高中数学高考第31讲 平面向量的综合应用（达标检测）（教师版）

第31讲 平面向量的综合应用（达标检测）

[A组]—应知应会

1．（2020春•肥城市期中）已知作用在坐标原点的三个力，，，则作用在原点的合力的坐标为　　

A． B． C． D．

【分析】根据平面向量的坐标运算公式，计算即可．

【解答】解：，，，

则，，．

故选：．

2．（2020春•松山区校级月考）如图在平行四边形中，已知，，，，则　　

A．6 B． C．3 D．

【分析】将结合，将中的向量用来表示，即可解出的值．

【解答】解：因为平行四边形中，，，．

所以，，

故由得，

即，

解得．

故选：．

3．（2020春•泸州期末）如图，边长为1的等边中，为边上的高，为线段上的动点，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】可设，且，它们的夹角为，然后设，，，然后结合向量的加减法运算，将表示为关于的函数的形式，问题即可解决．

【解答】解：由已知设，则，且，

由等边三角形的性质可知：，故可设，

所以，

所以

，，．

易知时，原式取最小值；或1时，原式取最大值0．

故则的取值范围是．

故选：．

4．（2020•石家庄模拟）设圆的半径为1，，，是圆上不重合的点，则的最小值是　　

A． B． C． D．

【分析】用表示出，作，垂足为，设，，用，表示出即可得出最值．

【解答】解：，

由题意可知，，均为单位向量，故，

连接，作，垂足为，设，，则，

，，，

，

，

当，时，取得最小值．

故选：．

5．（2020•河南模拟）在中，，，，且，，则　　

A．3 B．5 C． D．

【分析】根据已知，可得出，在三角形上的位置，则，通过化简代入数值，即可得结论．

【解答】解：由题，中，，，，

，，

，是线段的中点．

可得如图：

．

故选：．

6．（2019秋•岳麓区校级期末）在内使的值最小的点是的　　

A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心

【分析】令，，设，根据．结合二次函数的性质即可求解

【解答】解：令，，设，则，，

于是．

所以当时，最小，

此时，

则点为的重心．

故选：．

7．（2020春•焦作期末）在中，点，在线段上，，当点在线段上运动时，总有，则一定有　　

A． B． C． D．

【分析】由题意画出图形，设，由，得，代入，再令，结合已知转化为关于的不等式，再由判别式恒小于等于0求得的值，然后利用数量积的几何意义可得，则答案可求．

【解答】解：如图，

设，由，得，

又，

，

即有，

，

令，

则，

即恒成立．

可得．

化为，则．

，即在上的投影为的中点．

．

故选：．

8．（2020春•丰台区期末）点，，在所在平面内，满足，，且，则，，依次是的　　

A．重心，外心，内心 B．重心，外心，垂心 

C．外心，重心，内心 D．外心，重心，垂心

【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案．

【解答】解：，，

设的中点，则，

，，三点共线，即为的中线上的点，且．

为的重心．

，

，

为的外心；

，

，

即，，

同理可得：，，

为的垂心；

故选：．

9．（2020•浙江模拟）已知是半圆的直径，，等腰三角形的顶点、在半圆弧上运动，且，，点是半圆弧上的动点，则的取值范围　　

A． B． C． D．

【分析】由圆的参数方程设出，，点的坐标，进而找出与角的关系，通过三角化简转化成三角函数，结合角的范围可求最值．

【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

由题意可得，，设，则，，

设，其中，，，，

所以，，，

所以

，

因为，，，，所以，，，，

所以．

故选：．

10．（2020春•东城区期末）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为．给出以下结论：

①越大越费力，越小越省力；

②的范围为，；

③当时，；

④当时，．

其中正确结论的序号是　    　．

【分析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可．

【解答】解：对于①，由为定值，

所以，

解得；

由题意知时，单调递减，所以单调递增，

即越大越费力，越小越省力；①正确．

对于②，由题意知，的取值范围是，所以②错误．

对于③，当时，，所以，③错误．

对于④，当时，，所以，④正确．

综上知，正确结论的序号是①④．

故答案为：①④．

11．（2019春•贺州期末）设为内一点，且满足关系式，则　　          ．

【分析】化简可得，设，分别为、的中点，则，再根据等底的三角形面积之比等于高之比即可求解．

【解答】解：由题可得，，则，即，

设，分别为、的中点，则，设，

为的中位线，

，

是的中点，

，

又，

，

是的中点，

，

又，

，

故．

故答案为：．

12．（2019秋•亭湖区校级月考）在平面直角坐标系中，已知点，、为圆上的两动点，且，若圆上存在点，使得，则的取值范围为　　     ．

【分析】作图，可得，由弦长、弦心距及半径之间的关系可得点的轨迹方程，进而得到的几何意义，由此即可得解．

【解答】解：取的中点，连接，则，

又圆上存在点，使得，所以，

因此，故，

因为、为圆上的两动点，且，

所以，

设，则，即点的轨迹方程为，

表示圆上的点与定点之间的距离，

因此，即，即．

故答案为：．

13．（2019秋•马鞍山期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．

（1）求点，点的坐标；

（2）求四边形的面积．

【分析】（1）设，，根据题中条件，得到，，再由向量的坐标表示，根据，即可求出点的坐标；

（2）先用向量的方法，证明四边形为等腰梯形；连接，延长交轴于点，

得到，均为等边三角形，进而可求出四边形面积．

【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，，，，

又，设，，

则，，

点；

又，，

即点；

（2）由（1）可得，，，

，即，又，

四边形为等腰梯形．

连接，延长交轴于点，则，均为等边三角形，

．

14．（2019春•来宾期末）在中，是线段上靠近的一个三等分点，是线段上靠近的一个四等分点，，设，．

（1）用，表示；

（2）设是线段上一点，且使，求的值．

【分析】（1）利用已知条件，通过向量的三角形法则与平行四边形法则，转化求解即可．

（2）通过向量关系，结合向量共线，转化求解向量的模的关系，推出结果．

【解答】解：（1）因为是线段上靠近的一个三等分点，所以．

因为是线段上靠近的一个四等分点，所以，

所以．

因为，所以，

则．

又，，

所以．

（2）因为是线段上一点，所以存在实数，

使得，

则，

因为，所以存在实数，

使，即，

整理得解得，

故．

15．（2020春•金凤区校级期末）如图，在正方形中，点是边上中点，点在边上．

（1）若点是上靠近的三等分点，设，求的值．

（2）若，当时，求的长．

【分析】（1）用表示出，得出，的值即可得出的值；

（2）设，用表示出，根据计算，从而可得的长．

【解答】解：（1）点是边上中点，点是上靠近的三等分点，

，，

，

，，

故．

（2）设，则，又，，

，

故，

．

[B组]—强基必备

1．（2019秋•常州期中）已知点，，倾斜角为的直线与单位圆在第一象限的部分交于点，与轴交于点，与轴交于点．

（1）设，，试用表示与；

（2）设，试用表示；

（3）求的最小值．

【分析】（1）由题意知点的坐标为，利用坐标表示，，得出、的表达式；

（2）由，利用、、三点共线得出，、、三点共线得出；

联立方程组求得的解析式；

（3）由的解析式，利用三角函数的性质求出的最小值．

【解答】解：（1）由题意知点为倾斜角为的直线与单位圆在第一象限的交点，

所以，；

又因为与轴交于点，与轴交于点，

由，，且，，

所以，；

（2）由，由、、三点共线，

所以，

即，①

同理，由、、三点共线，

所以，②

由①②得，

，

从而得；

（3）由，

当时，取得最小值为．