数学人教版9年级下【新题速递】第2期02

这是一份数学人教版9年级下【新题速递】第2期02，共28页。
人教9下·数学



【新题速递】人教版数学9年级下册
第2期 02
一、单选题
1．（2022·河北沧州·统考二模）问题：如图，矩形中，，，点为对角线上一点．当为等腰三角形时，求的值．甲：当点为中点时，为等腰三角形，；乙：当时，是等腰三角形，．则（    ）

A．甲的结论正确 B．乙的结论正确
C．甲、乙的结论合起来正确 D．甲、乙的结论合起来也不正确
2．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）【阅读理解】在求阴影部分面积时，常常会把原图形的一部分割下来补在图形中的另一部分，使其成为基本规则图形，从而使问题得到解决，这种方法称为割补法．如图1，C是半圆O的中点，欲求阴影部分面积，只需把弓形BC割下来，补在弓形处，则．

【拓展应用】如图2，以为直径作半圆O，C为的中点，连接，以为直径作半圆P，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东枣庄·校考模拟预测）下列四个命题：①将二次函数向右平移一个单位长度后所得的二次函数表达式为；②如果一个几何体在一个投影面上的正投影是矩形，那么这个几何体是长方体；③点到直线的距离是垂线段；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形．其中是假命题的有（    ）
A．②③ B．①②③ C．②④ D．②③④
4．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）如图，已知点，直线l经过A、B两点，点为直线l在第一象限的动点，作的外接圆，延长交于点Q，则的面积最小值为（　　）

A．4 B．4.5 C． D．
5．（2022·浙江宁波·校考三模）两个全等的矩形和矩形如图放置,且恰好过点．过点作平行交于．知道下列哪个式子的值,即可求出图中阴影部分的面积（     ）

A． B． C． D．
6．（2021·浙江宁波·校考三模）如图，在中，点是线段上一点，于点，四边形为矩形，若，的面积为，矩形的面积为，则下列图形中面积可以确定的是（    ）

A．的面积 B．四边形的面积
C．梯形的面积 D．的面积
7．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）某滑梯示意图及部分数据如图所示．若，则的长为（    ）

A． B． C． D．
8．（2022·江苏无锡·校考二模）如图，边长为个单位长度的正方形，以为斜边在正方形左侧作等腰直角三角形，，将绕点D顺时针旋转得，旋转一周，当边所在直线经过点B时，则的长为（        ）

A． B．或
C．或 D．
9．（2022·山东济南·校考模拟预测）如图，从地到地的飞机航线经过某市的地标建筑物A的上空，一架飞机在从地飞往N地途中处测得建筑物A顶部的俯角为，继续沿航线飞行千米，飞机恰好处于建筑物A的正处，则此时飞机距建筑物A的顶部的距离是（　　）

A．2千米 B．2千米 C．2千米 D．千米
10．（2022·四川绵阳·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，矩形的顶点分别在轴，轴上，对角线轴，已知，.现将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线恰好平分矩形的面积，则的值为（       ）

A． B．8 C．9 D．
11．（2023·广西玉林·一模）如图，已知直线交、轴于、两点，以为边作等边、、三点逆时针排列，、两点坐标分别为、，连接、，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．
12．（2022·广东东莞·东莞市万江第三中学校考三模）如图，等边的边长为，沿运动，沿运动，且速度都为每秒个单位，面积为，则与运动时间秒的函数的图象大致为（   ）

A． B．
C． D．
13．（2022·云南文山·统考三模）随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（    ）

A．共有500名学生参加模拟测试
B．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
C．第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多
D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人
14．（2022·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考三模）如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是（    ）

