北师大版高中数学选择性必修第一册5-1基本计数原理学案

第五章　计数原理

§1　基本计数原理

[笔记教材]

知识点一　分类加法计数原理

(1)完成一件事有两类不同的办法办法，在第1类中有m种不同的方法，在第2类办法中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．

(2)推广：完成一件事，可以有n类，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝________种方法．(也称“加法原理”)

答案：(1)m＋n　(2)m1＋m2＋…＋mn

知识点二　分步乘法计数原理

(1)完成一件事需要经过两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．

(2)推广：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝________种方法．(也称“乘法原理”)

答案：(1)m×n　(2)m1·m2·…·mn

知识点三　加法原理与乘法原理的区别与

联系

1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题．区别在于：

(1)分类加法计数原理针对的是“________”问题，其中各种方法________，用其中任何一种方法都可以做完这件事；

(2)分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法________，只有每一个步骤都完成才算做完这件事．

2．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：

要完成的“一件事”是什么；需要分类还是需要分步．

分类要做到“________”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．

分步要做到“________”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

答案：1.(1)分类　相互独立　(2)相互依存

2．不重不漏　步骤完整

[重点理解]

1．分类加法计数原理的理解

“完成一件事，有n类办法“，这是对完成这件事的所有方法的一个分类．分类时，首先，要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类．其次，分类时要注意满足两个基本原则 ：第一，完成这件事的所有方法都要包括在内；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法．前者保证完成这件事的方法不遗漏，后者保证不重复．

2．分步乘法计数原理的理解

“完成一件事，需要分成n个步骤”，这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这n个步骤．分步时，首先，要根据问题的特点确定一个可行的分步标准．其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算最终完成．

[自我排查]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)在加法原理中，两类办法中的某两种方法可以相同．()

(2)在加法原理中，任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事．(√)

(3)在乘法原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(√)

(4)在乘法原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．(√)

2．从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有　(　　)

A．3种  B．4种  C．7种  D．12种

答案：C

3．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　)

A．7  B．12  C．64  D．81

答案：B　

4．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有________种不同的取法．

答案：48

5．如图，从A→C有________种不同的走法．

答案：6

研习1　分类加法计数原理的应用

[典例1]　满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)

A．14  B．13  C．12  D．10

[答案]　B

[解析]　 当a＝0时，方程变为2x＋b＝0，则b为－1,0,1,2时方程都有解；当a≠0时，若方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，则Δ＝22－4ab≥0，即ab≤1.当a＝－1时，b可取－1,0,1,2.当a＝1时，b可取－1,0,1.当a＝2时，b可取－1,0，由分类加法计数原理，知满足条件的有序数对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.

[巧归纳]　1.应用分类加法计数原理解题的策略：分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下“不重不漏”分类，确定的每一类办法中的每一个方法必须能独立地完成这件事．

2．利用分类加法计数原理计数时的解题流程：

3．对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．

[练习1]若x，y∈N＋，且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共有________个．

答案：15

解析：将满足条件x，y∈N＋，且x＋y≤6的x的值进行分类：当x＝1时，y可取的值为5,4,3,2,1，共5个；当x＝2时，y可取的值为4,3,2,1，共4个；当x＝3时，y可取的值为3,2,1，共3个；当x＝4时，y可取的值为2,1，共2个；当x＝5时，y可取的值为1，共1个．即当x＝1,2,3,4,5时，y的值依次有5,4,3,2,1个，由分类加法计数原理，得不同的数对(x，y)共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个).

研习2　分步乘法计数原理的应用

[典例2]　(1) 5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为(　　)

A．9  B．15  C．18  D．24

(2) 已知a∈{－1,2,3}，b∈{0,3,4,5}，r∈{1,2}，则(x－a)2＋(y－b)2＝r2表示的不同的圆共有________个．

(1)答案： C

[解析]　根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1＝6(种)情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18(种)分工方案．

 (2)答案：24

[解析]　圆的方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别有3种，4种，2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24.

[巧归纳]　1.利用乘法计数原理解题的注意点：应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．

2．利用分步乘法计数原理解题的一般思路

①分步：将完成这件事的过程分成若干步；②计数：求出每一步中的方法数；③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．

[练习2]已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？

解：完成表示不同的圆这件事，可以分为三步：第一步：确定a有3种不同的选取方法；第二步：确定b有4种不同的选取方法；第三步：确定r有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24(个).

研习3　可重复选取问题

[典例3]　4名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？

[解]　要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步．又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81(种)报名方法．

[巧归纳]　(1)解决元素可重复选取的计数问题时，一般采用分步乘法计数原理，分步时，要看哪类元素必须用完，就以该元素为分步的依据进行分步，也就是说，解决此类问题时，关键在于弄清楚以谁为主．

(2)间接法：去掉限制条件计算所有的方法数，然后减去所有不符合条件的方法数即可．当正面情况较复杂，用直接法比较困难时，常使用间接法，即先从问题的对立面思考，再用减法得解．

[练习3]　某人有3个不同的电子邮箱，他要发5个电子邮件，发送的方法的种数为(　　)

A．8   B．15

C．243   D．125

答案：C

解析：每个邮件有3种不同的发送方法，故5个邮件的发送方法有35＝243(种).

