高中数学高考第47讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（讲）（教师版）

这是一份高中数学高考第47讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（讲）（教师版），共18页。试卷主要包含了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)
2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
[常用结论]
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆系方程
(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．
题型归纳
题型1 直线与圆的位置关系的判断
【例1-1】（2020•广州一模）直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系，即可得到结论．
【解答】解：圆方程可整理为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则圆心（﹣1，2），半径r＝2，直线恒过点（0，1），
因为（0，1）在圆内，故直线与圆相交，
故选：A．
【例1-2】（2020•广安模拟）若无论实数a取何值时，直线ax+y+a+1＝0与圆x2+y2﹣2x﹣2y+b＝0都相交，则实数b的取值范围．（ ）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣6）D．（﹣6，+∞）
【分析】求出直线的定点，令该定点在圆内部即可得出b的范围．
【解答】解：∵x2+y2﹣2x﹣2y+b＝0表示圆，
∴＞0，即b＜2．
∵直线ax+y+a+1＝0过定点（﹣1，﹣1）．
∴点（﹣1，﹣1）在圆x2+y2﹣2x﹣2y+b＝0内部，
∴6+b＜0，
解得b＜﹣6．
∴b的范围是（﹣∞，﹣6）．
故选：C．
【例1-3】（2020•湖北模拟）已知圆O：x2+y2＝1上恰有两个点到直线l：y＝kx+1的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A．[0，）∪（，）B．[0，）∪（，π）
C．（，）∪（，）D．（，）∪（，π）
【分析】求出圆心到直线l的距离d，把问题转化为＜d＜求解k的范围，即可求得直线倾斜角的范围．
【解答】解：直线l：y＝kx+1过定点P（0，1），
如图，
原点O到直线l的距离d＝．
要使圆O：x2+y2＝1上恰有两个点到直线l：y＝kx+1的距离为，
＜＜，解得＜k＜．
∴直线l的倾斜角的取值范围为[0，）∪（，π）．
故选：B．
【跟踪训练1-1】（2019秋•内江期末）方程（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0（a∈R）所表示的直线与圆（x+1）2+y2＝25的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
【分析】求出直线所过定点，再由定点在圆内得答案．
【解答】解：由（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0，得a（x+2）﹣x﹣y+1＝0，
联立，解得．
∴直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0过定点（﹣2，3），
∵（﹣2+1）2+32＝10＜25，
∴点（﹣2，3）在圆（x+1）2+y2＝25的内部，
则直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0与圆（x+1）2+y2＝25的位置关系是相交．
故选：C．
【跟踪训练1-2】（2020春•鼓楼区校级期末）若直线l：y+1＝k（x+）与圆C：x2+y2＝1有公共点，则实数k的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【分析】由题意画出图形，利用圆心到直线的距离等于半径列式求k，则答案可求．
【解答】解：直线l：y+1＝k（x+）过定点A（，﹣1），
圆C：x2+y2＝1，
如图：
化直线l的方程为kx﹣y+．
原点O到直线的距离d＝，解得k＝0或k＝．
由图可知，要使直线l：y+1＝k（x+）与圆C：x2+y2＝1有公共点，
则实数k的最大值为．
故选：D．
【跟踪训练1-3】（2020•武昌区模拟）若直线y＝kx+1与圆（x﹣2）2+y2＝4相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则k的取值范围是（ ）
A．（0，）B．（﹣，）C．（0，）D．（﹣，）
【分析】由题意画出图形，求出直线过P与A两点时的斜率，再求出直线与圆相切时的斜率，数形结合得答案．
【解答】解：直线y＝kx+1过定点P（0，1），作出直线与圆如图：
当直线过P（0，1）与A（4，0）时，k＝﹣；
由圆心（2，0）到直线kx﹣y+1＝0的距离等于2，得，解得k＝．
∴若直线y＝kx+1与圆（x﹣2）2+y2＝4相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，
则k的取值范围是（﹣，）．
故选：D．
【名师指导】
判断直线与圆的位置关系的一般方法
题型2 圆的弦长问题
【例2-1】（2020春•河池期末）直线y＝x+1被圆x2+y2＝4截得的弦长为（ ）
A．B．2C．D．
【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2，
则圆心到直线y＝x+1即x﹣y+1＝0的距离d＝＝，
则直线y＝x+1被圆x2+y2＝4截得的弦长为2×＝，
故选：D．
【例2-2】（2020春•龙岗区期末）设直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为（ ）
A．4πB．6πC．8πD．π
【分析】求出圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0的圆心坐标，半径，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0的圆心坐标为（0，a），半径为：，
∵直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B两点，且|AB|＝2，
∴圆心（0，a）到直线y＝x+2a的距离d＝，
即+3＝a2+2，
解得：a2＝2，
故圆的半径r＝2．
故圆的面积S＝4π，
故选：A．
