第2章 二元一次方程辅导讲义7：实际问题与二元一次方程组（一）(基础)知识讲解

实际问题与二元一次方程组（一）（基础）知识讲解

【学习目标】

1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；

2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题.

【要点梳理】

要点一、常见的一些等量关系（一）

1.和差倍分问题：

增长量＝原有量×增长率  较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.

2.产品配套问题：

解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.

3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.

4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .

要点二、实际问题与二元一次方程组

1.列方程组解应用题的基本思想

    列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

设：用两个字母表示问题中的两个未知数；

列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；

解：解方程组，求出未知数的值；

验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；

答：写出答案．

要点诠释：

（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

【典型例题】

类型一、和差倍分问题

【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）409143  例1】

1.甲乙丙三个工厂共同筹办一所厂校，所出经费不同，其中甲厂出总数的，乙厂出甲丙两厂和的，已知丙厂出了16000元，问这所厂校总经费是多少？甲乙两厂各出多少？

【思路点拨】题目中的相等关系是：甲厂所出经费＝总经费×，

乙厂所出经费＝（甲厂所出经费+丙厂所出经费）×.

【答案与解析】

解：设甲厂出x元，乙厂出y元，由题意得：

∴12000+14000+16000=42000（元）

答：总经费为42000元，甲厂出12000元，乙厂出14000元.

【总结升华】本题也可以用一元一次方程来解，相比之下，对于含有两个未知数的应用题，列二元一次方程组来解更方便、更直观.

举一反三：

【变式】根据图中所给出的信息，求出每个篮球和每个羽毛球的价格.

【答案】

解：设每个篮球元，每个羽毛球元.根据题意列方程组：

解得 

答：每个篮球20元，每个羽毛球2元.

类型二、配套问题

2. 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

【思路点拨】本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反了）.

【答案与解析】

解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套.

 根据题意，列方程组得

 解方程组得 

答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.

【总结升华】生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.

【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）409143  例2】

举一反三：

【变式】某家具厂生产一种方桌，设计时1的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有10的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）.

【答案】

解：设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，由题意得，

,

    .

∴方桌有50=300（张）.

答：有6的木材生产桌面，4的木材生产桌腿，可生产出300张方桌.

类型三、工程问题

3.一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?

【思路点拨】本例由分析知，有两个相等关系：(1)甲4天的工作量＋甲乙合做8天的工作量＝工作总量；(2)乙4天的工作量＋甲、乙合做9天的工作量＝工作总量，根据这两个相等关系可列方程求解．

【答案与解析】

解：设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件．

根据题意，得，

解之，得．

答：甲、乙两人每天做机器零件分别为50个、30个．

【总结升华】解答这类问题的基本关系式是：工作量＝工作效率×工作时间．工程问题一般分为两类：一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题．

类型四、利润问题

4.商店新进一批商品准备出售，若打8折出售，则10天可以售完，并能获利10000元；若打7.5折出售8天可以售完，可获利8000元，商品存放一天需要100元的存货费，求这批商品的本钱(购货价)和预售总价各是多少?

【思路点拨】本题有两个未知数，即商品本钱和预售总价，也有两个明显的等量关系，即两种打折出售的获利情况．

【答案与解析】

解：设这批商品的本钱(购货价)为x元，预售总价为y元，根据题意，得：

，解这个方程组得．

答：这批商品的本钱为24200元，预售总价为44000元．

【总结升华】打几折就是乘以百分之几十，另外注意两次获利都是纯利润．本例需要弄清的等量关系是：销售总价－商品进价－存货费＝利润．

【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）409143   例6】

举一反三：

【变式】王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%，共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗?

【答案】

解：设王师傅分别购进甲、乙两种商品件和件，则

解得：

答：王师傅分别购进甲乙两种商品32件与18件．