研习4　种植与涂色问题

[典例4]　(1)如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图涂色，要求相邻区域不得使用同1种颜色，现有4种颜色可供选择，求有多少种不同的涂色方法．

(2)将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，求有多少种不同的种植方法.

[解]　(1)因为区域1与其他4个区域都相邻，首先考虑区域1，有4种涂法．若区域2,4同色，有3种涂法，此时区域3,5均有2种涂法，涂法总数为4×3×2×2＝48；若区域2,4不同色，先涂区域2，有3种方法，再涂区域4有2种方法，此时区域3,5都只有1种涂法，涂法总数为4×3×2×1×1＝24.因此，满足条件的涂色方法共有48＋24＝72(种)．

(2)分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.

(i)若第三块田放c：

第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法．

(ii)若第三块田放a：

第四块田有b或c两种方法．

①若第四块放c：

第五块有2种方法；

②若第四块放b：

第五块只能种作物c，共1种方法．

综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法．

[巧归纳]　解决涂色(种植)问题的一般思路

涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法：

(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．

(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．

(3)将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题．

种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数．或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数.

[练习4]将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

解：如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．

(1)当第2个、第3个小方格涂不同颜色时有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法．

(2)当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法．

由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法．

研习5　两个计数原理的简单应用

[典例5]　甲、乙、丙、丁四个好朋友每人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？

[解]　设甲、乙、丙、丁的贺卡分别记为A，B，C，D.由题意，甲取卡的情况有3种，据此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行，为了避免重复、遗漏，用“树形图”表示，如图．

所以共有9种不同的分配方式．

[巧归纳]　利用两个计数原理解题时的三个注意点：

(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．

(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤的顺序，使各步互不干扰．

(3)综合问题一般是先分类再分步．

[练习5]一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．

(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法；

(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？

解：(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况．第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法．

根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22(种)取法．

(2)解：想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法．第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法．

根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120(种)取法．

1.某城市电话号码由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是(　　)

A.9×8×7×6×5×4×3

B.8×96

C.9×106

D.8.1×106

答案：D

解析：电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，同理，升为七位时为9×106部，所以可增加的电话部数是9×106－9×105＝8.1×106.

2.有5名高二学生，3名高一学生，4名初三学生，2名初二学生，若从中随机抽取2名学生，要求高中生和初中生各1名，则不同的抽法种数是　(　　)

A.14  B．23  C．48  D．120

答案：C

解析：分两步：第一步，抽高中生，有5＋3＝8(种)不同的抽法；第二步，抽初中生，有4＋2＝6(种)不同的抽法．所以不同的抽法种数是8×6＝48.

3.有三个车队分别有4辆、5辆、6辆车，现欲从其中两个车队各抽取1辆车外出执行任务，设不同的抽调方案数为n，则n的值为________．

答案：74

解析：不妨设三个车队分别为甲、乙、丙，则分3类．甲、乙各1辆共4×5＝20(种)；甲、丙各1辆共4×6＝24(种)；乙、丙各1辆共5×6＝30(种)．所以共有20＋24＋30＝74(种).

4.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．

答案：12

解析：先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2＝12(种)不同的涂法.

[误区警示]

分类或分步的标准不清致错

[示例]　把5本书全部借给3名学生，有________种不同的借法．

[错解]　540

[错因分析]　求解本题时，常常容易出现如下错误：

第一个人借五本书中的一本，有5种借法；第二个人借剩下的四本书中的一本，有4种借法；

第三个人借剩下的三本书中的一本，有3种借法；

还剩下两本书，借给三个人中的任何一个人即可．

故共有5×4×3×3×3＝540(种)借法．

导致上述错误解法的原因：借书时，并没有要求每人必须借书，而只要把书借完即可，并且按上述借法还有重复的．如果将这5本书编号为1,2,3,4,5，三个人不妨设为A，B，C.设开始A借1号书，而剩下的两本书(4,5号)中4号书借给A；反过来，开始A借4号书，而后来把1号书借给A，那么这两件事实质上都是A借了1,4号书，因而它们是同一件事(B，C借的书同样也有这种情况)，并且这其中重复的次数不好计算，因此用“映射”关系即可快速而准确地求解．

[正解]　依题意，知每本书应借给三个人中的一个，即每本书都有3种不同的借法，由分步乘法计数原理，得共有3×3×3×3×3＝35＝243(种)不同的借法．故填243.

[题后总结]　分类或分步的标准要统一、清晰、注意对题目中关键词的准确理解．