高中数学高考第10讲 对数与对数函数（达标检测）（教师版）

《对数与对数函数》达标检测

[A组]—应知应会

1．（2020•新课标Ⅰ）设，则　　

A． B． C． D．

【分析】直接根据对数和指数的运算性质即可求出．

【解答】解：因为，则，则

则，

故选：．

2．（2020春•沙坪坝区校级期末）已知，，，则有　　

A． B． C． D．

【分析】容易得出，，然后即可得出，，的大小关系．

【解答】解：，，

．

故选：．

3．（2018•南平一模）已知函数，若，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】推导出，从而，由此能求出实数的取值范围．

【解答】解：函数，

，

，，

解得，

实数的取值范围是．

故选：．

4．（2019秋•思明区校级期中）已知函数，若，，则等于　　

A．1 B． C．0 D．2

【分析】由已知可知，，结合，及对数的运算性质可知，整理即可求解．

【解答】解：，且，

，

，

，

即，

则．

故选：．

5．（2019春•烟台期末）当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳14含量约为原始含量的，则该生物生存的年代距今约　　

A．1.7万年 B．2.3万年 C．2.9万年 D．3.5万年

【分析】由，可得该生物生存的年代距今约年．

【解答】解：碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，，

则该生物生存的年代距今约年．

故选：．

6．（2020•葫芦岛二模）函数，，，，则　　

A．（a）（b）（c） B．（a）（c）（b） 

C．（c）（a）（b） D．（c）（b）（a）

【分析】由已知结合分段函数的性质及分段函数的单调性及值域即可比较大小．

【解答】解：由题意可得，当时，，

当时，且函数单调递增，时，函数也是单调递增，

因为，，，

所以（a）（b），（c），

故（a）（b）（c）．

故选：．

7．（2019•西湖区校级模拟）若定义运算，则函数的值域是　　

A． B．， C．， D．，

【分析】即取、的较大者，求出函数的表达式为分段函数，在每一段上求函数的值域，再取并集即可．

【解答】解：由题意得，

，

当时函数为，

因为在，为增函数，

所以，，

当时函数为，

因为在为减函数，

所以，

由以上可得，，

所以函数的值域为，，

故选：．

8．（多选）（2020•海南模拟）若，，则　　

A． B． C． D．

【分析】由，，得，，利用对数指数运算性质即可判断出结论．

【解答】解：由，，得，，

则，，，

故选：．

9．（多选）（2019秋•南京期末）下列各选项中，值为1的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】利用指数与对数的运算性质化简即可判断出结论．

