北师大版高中数学选择性必修第一册1-1-3-1直线方程的点斜式学案

1.3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式新课程标准新学法解读根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式.1.结合教材实例了解确定直线的几何要素，直线的方程、方程的直线的概念．2．掌握直线的点斜式、斜截式方程．3．理解直线在y轴上截距的几何意义．4．会求直线的点斜式、斜截式方程，能利用直线的点斜式、斜截式方程解决相应的问题. [笔记教材]知识点一　直线的点斜式方程(1)直线的方程一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程．(2)直线的点斜式方程名称已知条件示意图方程使用范围点斜式点P(x0，y0)和斜率k________斜率存在的直线答案：(2)y－y0＝k(x－x0)知识点二　直线的斜截式方程名称已知条件示意图方程使用范围斜截式斜率k和在y轴上的截距b______斜率存在的直线答案：y＝kx＋b[重点理解]1．关于直线方程点斜式的理解(1)只要方程y－y0＝k(x－x0)中的常数k与点(x0，y0)确定，直线就唯一确定了．由此可知，直线方程的点斜式应用的前提是直线的斜率必须存在．(2)y－y0＝k(x－x0)与＝k是不等价的，前者表示的是过点(x0，y0)且斜率为k的整条直线，后者表示的是去掉点(x0，y0)的一条直线．2．关于直线方程斜截式的说明(1)直线方程的斜截式y＝kx＋b的特点——左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距．(2)直线方程的斜截式是直线方程点斜式的特例，应用的前提也是直线的斜率存在．(3)在y轴上的截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，可正，可负，也可以为0.(4)方程的斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当斜率k不为0时，y＝kx＋b即为一次函数，但当斜率k＝0时，y＝b不是一次函数；一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线方程的斜截式．[自我排查]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)(1)任何一条直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(2)斜截式y＝kx＋b可以表示斜率存在的直线．(√)(3)直线y＝2x－1在y轴上的截距为1.()(4)斜率为0的直线不能用直线的点斜式表示．()2．过点P(－2,0)，斜率是3的直线的方程是(　　)A．y＝3x－2    B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2)    D．y＝3(x＋2)答案：D3．直线方程为y＋2＝2x－2，则(　　)A．直线过点(2，－2)，斜率为2B．直线过点(－2,2)，斜率为2C．直线过点(1，－2)，斜率为D．直线过点(1，－2)，斜率为2答案：D4．直线y－2＝－(x＋3)的倾斜角是________，在y轴上的截距是________．答案：120°　2－3    研习1  求直线的点斜式方程[典例1]　根据条件写出下列直线方程的点斜式：(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为45°；(2)经过原点，倾斜角为60°；(3)经过点D(－1,1)，倾斜角为0°.[解]　(1)直线斜率为tan 45°＝1，∴直线方程为y－4＝1×(x＋1)．(2)直线斜率为tan 60°＝，∴所求直线的方程为y－0＝(x－0)．(3)直线斜率为0，∴直线方程为y－1＝0×(x＋1)．[巧归纳]　1.求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但斜率不存在的直线除外．[练习1]斜率为，与x轴交点的横坐标为－7的直线的点斜式方程为________．答案：y－0＝(x＋7)解析：由直线与x轴交点的横坐标为－7，得直线过点(－7，0)．又斜率为，所以所求直线的点斜式方程为y－0＝(x＋7).研习2  求直线的斜截式方程[典例2]　根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.(1)[解]　由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)[解]　∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2.(3)[解]　∵直线的倾斜角为60°，∴斜率k＝tan 60°＝，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.