A．平均数是9，众数是9.5． B．中位数是9，平均数是10．
C．中位数是9.4，众数是9． D．中位数是9.5，众数是10．
15．（2022·浙江丽水·一模）丽水市九县（市、区）的人数统计如下表，这些表示人数的数据中，中位数是（    ）
县域
莲都区
青田县
缙云县
遂昌县
松阳县
云和县
庆元县
景宁县
龙泉市
人数（万人）
56.2
50.9
40.5
19.4
20.5
12.9
14.3
11.1
24.9
A．19.4万 B．24.9万 C．20.5万 D．14.3万
16．（2022·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考二模）某校组织了一场英语演讲比赛，有名女生和名男生获得学校一等奖，现准备从这名获奖选手中选出名学生，代表学校参加市里组织的英语演讲比赛，最后选出的结果是“一男一女”的概率是（   ）
A． B． C． D．
17．（2022·山西晋中·统考一模）公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得编写了《几何原本》．他在编写这本书时挑选一部分数学名词和公认的真命题（即公理）作为证实其他命题的出发点和依据，除公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断，在此基础上，逐渐形成了一种重要的数学思想，这种思想是（    ）
A．公理化思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想 D．转化思想
18．（2021·山西·校联考三模）分式是刻画数量关系和变化规律的一类重要的代数式，我们学习了分式的概念、基本性质和运算．回顾学习分式的过程，常常是先回顾分数的概念、分数的基本性质和分数的运算法则，然后推广得到分式的概念、分式的基本性质和分式的运算法则．这种研究方法主要体现的数学思想是（    ）
A．归纳思想 B．类比思想
C．数学抽象 D．数形结合思想
二、填空题
19．（2021·山东青岛·统考一模）【问题提出】：将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？
【问题探究】：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律．
探究一：将一个边长为2的菱形的四条边分别2等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？
如图1，从上往下，共有2行，我们先研究平行四边形的个数：
（1）第一行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有2＋1＝3个；
（2）第二行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有2＋1＝3个；
为了便于归纳分析，我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二行的平行四边形，以下各行类同第二行．因此底第二行还包括斜边长为2，底长为1～2的平行四边形，共有2＋1＝3个．
即：第二行平行四边形共有2×3个．
所以如图1，平行四边形共有2×3＋3＝9＝（2＋1）2．
我们再研究菱形的个数：
分析：边长为1的菱形共有22个，边长为2的菱形共有12个，
所以：如图1，菱形共有22＋12＝5＝×2×3×5个．

探究二：将一个边长为3的菱形的四条边分别3等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？
如图2，从上往下，共有3行，我们先研究平行四边形的个数：
（1）第一行有斜边长为1，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个；
（2）第二行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个；底在第二行还包括斜边长为2，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个，即：第二行平行四边形共有2×6个．
（3）第三行有斜边长为1，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个；
底在第三行还包括斜边长为2，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个．
底在第三行还包括斜边长为3，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个，即：第三行平行四边形共有3×6个．
所以如图2，平行四边形共有3×6＋2×6＋6＝（3＋2＋1）×6＝（3＋2＋1）2．
我们再研究菱形的个数：分析：边长为1的菱形共有32个，边长为2的菱形共有22个，边长为3的菱形共有12个．所以：如图2，菱形共有32＋22＋12＝14＝×3×4×7个．
探究三：将一个边长为4的菱形的四条边分别4等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？
如图3，从上往下，共有4行，我们先研究平行四边形的个数：
（1）第一行有斜边长为1，底长为1～4的平行四边形，共有4＋3＋2＋1＝10个；
（2）第二行有斜边长为1，底长为1～4的平行四边形，共有4＋3＋2＋1＝10个；底在第二行还包括斜边长为2，底长为1～4的平行四边形，共有4＋3＋2＋1＝10个，即：第二行平行四边形共有2×10个．
（3）模仿上面的探究，第三行平行四边形总共有　 　个．
（4）按照上边的规律，第四行平行四边形总共有　 　个．
所以，如图3，平行四边形总共有　 　个．
我们再研究菱形的个数：
分析：边长为1的菱形共有42个，边长为2的菱形共有32个，边长为3的菱形共有22个，边长为4的菱形共有12个．
所以：如图3，菱形共有42＋32＋22＋12＝×　 　个，（仿照前面的探究，写成三个整数相乘的形式）
【问题解决】将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，根据上边的规律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是　 　和菱形个数分别是×　 　．（用含n的代数式表示）
【问题应用】将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，若得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是441个，则n＝　 　．
【拓展延伸】将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，当该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数与菱形个数之比是135∶19时，则n＝　 　．
20．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）图1是一辆卸货车实物图，折线是支架，为可伸缩的液压支撑杆，测得，，，，，图2是卸货车不工作时的侧面示意图，此时与在同一直线上，，且，则________，图3是卸货车工作时的侧面示意图，折线可绕点上下旋转，且始终保持不变，始终保持与地面垂直，当时，与的距离为________．

