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．
[解] (1)由题意知P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3)))，所以P关于y轴的对称点P′的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(2,3)，－\f(1,3))).
(2)设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)，则有|MP|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(2,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,3)))2)＝eq \r(2m2－2m＋1)＝eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,2)))2＋\f(1,2))，当m＝eq \f(1,2)时|MP|取到最小值，所以点M为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).
[巧归纳] 与平面直角坐标系中类似，在空间直角坐标系中也常常需要设点的坐标，此时，若注意利用点的特殊性，往往能使求解过程简化，如本例(2)设M(0，m，m)便是如此．
[练习6]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是DM上的点，DP＝a，当a为何值时，NP的长最小？
解：如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则D(0,0,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，M(2,1,0)，N(1,2,3)，
设点P的坐标为(x，y,0)，
则x＝2y(0≤y≤1)，
|NP|＝eq \a\vs4\al(x－12＋y－22＋0－32)
＝eq \r(2y－12＋y－22＋0－32)
＝eq \r(5y2－8y＋14)＝eq \r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(4,5)))2＋\f(54,5))，
所以当y＝eq \f(4,5)时，|NP|取最小值eq \f(3\r(30),5)，此时a＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝eq \f(4\r(5),5)，所以当a＝eq \f(4\r(5),5)时，NP的长最小．
1．在空间直角坐标系中，点M(－2,1,0)关于原点的对称点M′的坐标是( )
A．(2，－1,0) B．(－2，－1,0)
C．(2,1,0) D．(0，－2,1)
答案：A
解析：很明显点M和M′的中点是原点，所以点M′的坐标是(2，－1,0)．
2．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和点B(2，－1,6)的距离是( )
A．2eq \r(43) B．2eq \r(21)
C．9 D．eq \r(86)
答案：D
解析：|AB|＝eq \r(－3－22＋4＋12＋0－62)＝eq \r(86).
3．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案：C
解析：|AB|＝eq \r(1－42＋－2－22＋11－32)
＝eq \r(89)，
|AC|＝eq \r(1－62＋－2＋12＋11－42)＝eq \r(75)，
|BC|＝eq \r(4－62＋2＋12＋3－42)＝eq \r(14)，
∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形．
4．已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标是________．
答案：(0,0,6)
解析：设点P(0,0，z)，则由|PA|＝|PB|，得(0－4)2＋(0－5)2＋(z－6)2＝(0＋5)2＋(0－0)2＋(z－10)2，解得z＝6，即点P的坐标是(0,0,6)．
[误区警示]
混淆平面与空间直角坐标系致错
[示例] 已知空间中两点A(－3，－1,1)，B(－2，2,3)，在z轴上有一点C，它到A，B两点的距离相等，求点C的坐标．
[错解] 由已知得AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，\f(1,2)，2))，且AB所在直线的斜率k＝eq \f(－1－2,－3＋2)＝3，故AB的垂直平分线的斜率为－eq \f(1,3)，则垂直平分线的方程为z－2＝－eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5,2)))－eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))，当x＝y＝0时，z＝eq \f(4,3)，故点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(4,3))).
[错因分析] 错解中照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误，以目前所学知识只能用空间两点间的距离公式求解．
[正解] 设点C的坐标为(0,0，z)，则eq \r(32＋12＋z－12)＝eq \r(22＋－22＋z－32)，即10＋(z－1)2＝8＋(z－3)2，解得z＝eq \f(3,2)，所以点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(3,2))).
[方法总结] 平面直角坐标系的性质在空间直角坐标系中并不能全部适用，如平面直角坐标系中的中点公式，可类比到空间直角坐标系中，而直线方程及一些判定定理、性质在空间直角坐标系中不一定适用．
新课程标准
新学法解读
1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．
2．借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.
1.了解空间直角坐标系的建系方式，能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．
2．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．
3．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题.