【跟踪训练1-1】（2020春•云南期末）已知圆x2+y2﹣2x+2y+a＝0截直线x+y﹣2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）
A．﹣8B．﹣6C．﹣5D．﹣4
【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析其圆心与半径，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系可得r2＝d2+（）2，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣2x+2y+a＝0，即（x﹣1）2+（y+1）2＝2﹣a，其圆心为（1，﹣1），半径r＝，
圆心到直线x+y﹣2＝0的距离d＝＝，
又由圆截直线x+y﹣2＝0所得弦的长度为4，则有r2＝d2+（）2＝2+2＝2﹣a，解可得a＝﹣4；
故选：D．
【跟踪训练1-2】（2020春•广州期末）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，由直线方程可得直线过定点P（3，1），求得|PC|，再由垂径定理求得直线l被圆C截得的弦长的最小值．
【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25的圆心坐标为C（1，2），半径为5．
由直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，得m（2x+y﹣7）+x+y﹣4＝0，
联立，解得．
∴直线l过定点P（3，1），
点P（3，1）在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小．
此时|PC|＝．
∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2．
故选：B．
【名师指导】
有关弦长问题的2种求法
题型3 圆的切线问题
【例3-1】（2019秋•长安区校级月考）已知点P（1，﹣2），点M（3，1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．
①求过点P的圆C的切线方程；
②求过点M的圆C的切线方程．
【分析】①先判断点P在圆C外，再设过点P的切线斜率为k，写出切线方程，利用圆心到切线的距离d＝r求出k的值，即可写出切线方程；
②判断点M在圆C外，讨论过点M的直线斜率不存在和斜率存在时，利用圆心到切线的距离d＝r求出对应切线的方程．
【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，∴圆心C（1，2），半径r＝2；
①∵|PC|═＝4，∴点P在圆C外；
设过点P的切线斜率为k，则切线方程为y+2＝k（x﹣1），
化为一般式是kx﹣y﹣k﹣2＝0；
则圆心C到切线的距离为d＝r，
即＝2，
解得k＝±，
∴过点P的圆C的切线方程是y+2＝±（x﹣1），
即x﹣y﹣﹣2＝0或x+y﹣+2＝0；
②∵|MC|═＝＞2，
∴点M在圆C外；
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x﹣3＝0；
又点C（1，2）到直线x﹣3＝0的距离d＝3﹣1＝2＝r，满足题意，
∴直线x﹣3＝0是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣1＝k（x﹣3），
即kx﹣y+1﹣3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝r
＝2，
解得k＝．
∴切线方程为y﹣1＝（x﹣3），
化为一般形式是3x﹣4y﹣5＝0；
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x﹣3＝0或3x﹣4y﹣5＝0．
【跟踪训练3-1】（2020春•新华区校级期末）过点P（2，﹣1）的直线与圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝5相切，则切线长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，求出P到圆心C的距离|PC|，由切线长公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝5，其圆心为（﹣1，1），半径r＝，
点P（2，﹣1）的直线与圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝5相切，
又由|PC|＝，
所以切线长为；
故选：C．
【跟踪训练3-2】（2020•红岗区校级模拟）过原点O作圆C：x2+y2+4x+4y+5＝0的两条切线，设切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．2x+2y﹣5＝0B．4x+4y﹣5＝0C．2x+2y+5＝0D．4x+4y+5＝0
【分析】根据题意，分析圆C的圆心与半径，由切线长公式可得|PA|＝|PB|＝＝，进而可得点A、B在圆x2+y2＝5上，结合圆与圆为位置关系分析可得直线AB的方程为圆C：x2+y2+4x+4y+5＝0与圆x2+y2＝5的公共弦所在的直线，联立两圆的方程分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2+4x+4y+5＝0即（x+2）2+（y+2）2＝3，其圆心为（﹣2，﹣2），半径r＝，
过原点O作圆C：x2+y2+4x+4y+5＝0的两条切线，设切点分别为A，B，则|PA|＝|PB|＝＝，
则点A、B在圆x2+y2＝5上，
则直线AB的方程为圆C：x2+y2+4x+4y+5＝0与圆x2+y2＝5的公共弦所在的直线，
又由，则有2x+2y+5＝0，
即直线AB的方程为2x+2y+5＝0，
故选：C．
【跟踪训练3-3】（2019秋•四川期中）已知圆C经过M（3，0），N（2，1）两点，且圆心在直线l：2x+y﹣4＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）从y轴上一个动点P向圆C作切线，求切线长的最小值及对应切线方程．
【分析】（1）解法一：设出圆的一般方程，由题意列出方程组求出解即可写出圆的方程．
解法二：由题意求出圆心和半径，即可写出圆的方程．
（2）解法一：设切线长为d，要使得切线长最短，必须且只需|PC|最小即可，由此求得|PC|的最小值，计算出切线长的最小值，讨论切线的斜率存在与否，从而求得切线方程和对应切线长．