21．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为的锐角顶点在圆心上，这个角绕点任意转动，在转动过程中，扇形与扇形有重叠的概率为，求 ___________．

22．（2022·四川乐山·统考二模）如图，点是等腰的斜边的中点，，，连结，以为直角边，作等腰，其中，连结，则四边形面积的最大值是____．

23．（2022·四川绵阳·校考二模）如图，内切于正方形中，与边相切的点分别为，对角线交于点，连接，则的值是______．

24．（2022·广东东莞·校考二模）在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为120°，圆锥的底面半径为6，则此圆锥的母线长为 _____．

25．（2022·北京海淀·校考三模）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成，，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间单位：小时如下：
原料时间
工序
原料
原料
原料
上漆



描绘花纹



则完成这三件原料的描金工作最少需要______小时．
26．（2022·浙江金华·一模）将一本高为（即）的词典放入高（AB）为的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处，若此时将词典无滑动向右倒，书角的对应点恰为CD中点．

（1）收纳盒的长_______；
（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有________本书可与边BC有公共点．
27．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）已知正方形ABCD，AB=6，DP平分∠ADC且DP=，AE=2，连接EP、CP，点F是EP上一点，EF：FP=11：3．连接CF，点M是EC上一点且满足∠EFM=∠CFP，过点M作MN⊥CF交CP于点N，则PN=__________．

28．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD，E为边BC上一个动点（E点不与B、C重合），F为BC延长线上的一个动点，且有BE=CF，AE交BD于H，连接DF，过F作FG⊥BD于G，连接AG、EG，则下列结论： ①四边形AEFD为菱形；②AG=EG；③当E为BC中点时，tan∠BGE=；④当时，．其中正确的有____________．

29．（2021·浙江宁波·校考三模）如图，平面直角坐标系中，等腰Rt∆AOB的顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边AB与函数交于点D，AD=3BD，过点B作BC⊥AB，交函数交于点C，连接AC，OD交于点E，若∆AOE的面积与∆CDE的面积都等于2.4，则的值为________．

30．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，中，分别以、为底边向外作等腰和等腰，连接，点为的中点，连接并延长交的延长线于点，，，若，，则的值为______．

31．（2022·湖北黄冈·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，，点A与坐标原点重合，点C在x轴正半轴上，将绕点C顺时针旋转一定的角度后得到，使得点B对应点在x轴上，记为第一次旋转，再将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在x轴上，以此规律旋转，则第2023次旋转后钝角顶点坐标为___________．

32．（2021·浙江温州·校考三模）如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，且AB＝2AD＝2BC．现将两扇门推到如图2（图1的平面示意图）的位置，其中，且点A，C，D在一条直线上，测得A，C间的距离为cm，则门宽AD＝_______．如图3，已知∠A＝30°，∠B＝60°，点P在AB上，且AP＝54cm，点M是AD上一动点，将点M绕点P顺时针旋转60°至M′，则CM′的最小距离是 _______cm．

33．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，中，，连接交于点E，，垂足为点G，交的延长线于点F，连接，若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的序号是___________．

34．（2021·福建厦门·校考一模）将一个装有水的圆柱体杯子斜放在水平桌面上，当倾斜角时，其主视图如图所示．若该水杯的杯口宽度，则水面宽度______参考数据：，，

35．（2022·河南郑州·河南省实验中学校考模拟预测）如图，在中，，对角线，点，分别为，边上的动点，且．现将关于直线对称，点的对应点记为，将关于直线对称，点的对应点记为，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，的长度为______．

