高中数学高考第3节 基本不等式 教案

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1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中eq \f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)称为正数a，b的几何平均数．
2．两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up8(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
3．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(s2,4)(简记：和定积最大)．
eq \a\vs4\al([常用结论])
1.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
2.ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up8(2)≤eq \f(a2＋b2,2).
3.eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件是相同的．( )
(2)若a>0，则a3＋eq \f(1,a2)的最小值为2eq \r(a).( )
(3)函数f(x)＝sin x＋eq \f(4,sin x)，x∈(0，π)的最小值为4.( )
(4)x＞0且y＞0是eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2的充要条件．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材改编
1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77
C．81 D．82
C [xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))eq \s\up8(2)＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.]
2．若x2)的最小值为________．
4 [当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋eq \f(1,x－2)＋2≥2eq \r(（x－2）×\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)(x>2)，即x＝3时取等号．]
4．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.
25 [设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，
则另一边为eq \f(1,2)×(20－2x)＝(10－x)m，
则y＝x(10－x)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x＋（10－x）,2)))eq \s\up8(2)＝25，
当且仅当x＝10－x，
即x＝5时，ymax＝25.]
考点1 利用基本不等式求最值
配凑法求最值
配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式(如：凑成x＋eq \f(a,x)(a＞0)，eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的方法.
(1)(2019·大连模拟)已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是( )
A.eq \f(9,8) B.eq \f(9,4)
C．3 D．9
(2)函数y＝eq \f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值为________．
(3)已知x>eq \f(5,4)，则y＝4x＋eq \f(1,4x－5)的最小值为________，此时x＝________．
(1)C (2)2eq \r(3)＋2 (3)7 eq \f(3,2) [(1)∵a>0，b>0，4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝eq \f(1,3)·3a(a＋3b)≤eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a＋a＋3b,2)))eq \s\up8(2)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,2)))eq \s\up8(2)＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝eq \f(2,3)时，a(a＋3b)的最大值是3.
(2)∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝eq \f(x2＋2,x－1)＝eq \f(（x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3,x－1)
＝eq \f(（x－1）2＋2（x－1）＋3,x－1)
＝(x－1)＋eq \f(3,x－1)＋2≥2eq \r(3)＋2.
当且仅当x－1＝eq \f(3,x－1)，即x＝eq \r(3)＋1时，等号成立．
(3)∵x>eq \f(5,4)，∴4x－5>0.
y＝4x＋eq \f(1,4x－5)＝4x－5＋eq \f(1,4x－5)＋5≥2＋5＝7.
当且仅当4x－5＝eq \f(1,4x－5)，即x＝eq \f(3,2)时上式“＝”成立．
即x＝eq \f(3,2)时，ymin＝7.]
[母题探究] 把本例(3)中的条件“x>eq \f(5,4)”，改为“x0，则eq \f(1,2|a|)＋eq \f(|a|,b)取最小值时，a的值为________．
－2 [∵a＋b＝2，b>0，
∴eq \f(1,2|a|)＋eq \f(|a|,b)＝eq \f(2,4|a|)＋eq \f(|a|,b)＝eq \f(a＋b,4|a|)＋eq \f(|a|,b)
＝eq \f(a,4|a|)＋eq \f(b,4|a|)＋eq \f(|a|,b)≥eq \f(a,4|a|)＋2eq \r(\f(b,4|a|)×\f(|a|,b))＝eq \f(a,4|a|)＋1，
当且仅当eq \f(b,4|a|)＝eq \f(|a|,b)时等号成立．
又a＋b＝2，b>0，
∴当b＝－2a，a＝－2时，eq \f(1,2|a|)＋eq \f(|a|,b)取得最小值．]
(2019·深圳市福田区模拟)已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，则eq \f(1,a－1)＋eq \f(1,2b)的最小值为( )
A.eq \f(3,2)＋eq \r(2) B.eq \f(3,4)＋eq \f(\r(2),2)
C．3＋2eq \r(2) D.eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),3)
A [已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1，
又a－1＞0，则eq \f(1,a－1)＋eq \f(1,2b)＝[(a－1)＋b]eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－1)＋\f(1,2b)))
＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(a－1,2b)＋eq \f(b,a－1)≥eq \f(3,2)＋2eq \r(\f(a－1,2b)×\f(b,a－1))＝eq \f(3,2)＋eq \r(2).
