高中数学高考第10章 §10 2　排列与组合

这是一份高中数学高考第10章 §10 2　排列与组合，共15页。试卷主要包含了理解排列、组合的概念，排列数与组合数等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号Aeq \\al(m,n)表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号Ceq \\al(m,n)表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
常用结论
解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
(6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理．
(8)“小集团”排列问题先整体后局部．
(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × )
(2)选择两人去参加同一项活动时无先后顺序．( √ )
(3)若组合数公式Ceq \\al(x,n)＝Ceq \\al(m,n)，则x＝m成立．( × )
(4)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．( × )
教材改编题
1．将《步步高》《创新设计》等六本不同的教辅资料按如图所示的方式竖放在一起，则《步步高》放在最前面或最后面的不同放法共有( )
A．120种 B．240种
C．200种 D．180种
答案 B
解析 《步步高》放在最前面或最后面的不同放法共有2Aeq \\al(5,5)＝240(种)．
2．有3名男生和2名女生排成一排，女生不能相邻的不同排法有( )
A．36种 B．72种
C．108种 D．144种
答案 B
解析 不同排法种数为Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)＝72(种)．
3．若Ceq \\al(2,n)＝Ceq \\al(2,n－1)＋Ceq \\al(3,n－1)(n∈N*)，则n＝ .
答案 5
解析 由Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(m－1,n－1)＋Ceq \\al(m,n－1)，
所以Ceq \\al(2,n)＝Ceq \\al(3,n)，
又因为Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)，
所以n－2＝3，即n＝5.
题型一 排列问题
例1 (1)(多选)17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为( )
A．Aeq \\al(7,7)Aeq \\al(10,10) B．Aeq \\al(7,17)Aeq \\al(10,10) C．Aeq \\al(7,17)＋Aeq \\al(10,10) D．Aeq \\al(17,17)
答案 BD
解析 17名同学中选7名全部排序站在前排有Aeq \\al(7,17)种方法，剩下10名同学全排在后排有Aeq \\al(10,10)种方法，根据乘法原理，共有Aeq \\al(7,17)Aeq \\al(10,10)种方法．将前后排视为一排，共有Aeq \\al(17,17)种方法．
(2)(2022·福州模拟)将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2,3,4,5,6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，且a1n时，则n－m≤－1，
所以n－m＋1≤0，
所以n，n－1，n－2，…，n－m＋1这m个数中，一定有某个数为0，
所以Ceq \\al(m,n)＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝0，
故B正确．
选项C，当m为正奇数时，
Ceq \\al(m,－1)＝eq \f(－1×－2…－1－m＋1,m！)
＝eq \f(－1×－2…－m,m！)＝－1，
故C正确．
选项D，当n为正整数时，
Ceq \\al(m,－n)＝eq \f(－n－n－1－n－2…－n－m＋1,m！)＝(－1)meq \f(nn＋1n＋2…n＋m－1,m！).
Ceq \\al(m,n＋m－1)＝eq \f(n＋m－1n＋m－2…n＋m－1－m＋1,m！)
＝eq \f(n＋m－1n＋m－2…n＋1n,m！).
所以Ceq \\al(m,－n)＝(－1)mCeq \\al(m,n＋m－1)，故选项D正确．
16．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题．并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有 种不同的答题顺序．
答案 60
解析 将6只灯笼全排，即Aeq \\al(6,6)，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，取谜题的方法有eq \f(A\\al(6,6),A\\al(3,3)·A\\al(2,2))＝60(种)．名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
作为一组
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)
＝eq \f(n！,m！n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．特别地Ceq \\al(0,n)＝1.
性质
(1)0！＝1；Aeq \\al(n,n)＝n！.
(2)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).
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