36．（2022·吉林长春·统考一模）如图，抛物线 与y轴交于A点，与x轴交于B、C两点，B（-1，0）， C（3，0），连接AC，将线段AC 向上平移落在EF处，且EF恰好经过这个抛物线的顶点D，则四边形ACFE的周长为______．

37．（2022·浙江金华·校联考模拟预测）图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形ABCD是矩形，AB=20cm，AD=cm，DE=60cm，BF=30cm．点H在BC上，椅子的支撑杆AF、BG、CE分别绕B、H、D转动并带动AI转动，支撑杆LK、JM不动．躺椅在转动时：
（1）若直线EF过点J，当∠ADE=120°时，AFJ的面积是______cm2．
（2）若，EF与地面的夹角为α，则的取值范围是_____．

38．（2022·云南昆明·云南省昆明市第十中学校考三模）两块全等的等腰直角三角形如图放置，交于点P，E在斜边上移动，斜边交于点Q，，当是等腰三角形时，则的长为___________．

39．（2022·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，中，，，底边上的高，是中点．是上一点，连接，将绕点逆时针旋转交的延长线于点．

（1）若，则________；
（2）若为的中点，则________．
40．（2022·山西太原·统考二模）如图1是劳动课上同学们组装的一个智能机器臂．水平操作台为l，底座AB固定，，AB长度为24cm，连杆BC长度为30cm，手臂CD长度为28cm，点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．如图2，转动连杆BC和手臂CD，当，时，端点D离操作台l的高度DE为______cm．

41．（2022·北京海淀·北京市十一学校校考二模）某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中心区域，现将其平时训练的结果统计如下：
投掷次数
20
40
100
200
400
1000
“投掷到中心区域”的频数
15
34
88
184
356
910
“投掷到中心区域”的频率
0.75
0.85
0.88
0.92
0.89
0.91
估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为______．（结果保留小数点后一位）
42．（2022·宁夏吴忠·统考一模）2022年冬季奥运会在北京的张家口举办，现对两名参赛选手的某项实战能力进行了五次测试，测试成绩如图所示，则______选手的成绩更稳定（填A或B）．

43．（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考二模）甲、乙两同学最近5次数学测试的成绩及有关统计量如表所示：则甲、乙两同学中，数学成绩比较稳定的是______ ．

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
平均数
方差
甲
76
84
80
87
73
80
26
乙
78
82
79
80
81
80
2
44．（2022·江苏镇江·统考一模）某校为了了解学生的安全意识，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．调查结果如图所示，其中，“较强”层次的学生占参加问卷的学生的百分之________．

45．（2021·甘肃·模拟预测）在数学实践课上，同学们进行投针试验：在平面上有一组平行线，相邻两条平行线间的距离都为5cm，将一根长度为3cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交，下表记录了他们的试验数据．
试验次数n
50
100
200
500
1000
2000
相交频数m
23
48
83
207
404
802
相交频率
0.460
0.480
0.415
0.414
0.404
0.401
若进行一次投针试验，估计针与直线相交的概率是______（结果保留小数点后一位）．
三、解答题
46．（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）（1）如图1，的半径为2，，点为上任意一点，则的最小值为________．
（2）如图2，已知矩形，点为上方一点，连接，，作于点，点是的内心，求角的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，若矩形的边长，，，求此时的最小值．

47．（2022·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图1，在中，和是两条弦，且，垂足为点，连接，过作于，交于点G；

（1）求证：；
（2）如图2，连接、，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，交于点，连接、、，若，，，求的长．
48．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）综合实践
问题情境
在图所示的直角三角形纸片中，是斜边的中点．数学老师让同学们将绕中点做图形的旋转实验，探究旋转过程中线段之间的关系．