当且仅当eq \f(a－1,2b)＝eq \f(b,a－1)，a＋b＝2时取等号．
则eq \f(1,a－1)＋eq \f(1,2b)的最小值为eq \f(3,2)＋eq \r(2).故选A.]
消元法求最值
对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元)．
(2019·嘉兴期末)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为( )
A．5＋2eq \r(6) B．8eq \r(2)
C．5 D．9
A [∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，
∴a＝eq \f(b＋1,b－2)＞0，∴b＞2，
∴a＋2b＝eq \f(b＋1,b－2)＋2b＝2(b－2)＋eq \f(3,b－2)＋5
≥5＋2eq \r(2（b－2）·\f(3,b－2))＝5＋2eq \r(6).
当且仅当2(b－2)＝eq \f(3,b－2)，即b＝2＋eq \f(\r(6),2)时取等号．
∴a＋2b的最小值为5＋2eq \r(6).故选A.]
求解本题的关键是将等式“2a＋b＝ab－1”变形为“a＝eq \f(b＋1,b－2)”，然后借助配凑法求最值．
(2019·新余模拟)已知正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2－c＝0，则当eq \f(ab,c)取得最大值时，eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)－eq \f(12,c)的最大值为( )
A．3 B.eq \f(9,4)
C．1 D．0
C [由正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2＝c，得eq \f(ab,c)＝eq \f(ab,a2－2ab＋9b2)＝eq \f(1,\f(a2－2ab＋9b2,ab))＝eq \f(1,\f(a,b)＋\f(9b,a)－2)≤eq \f(1,4)，当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(9b,a)，即a＝3b时，eq \f(ab,c)取最大值eq \f(1,4).
又因为a2－2ab＋9b2－c＝0，
所以此时c＝12b2，
所以eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)－eq \f(12,c)＝eq \f(1,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,b)))≤eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)＋2－\f(1,b)))\s\up8(2),4)＝1，
故最大值为1.]
利用两次基本不等式求最值
当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基本不等式；需注意连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．
已知a＞b＞0，那么a2＋eq \f(1,b（a－b）)的最小值为________．
4 [由题意a＞b＞0，则a－b＞0，
所以b(a－b)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋a－b,2)))eq \s\up8(2)＝eq \f(a2,4)，
所以a2＋eq \f(1,b（a－b）)≥a2＋eq \f(4,a2)≥2eq \r(a2·\f(4,a2))＝4，
当且仅当b＝a－b且a2＝eq \f(4,a2)，即a＝eq \r(2)，b＝eq \f(\r(2),2)时取等号，所以a2＋eq \f(1,b（a－b）)的最小值为4.]
由于b＋(a－b)为定值，故可求出b(a－b)的最大值，然后再由基本不等式求出题中所给代数式的最小值．
若a，b∈R，ab＞0，则eq \f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为________．
4 [因为ab＞0，所以eq \f(a4＋4b4＋1,ab)≥eq \f(2\r(4a4b4)＋1,ab)＝eq \f(4a2b2＋1,ab)＝4ab＋eq \f(1,ab)≥2eq \r(4ab·\f(1,ab))＝4，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝2b2，,ab＝\f(1,2)))时取等号，故eq \f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值是4.]
考点2 利用基本不等式解决实际问题
利用基本不等式解决实际问题的3个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,75)（x2－130x＋4 900），x∈[50，80），,12－\f(x,60)，x∈[80，120].))
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？
(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
[解] (1)当x∈[50，80)时，y＝eq \f(1,75)(x2－130x＋4 900)＝eq \f(1,75)[(x－65)2＋675]，
所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为eq \f(1,75)×675＝9.
当x∈[80，120]时，函数y＝12－eq \f(x,60)单调递减，
故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－eq \f(120,60)＝10.
因为9