【解答】解：．原式，因此正确；

．原式，因此不正确；

．原式，因此正确；

．原式，因此不正确．

故选：．

10．（2020•徐州模拟）函数的定义域是　           ．

【分析】根据函数的定义为使函数的解析式有意义的自变量取值范围，我们可以构造关于自变量的不等式，解不等式即可得到答案．

【解答】解：要使函数有意义，则需满足

解之得，且，

函数的定义域是，，．

故答案是，，．

11．（2020春•本溪月考）　　    ．

【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．

【解答】解：原式

，

故答案为：．

12．（2019春•广陵区校级月考）已知函数，则满足不等式（3）的的取值范围为　　     ．

【分析】由题意利用对数函数的单调性，可得，由此求得得取值范围．

【解答】解：函数，则满足不等式（3），

，求得，求得，

故答案为：．

13．（2019秋•椒江区校级期中）若函数且，图象恒过定点，则　　；函数的单调递增区间为　　       

【分析】对数形式函数恒过定点，和对数函数类似，使真数整体等于1，求出定点的横坐标，纵坐标进而求出，另外复合函数的单调性用同增异减性质得出所求函数的递增区间．

【解答】解：当时，即，不论为什么时使函数有意义的数，函数值都为1，即恒过，，，；

函数，定义域，，，

令，递增区间为，在定义域内为增函数，复合函数根据同增异减性质，函数递增区间为；

答案为：，．

14．（2019秋•通州区期末）已知函数在，上的最大值与最小值的和是2，则的值为　  　．

【分析】利用对数函数的单调性，当时，在上为增函数，所以在，上最大值为，最小值为；

当，时，在上为减函数，所以在，上最大值为，最小值为．

【解答】解：，当时，在上为增函数，

所以在，上最大值为，最小值为；

当，时，在上为减函数，

所以在，上最大值为，最小值为．

故有

即

又，所以，

故答案为：2．

15．（2019秋•大同期末）设函数的定义域为，，值域为，，若的最小值为，则实数　　．

【分析】通过分类讨论和利用对数函数的单调性即可得出．

【解答】解：①若，则，

的值域为，，，，解得，，

又的最小值为，以及，

当“”成立时，解得，不合题意；

②若，则，

的值域为，，，，解得，，

又的最小值为，，解得，符合题意；

③若时，根据对数函数的性质得不满足题意．

故答案为：．

16．（2020春•莲湖区校级期中）已知是定义在上的偶函数，且时，

（1）求（3）；

（2）求函数的解析式；

（3）若，求实数的取值范围．

【分析】（1）利用函数奇偶性的性质即可求（3）

（2）根据函数奇偶性的性质即可求函数的解析式；

（3）若，将不等式进行转化即可求实数的取值范围．

【解答】解：是定义在上的偶函数，时，，

（3）；

令，则，

时，，

则．

（Ⅲ）在，上为增函数，

在上为减函数

（1）

，

或

17．（2019秋•金台区期中）已知函数，其中且．

（1）求函数的定义域；

（2）判断的奇偶性，并说明理由；

（3）若，求使成立的的集合．

【分析】（1）根据函数解析式有意义的条件即可求的定义域；

（2）根据函数的奇偶性的定义即可判断的奇偶性；

（3）根据，可得：，根据对数函数的性质即可求使的的解集．

【解答】解：（1）要使函数有意义，则，

解得，

即函数的定义域为；

（2），

是奇函数．

（3）若，

，

解得：，

，

若，则，

，

解得，

故不等式的解集为．

18．（2019秋•慈利县期中）已知函数，．

（1）设，当时，求函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性；

（2）是否存在实数，使函数在，上单调递减，且最小值为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【分析】本题第（1）题根据函数的定义域及奇偶性的定义法判断；第（2）题根据复合函数的单调性及最值的取值进行比较即可判断得出结论．

【解答】解：（1）当时，

．

，解得．

函数的定义域为．

函数的定义域关于原点对称，

．

为奇函数．

（2）设，，定义域为，而在定义域上单调递增．

复合函数在，上单调递减，

只有时，单调递减，满足复合函数单调递减，

此时必须满足，即．

，

即，解得，

而．

故不存在．

[B组]—强基必备

 1．（2019•运城模拟）已知函数满足（a），则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意化简函数，得出在其定义域上的单调性；在定义域内讨论不等式（a）成立时，的取值范围．

【解答】解：根据题意可得，

，在上单调递减，在上单调递增；

根据题意可知，；

①当，时，（a）

，解得；

；

②当时，（a）不符合题意（舍；

③当，时，（a）

，解得；

综上，的取值范围为．

故选：．

2．（2020春•未央区校级期末）已知定义在上的函数对任意的都满足，当时，．若函数恰有6个不同零点，则的取值范围是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【分析】本题通过典型的作图画出以及的图象，从图象交点上交点的不同，来判断函数零点个数，从而确定底数的大小范围．

【解答】解：首先将函数恰有6个零点，这个问题转化成的交点来解决．

数形结合：如图，，知道周期为2，当时，图象可以画出来，同理左右平移各2个单位，得到在上面的图象，

以下分两种情况：

（1）当时，如图所示，左侧有4个交点，右侧2个，

此时应满足，即，所以．

（2）当时，与交点，左侧有2个交点，右侧4个，

此时应满足，，即，所以．故综上所述，的取值范围是：或，

故选：．