解决问题
（1）“实践小组”的同学们将以点为中心按逆时针旋转，当点的对应点与重合时，与它的对应边交于点．他们发现：．请你帮助他们写出证明过程．
数学思考
（2）在图的基础上，“实践小组”的同学们继续将以点为中心进行逆时针旋转，当的对应边时，设与交于点，与交于点．他们认为．他们的认识是否正确？请说明理由．
再探发现
（3）解决完上面两个问题后，“实践小组”的同学们在图中连接，他们认为，与也具有一定的数量关系．请你写出这个数量关系______．（不要求证明）
49．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）【问题情境】
学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路．
思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到；
思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得；
（1）根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ___________．
（2）【类比探究】
如图②，，，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由．
（3）【迁移应用】
【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，，求的长．
【应用2】如图④，，，，，，，、相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由．

50．（2023·陕西西安·校考一模）【问题提出】
（1）如图①，为半圆的直径，O为圆心，C，D为半圆上的两点，若，，则___．

【问题探究】
（2）如图②，在矩形中，，，点P在直线的右侧，且满足，求点P到的最短距离．

【问题解决】
（3）如图③，有一块矩形型板材，米，米，由于工作需要，工人王师傅想在这块板材上找一点P，裁出与，并满足，．请问王师傅的设想可以实现吗？如果可以，请帮他计算所裁得的的面积；如果不能，请说明你的理由．

51．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为，对称轴与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点为轴正半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，与抛物线的对称轴交于点，连接．
①若与相似，求点的坐标；
②若点在轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时有一边与线段具有对称性，我们把这样的点称为“对称点”，请直接写出“对称点”的坐标．
52．（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）（1）如图1，，E是的中点，平分，求证：平分．
（2）如图2，，和的平分线并于点E，过点E作，分别交于B、D，请猜想三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．
（3）如图3，，和的平分线交于点E，过点E作不垂直于的线段，分别交于B、D点，且B、D两点都在的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

53．（2022·四川南充·模拟预测）如图，有两块量角器完全重合在一起（量角器的直径，圆心为），保持下面一块不动，上面的一块沿所在的直线向右平移，当圆心与点重合时，量角器停止平移，此时半与半交于点，连接．

（1）与半有怎样的位置关系？请说明理由．
（2）在半的量角器上，、点的读数分别为、时，问点在这块量角器上的读数是多少？
（3）求图中阴影部分的面积．
54．（2022·河南南阳·模拟预测）如图，在中，，，点是边上的动点，点在边上，．

（1）若，求的长；
（2）若为等腰三角形，求的长；
（3）如图，作的外接圆，圆心为点．
①当点运动到某一时刻，点恰好落在线段上，求此时的长；
②为线段上一点，当点从①中的位置运动到点的过程中，点也随之运动，则点运动路径的长为______直接写结果．
55．（2022·江苏泰州·统考二模）已知，在平面直角坐标系中，有反比例函数y=的函数图像：

（1）如图1，点A是该函数图像第一象限上的点，且横坐标为a（a＞0），延长AO使得AO=A'O，判断点A'是否为该函数图像第三象限上的点，并说明理由；
（2）如图2，点B、C均为该函数图像第一象限中的点，连接BC，点D为线段BC的中点，请仅用一把无刻度的直尺作出点D关于点O的对称点D'．（不写作图过程，保留作图痕迹）
56．（2022·安徽芜湖·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为格点三角形（顶点为网格线的交点），∠ABC＝90°，点A的坐标为（1，4）．已知与关于点成中心对称（点D，E，F分别为A，B，C的对应点，且）．连接AF，CD．