解法二：同解法一得切线长最小值时对应点为原点，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径求出斜率，写出切线方程，计算对应切线长．
【解答】解：（1）解法一：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
由题意得：9+3D+F＝0，……①
5+2D+E+F＝0，……②
又圆心在直线2x+y﹣4＝0上，
所以；……③
由①②③解得：D＝﹣4，E＝0，F＝3；
所以圆的方程为：x2+y2﹣4x+3＝0（或写成：（x﹣2）2+y2＝1）．
解法二：由题意，圆心在MN的中垂线y＝x﹣2上，
又在已知直线l：2x+y﹣4＝0上，
解得圆心坐标为C（2，0），
于是半径r＝|MC|＝1，
故所求圆的方程为：（x﹣2）2+y2＝1．
（2）解法一：对于动点P，设切线长为d，则|PC|2＝d2+r2＝d2+1；
所以，要使得切线长最短，必须且只需|PC|最小即可，
且最小值为圆心（2，0）到y轴的距离，等于2，
所以切线长的最小值为；
当切线长取最小值时，对应P点为原点，
过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C相切；
当斜率存在时，设直线方程为y＝kx；
代入C：x2+y2﹣4x+3＝0，得x2+（kx）2﹣4x+3＝0，
即（1+k2）x2﹣4x+3＝0；
令△＝（﹣4）2﹣4×3（1+k2）＝0，
解得；
所以切线方程为，
对应切线长为．
解法二：同解法一得切线长最小值为且对应P点为原点，
过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C相切；
当斜率存在时，设直线方程为y＝kx，
因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，
即，解得；
所以切线方程为，
对应切线长为．
【名师指导】
1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的2种方法
题型4 圆与圆的位置关系
【例4-1】（2020•道里区校级模拟）若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则实数m＝（ ）
A．﹣24B．﹣16C．24D．16
【分析】根据题意，分析两圆的圆心与半径，由两圆外切可得|C1C2|＝＝5＝2+，解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝4，圆心为（0，0），半径为R＝2，
圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0，即（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25﹣m，圆心为（3，4），半径r＝
若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则有|C1C2|＝＝5＝2+，
解可得m＝16，
故选：D．
【例4-2】（2020•东湖区校级三模）已知圆的圆心到直线x﹣y﹣2＝0的距离为，则圆C1与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
【分析】求得圆C1的圆心和半径，由直线和圆的距离公式，可得a，求得圆C2的圆心和半径，计算|C1C2|，与两圆的半径之差比较可得结论．
【解答】解：圆的圆心为C1（0，a2），半径r1＝a2，a≠0，
由圆的圆心到直线x﹣y﹣2＝0的距离为，
可得＝2，解得a＝±，
可得圆C1的圆心为（0，2），半径为2，
而圆的圆心为（1，2），半径为r2＝1，
由|C1C2|＝1＝r1﹣r2＝2﹣1，
可得两圆的位置关系为内切．
故选：B．
【跟踪训练4-1】（2020春•保山期末）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0和圆C2：（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25，则圆C1与圆C2的位置关系为（ ）
A．外切B．内切C．相交D．相离
【分析】根据题意，分析两圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，即（x+1）2+（y+4）2＝25，其圆心C1（﹣1，﹣4），半径R＝5，
圆C2：（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25，其圆心C2（5，4），半径r＝5，
两圆的圆心距|C1C2|＝＝10＝R+r，两圆外切；
故选：A．
【跟踪训练4-2】（2020春•湖北期末）已知圆C1：x2+y2+2ax﹣9+a2＝0和圆C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝0外切（其中a，b∈R），则a+b的最大值为（ ）
A．4B．4C．8D．4
【分析】利用两圆外切，圆心距等于半径之和，再利用基本不等式，即可求得a+b的最大值．
【解答】解：圆C1：x2+y2+2ax+a2﹣9＝0的标准方程为（x+a）2+y2＝9；圆C2：x2+y2﹣2bx﹣1+b2＝0的标准方程为x2+（y﹣b）2＝1，
∵两圆外切，∴＝4；
∵a2+b2≥2ab，
∴2（a2+b2）≥（a+b）2，
∴a+b≤4；
∴a+b的最大值为4；
故选：B．
【名师指导】
圆与圆位置关系问题的解题策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δeq \a\vs4\al(＜)0
Δeq \a\vs4\al(＝)0
Δeq \a\vs4\al(＞)0
几何观点
deq \a\vs4\al(＞)r
deq \a\vs4\al(＝)r
deq \a\vs4\al(＜)r
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
几何法
圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小
代数法
将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系
几何法
直线被圆截得的半弦长eq \f(l,2)，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2＋d2
代数法
联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))eq \r(y1＋y22－4y1y2)
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出