高中数学高考第16讲含参单调性讨论、极值和最值（解析版）

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这是一份高中数学高考第16讲含参单调性讨论、极值和最值（解析版），共22页。试卷主要包含了设函数，其中，求的单调区间，已知函数，，已知函数，已知函数的定义域为等内容，欢迎下载使用。

1．设函数，其中，求的单调区间．
【解析】解：由已知得函数的定义域为，且，
（1）当时，，函数在上单调递减，
（2）当时，由，解得．、随的变化情况如下表
从上表可知
当时，，函数在上单调递减．
当时，，函数在上单调递增．
综上所述：
当时，函数在上单调递减．
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增．
2．已知函数，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若在处的切线斜率为1．
①设（其中为正常数），求函数的最小值；
②若，，证明：．
【解析】解：（Ⅰ）：，，
，
当时，恒成立，故在上单调递增，
当时，令，解得或，
当时，令，即时，函数单调递增，
令，即时，函数单调递减，
当时，令，即时，函数单调递增，
令，即时，函数单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在，上单调递减，
（Ⅱ）在处的切线斜率为1，
（1），
解得，
，
①，，
，
令，解得，
当，即，函数单调递增，
当，即，函数单调递减，
②不妨设，令，
，，
，
令，解得，
当，即，函数单调递增，
当，即，函数单调递减，
，
．
3．设函数，曲线在点，（2）处的切线方程为，
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求的单调区间．
【解析】解：（Ⅰ）在点，（2）处的切线方程为，
当时，，即（2），
同时（2），
，
，
则，
即，；
（Ⅱ），；
，
，
，
与同号，
令，
则，
由，得，此时为减函数，
由，得，此时为增函数，
则当时，取得极小值也是最小值（1），
则（1），
故，即的单调区间是，无递减区间．
4．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对于任意的，，都有成立，求正整数的最大值．
【解析】解：（1），
①时，恒成立，
在上单调递增，
②当时，，令，解得，
当时，，函数在，上单调递增，
当时，，函数在，上单调递减，
③当时，，令，解得，
当，函数上单调递增，
当，函数上单调递减，
（2）对任意的，，成立，
即成立，
即恒成立，
△，
即，
令，
令，
在上单调递增，
又，，
在上有唯一零点，
且，
当时，，为减函数，
当，时，，为增函数，
，
，
，
恒成立，
，且是正整数，
或，
的最大值为2．
5．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解析】解：（1）由，求导，
当时，，
当，单调递减，
当时，，
令，解得：，
当，解得：，
当，解得：，
时，单调递减，，单调递增；
当时，，恒成立，
当，单调递减，
综上可知：当时，在单调减函数，
当时，在是减函数，在，是增函数；
（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，
当时，，
当时，，，
当时，，
当，，且远远大于和，
当，，
函数有两个零点，的最小值小于0即可，
由在是减函数，在，是增函数，
，
，即，
设，则，，
求导，由（1），
，解得：，
的取值范围．
方法二：（1）由，求导，
当时，，
当，单调递减，
当时，，
令，解得：，
当，解得：，
当，解得：，
时，单调递减，单调递增；
当时，，恒成立，
当，单调递减，
综上可知：当时，在单调减函数，
当时，在是减函数，在是增函数；
（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，
②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，，
当，时，，故只有一个零点，
当时，由，即，
故没有零点，
当时，，，
由，
故在有一个零点，
假设存在正整数，满足，则，
由，
因此在有一个零点．
的取值范围．
6．已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的，都有，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）．
令，得，
当时，随的变化情况如下：
所以，的单调递增区间是，和，单调递减区间是；
当时，随的变化情况如下：
所以，的单调递减区间是，和，单调递增区间是；
（Ⅱ）当时，有，不合题意，
当时，由知在上的最大值是，
任意的，，，
解得，
故对于任意的，都有，的取值范围是，
高考预测二：含参极值问题
7．已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）当时，判断函数在区间，上零点的个数．
【解析】解：（1），
，
所以的极小值为，
极大值为．