（1）若，画出此时的位置；
（2）线段AF与CD的位置和大小关系是______；
（3）若四边形AFDC是一个轴对称图形，则a的值为______．
57．（2022·云南文山·统考三模）为了丰富学生与教师的学校生活，减轻备考压力，某校组织了一次以“歌唱青春、绽放荣光”为主题的歌唱比赛，并组建了8人的评委会，其中1至3号为教师评委，4至8号为学生评委，如表是进入决赛的甲、乙两名选手的得分表．
评委
1
2
3
4
5
6
7
8
甲
90
88
92
94
92
88
92
98
乙
85
91
85
93
95
96
98
94
评分方案如下：
方案一：取各评委所给分数的平均数，作为最后得分；
方案二：从各评委所给分数中去掉一个最高分和一个最低分，再取剩余6位评委所给分数的平均数作为最后得分．
（1）你认为方案 更合理；
（2）求出乙选手得分的中位数和众数；
（3）李老师认为评分既要突出教师评委的权威性，又要尊重学生评委的喜爱度，为此他设计了方案三：先计算教师评委所给评分的平均数，再计算学生评委所给评分的平均数，再根据比赛的需求分别赋予教师评委和学生评委的权重，计算最终得分，按照方案三，甲、乙两人谁能获得歌唱比赛的冠军？
58．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）如下的两幅不完整的统计图反映了某校男子篮球队的年龄分布情况．

（1）求该校男子篮球队队员的平均年龄是多少？并将条形统计图补充完整；
（2）若岁的队员中有位来自初三年级，位来自高一年级，岁的队员中有1位来自初二年级，其余的都来自初三年级．现要从岁和岁的同学中分别选出一位介绍训练感想，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学都来自初三年级的概率．
59．（2022·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）【问题背景】疫情当下，青岛二十六中为配合“双减”政策，对于九年级学生进行了第一次中考一模作业反馈，已知青岛二十六中九年级学生总数占比青岛市南区九年级学生总数的．

【评分标准】90分及以上为优秀；80分分为良好；60分分为及格；60分以下为不及格．将测试数据制成如图统计图．请根据相关信息解答下面的问题：
【数据分析】
（1）扇形统计图中，“不及格”等级所在扇形圆心角的度数是 ___________
（2）求参加本次测试学生的平均成绩；
（3）若参加本次测试“良好”及“良好”以上等级的学生共有192人，请你估计全青岛市南区“不及格”等级的学生的人数．
60．（2022·山东济南·山东师范大学第二附属中学校考模拟预测）某校决定午餐后免费供应水果以加强初中生体质．每名学生可在香蕉、苹果、梨子中任选一样，现从全校学生中随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图所示的统计图（部分信息未给出）．已知被调查的男生人数为100人，选择梨子的女生人数是选择梨子的男生人数的2倍，选择香蕉的女生人数是选择苹果的女生人数的3倍.

（1）求被调查学生的总人数；
（2）补全条形统计图和扇形统计图．

参考答案
1．D
2．B
3．A
4．D
5．A
6．D
7．A
8．B
9．C
10．A
11．D
12．C
13．D
14．D
15．C
16．C
17．A
18．B
19．探究三：（3）3×（4＋3＋2＋1）；（4）4×（4＋3＋2＋1），（4＋3＋2＋1）2，×4×5×9个；【问题解决】（n＋n﹣1＋n﹣2＋…＋1）2，n（n＋1）（2n＋1）；【问题应用】6；【拓展延伸】9．
20．    
21．##度
22．
23．
24．18
25．
26．cm     7
27．##
28．②③④
29．7
30．
31．
32．90cm    
33．①②④
34．
35．或
36．
37．    
38．或或
39． 20    
40．
41．0.9
42．A
43．乙
44．30
45．0.4
46．（1）3；（2）；（3）．
47．（1）略
（2）略
（3）
48．（1）略；（2）正确，理由略；（3）
49．（1）
（2），略
（3）；存在最小值，其最小值为

50．（1）；（2）；（3）师傅的设想可以实现，平方米
51．（1）
（2）①M点的坐标为或 ；②M点的坐标为或或
52．（1）略；（2）；（3）成立，理由略
53．（1）与半相切，理由略；
（2）；
（3）．
54．（1）
（2）或或
（3）①；②
55．（1）点A'是该函数图像第三象限上的点，理由略
（2）略
56．（1）略
（2），且
（3）1
57．（1）二
（2）中位数，众数为85
（3）甲
58．（1）平均年龄是岁，图略
（2）
59．（1）36
（2）分
（3）200人
60．（1）被调查学生的总人数为250人
（2）补全条形统计图和扇形统计图略