高中数学高考第9讲　第2课时　定点、定值、范围、最值问题

第2课时　定点、定值、范围、最值问题

一、选择题

1.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)

A.    B.[－2，2]

C.[－1，1]    D.[－4，4]

解析　Q(－2，0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.

答案　C

2.(2017·石家庄模拟)已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为(　　)

A.   B.   C.4   D.5

解析　由·＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝，故选B.

答案　B

3.已知椭圆C的方程为＋＝1(m＞0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为(　　)

A.2   B.2   C.8   D.2

解析　根据已知条件得c＝，则点(，)在椭圆＋＝1(m＞0)上，

∴＋＝1，可得m＝2.

答案　B

4.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是(　　)

A.[3，＋∞)    B.(3，＋∞)

C.(1，3]    D.(1，3)

解析　依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x＋2＝0.

∵渐近线与抛物线有交点，

∴Δ＝－8≥0，求得b2≥8a2，

∴c＝≥3a，∴e＝≥3.

答案　A

5.(2016·丽水一模)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)

A.2   B.   C.   D.

解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，

得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，

则x1＋x2＝－t，x1x2＝.

∴|AB|＝|x1－x2|

＝·

＝·

＝·，

当t＝0时，|AB|max＝.

答案　C

二、填空题

6.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________.

解析　由条件知双曲线的焦点为(4，0)，

所以解得a＝2，b＝2，

故双曲线方程为－＝1.

答案　－＝1

7.已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________.

解析　∵·＝0，∴⊥.

∴||2＝||2－||2＝||2－1，

∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，

故||min＝2，∴||min＝.

答案　

8.(2017·平顶山模拟)若双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.

解析　双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有≥1，解得b2≤3，则e2＝1＋b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2.

答案　(1，2]

三、解答题

9.如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且·＝－1.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点.是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

解　(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b).

又点P的坐标为(0，1)，且·＝－1，

于是解得a＝2，b＝.

所以椭圆E方程为＋＝1.

(2)当直线AB的斜率存在时，

设直线AB的方程为y＝kx＋1，

A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).

联立

得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.

其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，

所以，x1＋x2＝－，x1x2＝－.

从而，·＋λ·＝x1x2＋y1y2

＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]

＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1

＝＝－－λ－2.

所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3.

此时，·＋λ·＝－3为定值.

当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，

此时·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－3，

故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.

10.(2016·浙江卷)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1).

(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；

(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

解　(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0.

故x1＝0，x2＝－，

因此|AM|＝|x1－x2|＝·.

(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.

记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.

由(1)知|AP|＝，|AQ|＝，

故＝，

所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.

由于k1≠k2，k1，k2＞0得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，

因此＝1＋a2(a2－2)，①

因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.

因此，任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤，

由e＝＝得，所求离心率的取值范围是.

11.(2016·湖南师大附中月考)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y2＝x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是(　　)

A.    B.(，＋∞)

C.(1，)    D.

解析　不妨联立y＝x与y2＝x的方程，消去y得x2＝x，由x0＞1知＜1，即＜1，故e2＜2，又e＞1，所以1＜e＜，故选C.

答案　C

12.(2017·河南省八市质检)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若△AOB的面积为，则抛物线的准线方程为(　　)

A.x＝－2    B.x＝2

C.x＝1    D.x＝－1

解析　因为e＝＝2，所以c＝2a，b＝a，双曲线的渐近线方程为y＝±x，又抛物线的准线方程为x＝－，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A，B，在△AOB中，|AB|＝p，点O到AB的距离为，所以·p·＝，所以p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故选D.

答案　D

13.(2017·绵阳诊断)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则·的最小值为________.

解析　点P为椭圆＋＝1上的任意一点，设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，依题意得左焦点F(－1，0)，∴＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋＝＋.

∵－3≤x≤3，

∴≤x＋≤，∴≤≤，

∴≤≤，∴6≤＋≤12，即6≤·≤12，故最小值为6.

答案　6

14.(2017·衡水中学高三联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x＋4y＋6＝0与圆x2＋(y－b)2＝a2相切.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；

(3)在(2)的条件下求△AMN面积的最大值.

解　(1)由题意，得∴

即C：＋y2＝1.

(2)由题意得直线l1，l2的斜率存在且不为0.

∵A(－2，0)，设l1：x＝my－2，l2：x＝－y－2，

由得(m2＋4)y2－4my＝0，

∴M.同理，N.

①m≠±1时，kMN＝，

lMN：y＝.此时过定点.

②m＝±1时，lMN：x＝－，过点.

∴lMN恒过定点.

(3)由(2)知S△AMN＝×|yM－yN|

＝＝8

＝＝.

令t＝≥2，当且仅当m＝±1时取等号，

∴S△AMN≤，且当m＝±1时取等号.

∴(S△AMN)max＝.