高中数学高考第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 教案

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1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
2.线性规划中的相关概念
eq \a\vs4\al([常用结论])
二元一次不等式表示的区域
(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方．
(2)若B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )
(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )
(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( )
(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
二、教材改编
1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是( )
A．(0，0) B．(－1，1)
C．(－1，3) D．(2，－3)
C [∵－1＋3－1＞0，∴点(－1，3)不在x＋y－1≤0表示的平面区域内，故选C.]
2．不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3y＋6＜0，,x－y＋2≥0))表示的平面区域是( )
A B C D
C [把点(0，0)代入不等式组可知，点(0，0)不在x－3y＋6＜0表示的平面区域内，点(0，0)在x－y＋2≥0表示的平面区域内，故选C.]
3．已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y≤x，,x＋y≤1，,y≥－1，))则z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分别是( )
A．3，－3 B．2，－4
C．4，－2 D．4，－4
C [不等式组所表示的平面区域如图所示．
其中A(－1，－1)，B(2，－1)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，
画直线l0：y＝－2x，平移l0过B时，zmax＝4，
平移l0过点A时，zmin＝－2.]
4．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________．(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(200x＋300y≤1 400，,200x＋100y≤900，,x≥0，,y≥0)) [用表格列出各数据：
所以不难看出，x≥0，y≥0，200x＋300y≤1 400，200x＋100y≤900. ]
考点1 二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)平面区域的确定：直线定界，特殊点定域．
①直线定界：当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线；
②特殊点定域：常用的特殊点为(0，0)，(1，0)，(0，1)．
(2)平面区域的形状问题主要有两种题型：
①确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；
②根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．
1.不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )
A B
C D
C [(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋1≥0，,x＋y－3≤0，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋1≤0，,x＋y－3≥0，))与选项C符合．故选C.]
2．若不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是( )
A．a≥eq \f(4,3) B．0C．1≤a≤eq \f(4,3) D．0D [作出不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0))表示的平面区域(如图中阴影部分所示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．]
3．(2019·南昌模拟)已知不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y≤－x＋2，,y≤kx－1，,y≥0))所表示的平面区域为面积等于eq \f(1,4)的三角形，则实数k的值为( )
A．－1 B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2) D．1
D [由题意知k>0，且不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y≤－x＋2，,y≤kx－1，,y≥0))所表示的平面区域如图所示．
∵直线y＝kx－1与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)，0))，
直线y＝kx－1与直线y＝－x＋2的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,k＋1)，\f(2k－1,k＋1)))，
∴三角形的面积为eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,k)))×eq \f(2k－1,k＋1)＝eq \f(1,4)，
解得k＝1或k＝eq \f(2,7)，经检验，k＝eq \f(2,7)不符合题意，∴k＝1.]
4．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))则实数m的最大值为( )
A.eq \f(1,2) B．1
C.eq \f(3,2) D．2
B [在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由图可知，当m≤1时，函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.]
(1)平面区域内的点满足 “同侧同号、异侧异号”的规律，如T1，T4.
(2)计算平面区域的面积时，根据平面区域的形状，先求出有关的交点坐标、线段长度，最后根据相关图形的面积公式进行计算，如果是不规则图形，则可通过割补法计算面积．
考点2 求目标函数的最值
求线性目标函数的最值
截距型：形如z＝ax＋by.
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式，通过求直线的截距eq \f(z,b)的最值间接求出z的最值．注意平面区域要画对，特别是图中涉及到直线的斜率大小关系．
(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y－2≤0，,x－y＋1≥0，,y≤0，))则z＝3x＋2y的最大值为________．
6 [作出可行域为如图所示的△ABC所表示的阴影区域，作出直线3x＋2y＝0，并平移该直线，当直线过点A(2，0)时，目标函数z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6.
]
[母题探究] 本例条件不变，试求z＝3x－2y的范围．
[解] z＝3x－2y变形为y＝eq \f(3,2)x－eq \f(1,2)z，由本例可行域知直线y＝eq \f(3,2)x－eq \f(1,2)z过A点时截距取得最小值，而z恰好取得最大值，即z＝6.
过C点时截距取得最大值而z恰好取得最小值，即z＝－6，∴z＝3x－2y的范围为[－6，6]．
充分理解目标函数的几何意义是求解本类问题的关键．
(2019·北京高考)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为( )
A．－7 B．1
C．5 D．7
C [由题意eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y－1≤0，,y≥－1))，作出可行域如图阴影部分所示.
设z＝3x＋y，y＝z－3x，当直线l0：y＝z－3x经过点C(2，－1)时，z取最大值5.故选C.]
求非线性目标函数的最值
非线性目标函数的常见代数式的几何意义主要有：
(1)距离型：eq \r(x2＋y2)表示点(x，y)与原点(0，0)间的距离，eq \r(（x－a）2＋（y－b）2)表示点(x，y)与点(a，b)间的距离．
(2) 斜率型：eq \f(y,x)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，eq \f(y－b,x－a)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
(2019·广州模拟)若实数x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋1≤0，,x≥0，,y≤2.))则eq \f(y,x)的取值范围为________．
[2，＋∞) [作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示．
z＝eq \f(y,x)表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此eq \f(y,x)的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋1＝0，,y＝2，))得B(1，2)，
所以kOB＝eq \f(2,1)＝2，即zmin＝2，
所以z的取值范围是[2，＋∞)．]
[母题探究]
1．本例条件不变，则目标函数z＝x2＋y2的取值范围为________．
[1，5] [z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．
因此x2＋y2的最小值为OA2，最大值为OB2.
