高中数学高考第15讲 利用几何性质解决解析几何问题（解析版）

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（2）若，设直线，延长交直线于点，线段的中点为，求证：点关于直线的对称点在直线上．
【解析】解：（1）椭圆的，，，
则；
（2）时，椭圆方程为，，，
设直线的方程为，令，可得，即，
由为的中点，可得，又，可得直线的斜率为，
由可得，
即有，由，可得，
即，，
直线的斜率为，
而直线的斜率为，设，可得，
即，则点关于直线的对称点在直线上．
2．已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．
【解析】解法一：由抛物线定义可得：，解得．
抛物线的方程为；
证明：点在抛物线上，
，解得，不妨取，，
直线的方程：，
联立，化为，解得或，．
又，．，
，
，轴平分，
因此点到直线，的距离相等，
以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．
解法二：同解法一．
证明：点在抛物线上，，解得，不妨取，，
直线的方程：，
联立，化为，解得或，．
又，可得直线，的方程分别为：，，
点到直线的距离，
同理可得点到直线的距离．
因此以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．
3．已知点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切．
（1）若在直线上，求的半径；
（2）是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由．
【解析】解：（1）因为过点，，
所以圆心在的垂直平分线上．
由已知在直线上，且，关于坐标原点对称，
所以在直线上，
故可设．
因为与直线相切，所以的半径为．
由已知得，又，故可得，
解得或．
故的半径或．
（2）存在定点，使得为定值．
理由如下：设，由已知得的半径为，．
由于，故可得，化简得的轨迹方程为．
因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以．
因为，所以存在满足条件的定点．
4．已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，不同的两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当与垂直时，求的长；
（Ⅲ）若过点且平行于的直线交直线于点，求证：直线恒过定点．
【解析】解：（Ⅰ）因为，所以
因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，
所以，又，所以，
所以椭圆方程为
（Ⅱ）设，，
因为与垂直，所以点在以为直径的圆上，
又以为直径的圆的圆心为，半径为，方程为
，，（舍
所以
（Ⅲ）直线恒过定点
设，，，，
由题意，设直线的方程为，
由得，
显然，△，则，，
因为直线与平行，所以，
则的直线方程为，
令，则，即，，
直线的方程为，
令，得
因为，故，
所以直线恒过定点．
5．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线和分别与直线交于点，，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）因为点与关于原点对称，所以点得坐标为．
设点的坐标为
化简得．
故动点轨迹方程为
（Ⅱ）解：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为，
则．
因为，
所以
所以
即，解得
因为，所以
故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为．
6．如图，已知椭圆左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为椭圆上在第一象限内一点．
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若，求直线的斜率．
【解析】解：（1）因为，所以，
所以，则，
所以椭圆的离心率为；
（2）设直线的方程为，，
则点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
因为，所以，
所以或，
则或（舍去），即，
因为，，所以，
所以直线的斜率为．
7．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦点为，．过作轴的垂线，在轴的上方，与圆交于点，与椭圆交于点．连结并延长交圆于点，连结交椭圆于点，连结．已知．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点的坐标．
【解析】解：（1）如图，，，
，，则，
，则，
，，则椭圆方程为，
取，得，则．
又，，解得．
椭圆的标准方程为；
（2）由（1）知，，，
，则，
联立，得．
解得或（舍．
．
即点的坐标为．
8．如图，已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，延长交抛物线于点，证明：为角的角平分线．
【解析】（1）解：由抛物线定义可得：，解得．
抛物线的方程为；
（2）证明：点在抛物线上，
，解得，不妨取，，，
直线的方程：，
联立，化为，解得或，，．
又，，，
，
，轴平分，即为角的角平分线．