[巧归纳]　1.已知直线的斜率或直线与y轴的交点坐标时，常用斜截式写出直线方程.2.利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y轴上也没有截距．[练习2]根据条件写出下列直线方程的斜截式：(1)经过点A(3,4)，在x轴上的截距为2；(2)斜率与直线x＋y＝0相同，在y轴的截距与直线y＝2x＋3的相同．(1)解：方法一：易知直线的斜率存在，设直线方程为y＝k(x－2)，∵点A(3,4)在直线上，∴k＝4，∴y＝4×(x－2)＝4x－8，∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.方法二：由于直线过点A(3,4)和点(2,0)，则直线的斜率k＝4，由直线的点斜式方程，得y－0＝4×(x－2)＝4x－8，∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.(2)解：因为直线x＋y＝0的方程可化为y＝－x，斜率为－1，直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3，所以所求直线方程的斜截式为y＝－x＋3.研习3  点斜式方程的应用[典例3]　已知直线l的斜率为2，且与x轴、y轴围成的三角形的面积为36，求此时直线与x轴、y轴围成的三角形的周长．[解]　由于直线l的斜率为2，故设l的方程为y＝2x＋b.令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－.由已知得·|b|·＝36，解得|b|＝12，即b＝±12，所以l的方程为y＝2x＋12或y＝2x－12.当b＝12时，l在x轴、y轴上的截距分别为－6,12；当b＝－12时，l在x轴、y轴上的截距分别为6，－12.故三角形的周长为6＋12＋＝18＋6.[巧归纳]　(1)已知斜率及任意一点的坐标，我们习惯上选择点斜式求直线的方程；如果该点比较特殊(直线与坐标轴的交点)，则习惯上选择斜截式求直线的方程．(2)解决此类问题的常用方法是待定系数法，首先设出直线方程，然后根据已知条件求出待定系数．方程的思想是解答此类题目的重要手段．[练习3]已知直线l经过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．解：显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，令x＝0，得y＝2k＋3，令y＝0，得x＝－－2，于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为×＝4，即(2k＋3)＝±8.若(2k＋3)＝8，则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解．若(2k＋3)＝－8，则整理得4k2＋20k＋9＝0，解得k＝－或k＝－.所以直线l的方程为y－3＝－(x＋2)或y－3＝－(x＋2)，即y＝－x＋2或y＝－x－6.1．过点A(2，－1)，斜率为的直线的点斜式方程是(　　)A．y－1＝(x－2)B．y－1＝(x＋2)C．y＋1＝(x－2)D．y＋1＝(x＋2)答案：C2．斜率为－1，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)A．y＝x＋1    B．y＝x－1C．y＝－x＋1    D．y＝－x－1答案：D解析：因为k＝－1，所以y＝－x－1.故选D.3．若ab>0，bc<0，则直线ax＋by＋c＝0一定不过(　　)A．第一象限    B．第二象限C．第三象限    D．第四象限答案：C解析：直线化简为y＝－x－.因为ab>0，bc<0，所以－<0，－>0.所以直线过第一、二、四象限．故选C.4．直线y＝3kx－3k＋6过定点P，则点P的坐标为________．答案：(1,6)解析：直线方程可化为y－6＝3k(x－1)，由点斜式可知该直线经过定点P(1,6)．[误区警示]求直线方程时，忽略斜率不存在致错[示例]　求过直线l：y＝x－与x轴的交点，且与直线l的夹角为30°的直线的方程．[错解]　∵直线l的斜率k＝，∴直线l的倾斜角α＝60°，∴所求直线的倾斜角为30°或90°，∴所求直线的斜率为或不存在，又所求直线经过直线l与x轴的交点(1,0)，∴所求直线的方程为y＝(x－1)，即y＝x－.[错因分析]　错解错在误认为斜率不存在时，直线也不存在．在求直线方程时，要注意斜率不存在的情况，并明确斜率不存在并不意味着直线不存在．[正解]　∵直线l的斜率k＝，∴直线l的倾斜角α＝60°，∴所求直线的倾斜角为30°或90°，∴所求直线的斜率为或不存在，当所求直线的斜率为时，∵所求直线经过直线l与x轴的交点(1,0)，∴所求直线的方程为y＝(x－1)，即y＝x－.当所求直线的斜率不存在时，所求的直线方程为x＝1.故所求的直线方程为y＝x－或x＝1.[易错警示]　倾斜角α＝90°时，直线的斜率不存在，但直线是存在的，绝不能理解为“斜率不存在，则直线不存在”．