易知A(0，1)，所以OA2＝1，
OB2＝12＋22＝5，所以z的取值范围是[1，5]．]
2．本例条件不变，则目标函数z＝eq \f(y－1,x－1)的取值范围为________．
(－∞，0] [z＝eq \f(y－1,x－1)可以看作点P(1，1)与平面内任一点(x，y)连线的斜率．易知点P(1，1)与A(0，1)连线的斜率最大，为0.无最小值．所以z的取值范围是(－∞，0]．]
求非线性目标函数的最值时，注意目标函数的几何意义及转化的等价性，如x2＋y2是距离的平方，易忽视平方而求错，eq \f(y－1,x－1)是点(x，y)与(1，1)连线的斜率，易误认为点(x，y)与(－1，－1)连线的斜率．
(2019·海南五校模拟)已知实数x，y满足不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≤2，,x－y≥－2，,y≥1，))则(x－3)2＋(y＋2)2的最小值为________．
13 [画出不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≤2，,x－y≥－2，,y≥1))表示的平面区域(图略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1，1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值为13.]
求参数值或取值范围
由目标函数的最值求参数的2种基本方法
一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
(1)已知z＝2x＋y，其中实数x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y≥x，,x＋y≤2，,x≥a，))且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是( )
A．eq \f(2,11) B．eq \f(1,4)
C．4 D．eq \f(11,2)
(2)(2019·湖南湘东六校联考)若变量x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y－1≥0，,3x＋y－11≤0，,y≥2，))且z＝ax－y的最小值为－1，则实数a的值为________．
(1)B (2)2 [(1)作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示：
由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，
由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线的纵截距最大，z取最大值．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,y＝x，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))即A(1，1)，
zmax＝2×1＋1＝3.
当直线y＝－2x＋z经过点B时，直线的纵截距最小，此时z最小．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝a，,y＝x，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝a，,y＝a，))则点B(a，a)．
∴zmin＝2×a＋a＝3a，
∵z的最大值是最小值的4倍，
∴3＝4×3a，即a＝eq \f(1,4).
(2)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，若a≥3，则直线z＝ax－y经过点B(1，2)时，z取得最小值，由a－2＝－1，得a＝1，与a≥3矛盾；若0若a≤0，则直线z＝ax－y经过点A(2，5)或C(3，2)时，z取得最小值，此时2a－5＝－1或3a－2＝－1，解得a＝2或a＝eq \f(1,3)，与a≤0矛盾，综上可知实数a的值为2.]
(1)“目标函数”含参，使问题从“静态”化为“动态”，即对线性规则问题融入动态因素，用运动变化的观点来探究参数，此类试题旨在考查学生逆向思维及数形结合解决问题的能力．
(2)当“约束条件”含参时，可根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线，进而确定“约束条件”中所含有的参数值，然后画出可行域，把问题转化为一般形式的线性规划问题．
x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0.))若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A.eq \f(1,2)或－1 B．2或eq \f(1,2)
C．2或1 D．2或－1
D [作出可行域(如图)，为△ABC内部(含边界)．由题设z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合．由kAB＝－1，kAC＝2，kBC＝eq \f(1,2)可得a＝－1或a＝2或a＝eq \f(1,2)，验证：a＝－1或a＝2时，成立；a＝eq \f(1,2)时，不成立．故选D.]
考点3 线性规划的实际应用
解线性规划应用题的一般步骤
(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么．
(2)转化——设元，写出约束条件和目标函数．
(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系．
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
[解] (1)由题意知，x，y满足的数学关系式为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋5y≤200，,8x＋5y≤360，,3x＋10y≤300，,x≥0，,y≥0.))
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．
图1
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－eq \f(2,3)x＋eq \f(z,3)，它的图象是斜率为－eq \f(2,3)，随z变化的一族平行直线，eq \f(z,3)为直线在y轴上的截距，当eq \f(z,3)取最大值时，z的值最大．
根据x，y满足的约束条件，由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距eq \f(z,3)最大，即z最大．
图2
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋5y＝200，,3x＋10y＝300，))
得点M的坐标为(20，24)，
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
求解线性规划应用题的3个注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．
(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否为整数、是否为非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．
(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不
超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
216 000 [设生产A产品x件，B产品y件，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1.5x＋0.5y≤150，,x＋0.3y≤90，,5x＋3y≤600，,x≥0，x∈N*，,y≥0，y∈N*.))
目标函数z＝2 100x＋900y.
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)．
当直线z＝2 100x＋900y经过点(60，100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
A
B
总数
产品吨数
x
y
资金
200x
300y
1 400
场地
200x
100y
900
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10