第2章 二元一次方程辅导讲义9：实际问题与二元一次方程组（二）(基础)知识讲解

实际问题与二元一次方程组（二）（基础）知识讲解【学习目标】1．熟悉行程、方案、数字等问题的解决方法； 2. 进一步研究用二元一次方程组解决实际问题．【要点梳理】要点一、常见的一些等量关系（二）行程问题速度×时间=路程.   顺水速度=静水速度+水流速度.   逆水速度=静水速度-水流速度.2．存贷款问题 利息=本金×利率×期数.本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .年利率＝月利率×12.月利率＝年利率×.3.数字问题    已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．4．方案问题 在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
要点诠释：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案．要点二、实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思路    2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【典型例题】类型一、行程问题1. A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出． (1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度； (2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?【思路点拨】这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解．(1)“同时开出相向而行”可用下图表示． “同时开出同向而行”可用下图表示．(2)慢车先开出1小时，两车相向而行，仿照（1）用示意图表示出来，并用等式表示出来．【答案与解析】解：(1)设快车和慢车的速度分别为x千米/时和y千米/时．根据题意，得，解得 答：快车和慢车的速度分别为100千米/时和60千米/时．(2)设快车开出x小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时，根据题意，得60(x+1)+100x＝480．解得．    答：快车开出小时两车相遇．【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词．【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（二）409144  例6】举一反三：【变式】两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；若第一列火车比第二列火车先出发9h，则第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？【答案】解：设这两列火车的速度分别为km/h，km/m．由题意得，      答：这两列火车的速度分别为45 km/h和 36 km/h．类型二、存贷款问题2. 蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，徐先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？【思路点拨】本题的等量关系：甲种贷款+乙种贷款＝13万元；甲种贷款的年利息+乙种贷款的年利息＝6075元.【答案与解析】解：设甲，乙两种贷款分别是x，y元，根据题意得：解得：
答：甲，乙两种贷款分别是61000元和69000元．【总结升华】利息＝贷款金额×利息率.类型三、数字问题3.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．【思路点拨】本题中的等量关系：①个位上的数－十位上的数＝5；②原数+新数＝143．【答案与解析】解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y．则原数为10y+x，把这两个数的位置对换后，所得的新数为10x+y，根据题意，得：，解方程组，得．故这个两位数为10y+x＝10×4+9＝49．答：这个两位数为49．【总结升华】对于两位数、三位数的数字问题，关键是明确它们与各数位上的数字之间的关系：两位数＝十位数字×10+个位数字；三位数＝百位数字×100+十位数字×10+个位数字．举一反三：【变式】一个两位数，个位数字和十位数字之和为8，个位与十位互换后，所得的新数比原数小18，则这个两位数是      ．【答案】53类型四、方案选择问题4.聪聪暑期在一家商场参加社会实践活动，商场老板想要购进A、B两种新型节能台灯共50盏，只给了聪聪2500元进货款和一份价目表，这两种台灯的进价、标价如下表所示．             类型价格A型B型进价（元/盏）4065标价（元/盏）60100 (1)同学们，你知道聪聪购买了这两种台灯各多少盏吗?(2)在每种台灯销售利润不变的情况下，若老板要求：计划销售这批台灯的总利润达到1405元，问至少需购进B型台灯多少盏?【思路点拨】(1)两种灯的总数为50，两种灯的进货款总和为2500元，列出二元一次方程组，求出两种灯的数量．再利用B型灯的数量设参，根据两种灯的总利润达到1405元列方程，即可求出B型灯的数量．【答案与解析】解：(1)设A型台灯购进x盏，B型台灯购进y盏．根据题意，得，解得：．    (2)设购进B型台灯m盏，根据题意，得35m+20(50-m)＝1405，    解得m＝27．    答：(1)A型台灯购进30盏，B型台灯购进20盏；(2)要使销售这批台灯的总利润达到1405元，至少需购进B种台灯27盏．【总结升华】本例为直接设元，利用表格进行分析、判断，这种方法值得学习和借鉴．【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（二）409144  例1】举一反三：【变式】某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.【答案】解：(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐.则根据题意可得：  解得：答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐.∴能供全校的5300名学生就餐.