（2）由（1）得，
①当时，在，上单调递增，在，上递减．
又因为，，，
所以在，上有两个零点；
②当时，，在，上有两个零点；
③当时，，在，上单调递增，在，上递减，
又因为，，，
所以在，上有两个零点；
④当时，，所以在上单调递增，在上递减，在上递增．
又因为，，，
所以在，上有且仅有一个零点，在，上没有零点，
所以在，上有且仅有一个零点；
⑤当时，恒成立，在，单调递增，
，（2），
所以在，上有且仅有一个零点，
综上可知，当时，在，上有且仅有一个零点；
当时，在，上有两个零点．
8．已知函数的导函数的两个零点为和0．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若的极小值为，求的极大值．
【解析】解：（Ⅰ）．
令，
，
的零点就是的零点，且与符号相同．
又，
当，或时，，即，
当时，，即，
的单调增区间是，，单调减区间是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，是的极小值点，
所以有
解得，，．
所以函数的解析式为．
又由（Ⅰ）知，的单调增区间是，，单调减区间是．
所以，函数的极大值为．
高考预测三：含参最值问题
9．已知函数的定义域为
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在，上的最小值．
【解析】解：（1）函数
，
令，所以函数在区间上单调递减；
令，所以函数在区间上单调递增．
（2）①当时，由于，故，故，
函数在区间上单调递减
函数在区间上单调递增
函数的最小值为（2）．
②当时，函数在区间，上单调递增，
所以函数的最小值为．
综上，
10．已知函数
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在区间，上的最大值为28，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）函数，
，
（1），（1），，
在处的切线方程：；
（Ⅱ），，，
，或，
，，
，（1），（2），
在区间，上的最大值为28，
11．已知函数．
（Ⅰ）若，求证：在上是增函数；
（Ⅱ）求在，上的最小值．
【解析】证明：（Ⅰ）当时，，
当时，，
所以在上是增函数．（5分）
（Ⅱ）解：，
当，，，．
若，则当，时，，
所以在，上是增函数，
又（1），故函数在，上的最小值为1．
若，则当，时，，
所以在，上是减函数，
又（e），所以在，上的最小值为．
若，则当时，，此时是减函数；
当时，，此时是增函数．
又，
所以在，上的最小值为．
综上可知，当时，在，上的最小值为1；
当时，在，上的最小值为；
当时，在，上的最小值为．（13分）
12．已知函数，．
（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；
（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间，上的最大值．
【解析】解：（1）由公共切点可得：，
则，，，
则，，①
又（1），（1），，即，代入①式可得：．
（2），设
则，
令，解得：，；
，，
原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增
①若，即时，最大值为；
②若，即时，最大值为
③若时，即时，最大值为．
综上所述：当，时，最大值为；当时，最大值为．
13．设函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在，上的最大值．
【解析】解：（1）当时，，
令，解得，
所以，随的变化情况如下表：
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为
（2），，，．
，，解得，
令，，
所以在上是减函数，（1），．
即
所以，随的变化情况如下表：
所以，，，
令则，
所以在上递减，
而，
所以存在使得，且当时，，
当，时，，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
因为，
所以在上恒成立，当且仅当时取得等号．
综上，函数在，上的最大值．
14．设函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当，时，求用表示函数在的最小值．
【解析】解：（1）当时，，
．
令得， 2．
列表如下：
由表可知，函数的递减区间为，，递增区间为， 2，．
（2），
，，
由（1）可知在，上单调递减，
在，上单调递增．
．
高考预测四：已知最值求参
15．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）记．当时，函数与轴有两个不同的交点，求的取值范围；
（3）若函数在区间，上的最小值为，求的值．
【解析】解：（1）当时，，的定义域为，．（1分）
当时，；当时，．
所以的减区间为，增区间为．（4分）
（2）当时，，则．
由解得：；由解得：．
所以函数在区间为减函数，在区间为增函数．
当时，取最小值，且（1）．（6分）
当时，函数与轴有两个不同的交点
，即．
实数的取值范围为．（8分）
