第2章 二元一次方程辅导讲义10：实际问题与二元一次方程组（二）(提高)知识讲解

实际问题与二元一次方程组（二）（提高）知识讲解【学习目标】1．熟悉行程、方案、数字等问题的解决方法； 2. 进一步研究用二元一次方程组解决实际问题．【要点梳理】要点一、常见的一些等量关系（二）行程问题速度×时间=路程.   顺水速度=静水速度+水流速度.   逆水速度=静水速度-水流速度.2．存贷款问题 利息=本金×利率×期数.本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .年利率＝月利率×12.月利率＝年利率×.3.数字问题    已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．4．方案问题 在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
要点诠释：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案．要点二、实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思路    2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【典型例题】类型一、行程问题【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）409143  例7】1. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离.【思路点拨】本题中的等量关系为：50×（规定时间+）＝两地距离，75×（规定时间－）＝两地距离．通过解方程组即可得出两地间距离．【答案与解析】解：设规定的时间为x小时，甲乙两地间的距离为y千米. 则由题意可得：     解得：  答：甲乙两地间的距离为140千米.【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词．举一反三：【变式】已知一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身过完桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度．【答案】解：设火车速度为x m/s，火车长度为y m．根据题意，得：解得:  答：火车速度是20m/s，火车的长度是200m． 类型二、存贷款问题2. 张叔叔10万元买一辆货车跑运输，年利率为5.49%，计划两年还清贷款和利息．他用货车载货平均每月可赚运输费0.8万元，其中开支有两项：油费是运费收入的10%，修理费、养路费和交税是运费收入的20%，其余才是利润. 请你算一算，张叔叔跑2年的利润能否还清贷款和利息？【答案与解析】解：设 10万元贷款两年后的本息和为万元，而张叔叔跑2年的总利润为万元，则：解得∵ ，    ∴能还清．答：张叔叔跑2年的利润能还清贷款和利息．【总结升华】本题也可以不用方程组，直接列出代数式求值，比较大小得答案．举一反三：【变式】在银行存款准备金不变的情况下，银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系．当存款准备金率为7.5%时，某银行可贷款总量为400亿元，如果存款准备金率上调到8%时，该银行可贷款总量将减少多少亿（　　）．A.20   B.25     C.30     D.35【答案】B类型三、数字问题3.小明和小亮做游戏，小明在一个加数的后面多写了一个0，得到的和为242；小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341.原来的两个数分别为多少？【思路点拨】在后面多写一个0，实际就是扩大了10倍．两个等量关系为：10×一个加数+另一个加数=242；一个加数+10×另一个加数=341．【答案与解析】解：设原来的两个数分别为和，则：，解得．
答：原来两个加数分别是21，32．【总结升华】解决本题的关键是弄清在后面多写一个0，实际就是扩大了10倍．举一反三：【变式】一个两位数的十位上的数字与个位上的数字之和是这个两位数的，用方程表示这一个数量关系是       ． 【答案】或（填一个即可）类型四、方案选择问题4. (嘉兴)一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍．服务队计划对员工发放奖金共计20000元，按“技术员工个人奖金”A(元)和“辅助员工个人奖金”B(元)两种标准发放，其中A≥B≥800，并且A，B都是100的整数倍．(注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务．)    (1)求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数；    (2)求本次奖金发放的具体方案．【思路点拨】 (1)有两个等量关系：    ①技术员工的人数+辅助员工的人数＝15人；    ②技术员工人数＝辅助员工人数×2．由此，可以设未知数列出方程组求解．    (2)有一个等量关系：两种标准发放的奖金和为20000元，结合A≥B≥800，且A，B都是100的整数倍，从而分类求解．【答案与解析】解：(1)设该农机服务队有技术员工x人，辅助员工y人．根据题意，得，解得．    即该农机服务队有技术员工10人，辅助员工5人．    (2)由(1)，可得10A+5B＝20000．    因为A≥B≥800，且A，B都是100的整数倍，    所以当B＝800时，A＝1600；    当B＝900时，A＝1550(A不是100的整数倍，舍去)；    当B＝1000时，A＝1500；    当B＝1100时，A＝1450(A不是100的整数倍，舍去)；    当B＝1200时，A＝1400；    当B＝1300时，A＝1350(A不足100的整数倍，舍去)；    当B＝1400时，A＝1300(A＜B，舍去)；    因此再取下去都不符合题意．    所以本次奖金发放的具体方案有三种：    方案1：技术员工每人1600元，辅助员工每人800元；    方案2：技术员工每人1500元，辅助员工每人1000元；    方案3：技术员工每人1400元，辅助员工每人1200元．【总结升华】本题的第(1)问容易求解．难在由第(2)问得到的等量关系式中含有两个未知数，好在这两个未知数受到两个条件的限制，从而可以分情况求解．【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（二）409144  例5】举一反三：【变式】联想集团某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型电脑每台6000元，B型电脑每台4000元，C型电脑每台2500元，某市一中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由.【答案】解：设从该公司购进A型电脑台， B型电脑台， C型电脑z台，则可分3种情况考虑： ①只购进A型电脑和B型电脑，     不符合题意，舍去，此方案不可取.②只购进A型电脑和C型电脑，     符合题意，此方案可取.③只购进B型电脑和C型电脑，   符合题意，此方案可取.答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台.