高中数学高考第61讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布（讲）（教师版）

这是一份高中数学高考第61讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布（讲）（教师版），共16页。试卷主要包含了均值，方差，两个特殊分布的期望与方差，正态分布等内容，欢迎下载使用。
思维导图
知识梳理
1．均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
2．方差
设离散型随机变量X的分布列为：
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝eq \i\su(i＝1,n, )(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根eq \r(DX)为随机变量X的标准差．
3．两个特殊分布的期望与方差
4．正态分布
(1)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
题型归纳
题型1 离散型随机变量的均值与方差
【例1-1】为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,6)；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(2,3)；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ)．
【解】 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，
两人都付0元的概率为P1＝eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,24)，
两人都付40元的概率为P2＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，
两人都付80元的概率为
P3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,6)－\f(2,3)))＝eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,24)，
故两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝eq \f(1,24)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,24)＝eq \f(5,12).
(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160，则：
P(ξ＝0)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,24)，
P(ξ＝40)＝eq \f(1,4)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,4)，
P(ξ＝80)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,6)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,12)，
P(ξ＝120)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,6)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,4)，
P(ξ＝160)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,24).
ξ的分布列为
E(ξ)＝0×eq \f(1,24)＋40×eq \f(1,4)＋80×eq \f(5,12)＋120×eq \f(1,4)＋160×eq \f(1,24)＝80.
D(ξ)＝(0－80)2×eq \f(1,24)＋(40－80)2×eq \f(1,4)＋(80－80)2×eq \f(5,12)＋(120－80)2×eq \f(1,4)＋(160－80)2×eq \f(1,24)＝eq \f(4 000,3).
【跟踪训练1-1】(2019·浙江高考)设0