（3）由题意，．
①若，则，在上单调递减；
，即，适合题意．（10分）
②若，即，则，在上单调递增；
，即，适合题意．（12分）
③若，即，则在上单调递减，在上单调递增；
，即（舍．（14分）
④若，即，在上单调递减；
，即，不合题意．
综上所述，或．（16分）
16．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由．
【解析】解：（1）．
令，解得，或．
①时，，函数在上单调递增．
②时，函数在，，上单调递增，在上单调递减．
③时，函数在，上单调递增，在，上单调递减．
（2）由（1）可得：
①时，函数在，上单调递增．则，（1），解得，，满足条件．
②时，函数在，上单调递减．
，即时，函数在，上单调递减．则，（1），解得，，满足条件．
③，即时，函数在，上单调递减，在，上单调递增．则最小值，
化为：．而，（1），最大值为或．
若：，，解得，矛盾，舍去．
若：，，解得，或0，矛盾，舍去．
综上可得：存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1．
，的所有值为：，或．
17．已知函数，，．
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，，使得函数在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由．参考数据：．
【解析】解：（1），
令，，，
，
在，上单调递增，
，（1），
①若时，恒成立，即在区间，上单调递增，
②若时，则（1），则，则在区间，上单调递减，
③若，则，（1），
又在，上单调递增，
结合零点存在性定理知，存在唯一的实数，使得，
当，时，，则，则在，上单调递减，
当，时，，则，则在，上单调递增，
综上所述：若时，在区间，上单调递增，
若时，在区间，上单调递减，
若时，存在唯一的实数，，在，上单调递减，在，上单调递增．
（2）由（1）可得：
①若，则，则，而（1），解得满足题意，
②若时，则，则时，而（1），解得满足题意，
③若时，令，，，
则，
在，上单调递减，，
令，，，
由（1）可知（1），
令，，，
由（1）可知（1），
，
，，
，
综上：当且，或当且时，使得在区间，的最小值为且最大值为1．
高考预测五：用函数在区间上的最值点若不是区间端点就是极值点解题
18．已知函数，其中．
（1）若，求的值；
（2）讨论函数的零点个数．
【解析】解：（1），
当时，，当时，，
在上递增，在上递减，
，
，（1），
，；
（2）由（1）可知：，时取等号，
，时取等号，
①时，有一个零点；
②时，，，（1），，此时有两个零点；
③时，，，（1），，
令，
，
在上递增，（1），
，此时有两个零点；
综上：时，有一个零点；当且时，有两个零点．
19．已知函数．
（1）若，求的值；
（2）已知某班共有人，记这人生日至少有两人相同的概率为，，将一年看作365天．
求的表达式；
估计的近似值（精确到．
参考数值：，，．
【解析】（本小题满分12分）
解：（1）由题得，当时，的定义域为；
当时，的定义域为，
又，且，
所以是的极小值点，故．
而，于是，解得．
下面证明当时，．
当时，，，，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，即符合题意．
综上，．
（2）由于人生日都不相同的概率为，
故人生日至少有两人相同的概率为．
由（1）可得当时，，即，当且仅当时取等号，
由得．
记，
则，即，
由参考数值得，于是，
故．
20．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求的值．
【解析】解：（1）由，得，
①当时，，故在上为增函数，
②当时，令，得．
当时，，故为减函数，当时，，为增函数．
综上可知，当时，，上为增函数，
当时，在上为减函数，在上为增函数；
（2）当时，在上为增函数，又（1），
则当时，，不合题意；
当时，函数在处求得最小值，最小值为，则．
令（a），则（a）．
故（a）在上单调递增，在上单调递减．
且（1），则．
综上可知，．
21．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对任意的，恒成立，求的值．
【解析】解：（1）当时，，，
则函数的导数为，
由，解得；解得；
所以在上单调递减，在，上单调递增．
（2）若，（2），与已知矛盾，
设，
若，则，显然不满足在上恒成立，
当时，由知要满足在上恒成立，
只需，
要使上式成立只需成立，两边取自然对数得，
整理得，，即此式成立．
令，则，
显然当肘．，当时，．
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当时取等号．
要使成立，必须，
所以，
综上所述：．
0
极小值
0
0
递增
递减
0
递增
0
0
递减
0
递增
递减
1
0
0
递减
极小值
递增
极大值
递减
1
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
0
0
0
极大值
极小值
，
，
0
极小值
0
，
2
2，
0
0
极大值
极小值