第2章 一元二次方程辅导讲义5：一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）

一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 能应用根的判别式判断一元二次方程求根的情况，通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式
　一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式  一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即　　①当时，原方程有两个不等的实数根；
　　②当时，原方程有两个相等的实数根；
　　③当时，原方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.3.一元二次方程根的判别式的逆用    在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0.4.用公式法解一元二次方程的步骤
　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　　　 ①把一元二次方程化为一般形式；
　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）；
　　　 ③求出的值；
　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解；
　　　 　若，则原方程无实根.
要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.    ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.
要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为0；
　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：
   （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次            因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1) x2+3x+1=0；        (2)；   (3) 2x2+3x-1=0．【答案与解析】 (1) a=1，b=3，c=1∴x==．∴x1=，x2=．(2)原方程化为一般形式，得．∵，，，∴．∴，即，．     (3) ∵a=2，b=3，c=﹣1∴b2﹣4ac=17＞0∴x=∴x1=，x2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程： x2﹣3x﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==，∴x1=，x2=．2．用公式法解下列方程：(1) 2x2+x=2；       (2) 3x2﹣6x﹣2=0；   (3)（2015•黄陂区校级模拟）x2﹣3x﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.【答案与解析】 解：(1)∵2x2+x﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x===，∴x1=，x2=．(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=，∴x1=，x2=      （3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b2﹣4ac=9+28=37.x= = ，解得 x1=，x2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．举一反三：【变式】用公式法解下列方程： ；【答案】解：移项，得．∵ ，，，，∴ ，∴ ，．类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2016•凉山州模拟）解方程:（1）2x2﹣3x﹣2=0；（2）x（2x+3）﹣2x﹣3=0．【思路点拨】（1）利用因式分解法解方程；（2）先变形得到x（2x+3）﹣（2x+3）=0，然后利用因式分解法解方程．【答案与解析】 解：（1）（2x+1）（x﹣2）=0，2x+1=0或x﹣2=0，所以x1=﹣，x2=2；（2）x（2x+3）﹣（2x+3）=0，（2x+3）（x﹣1）=0，2x+3=0或x﹣1=0，所以x1=﹣，x2=1．【总结升华】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了.4．解下列一元二次方程：  (1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；         (2)．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．           即，∴  ．(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以，．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如(1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x＝1这个根．举一反三：【变式】（2015•泗洪县校级模拟）解方程：（1）2x2﹣x﹣1=0（2）（x﹣2）2=6﹣3x．【答案】解：（1）2x2﹣x﹣1=0∴（2x+1）（x﹣1）=0，∴x﹣1=0，2x+1=0，解得：x1=1，x2=﹣；（2）（x﹣2）2=6﹣3x．方程变形得：（x﹣2）2+3（x﹣2）=0，∴（x﹣2）（x﹣2+3）=0，∴x﹣2=0，x+1=0，解得：x1=2，x2=﹣1．5．探究下表中的奥秘，并完成填空： 一元二次方程 两个根二次三项式因式分解  x2﹣2x+1=0 x1=1，x2=1 x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1） x2﹣3x+2=0 x1=1，x2=2  x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2） 3x2+x﹣2=0 x1=，x2=﹣13x2+x﹣2=3（x﹣）（x+1） 2x2+5x+2=0  x1=﹣，x2=﹣2 2x2+5x+2=2（x+）（x+2） 4x2+13x+3=0 x1=　　，x2=　　  4x2+13x+3=4（x+　　）（x+　　）将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，则ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．