高中数学高考第九章 9 6双曲线-教师版

这是一份高中数学高考第九章 9 6双曲线-教师版，共22页。试卷主要包含了双曲线定义，双曲线的标准方程和几何性质，已知直线l与双曲线C，已知M是双曲线C，已知点A，B分别是双曲线C等内容，欢迎下载使用。


双曲线



知识梳理




1．双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1 (a>0，b>0)
图形


性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

【知识拓展】
巧设双曲线方程
(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn<0)．

例题解析




题型一 基础
【例1】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　)
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　√　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　)

【例2】1、若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B．5
C. D．2
答案　A
解析　由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)
A. B．2 C．4 D．8
答案　C
解析　设C：－＝1.
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4，得A(－4，)，B(－4，－)，
∴|AB|＝2＝4，
∴a＝2，∴2a＝4.
∴C的实轴长为4.

3．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
答案　C
解析　由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合，故选C.

4．设双曲线x2－＝1的左，右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
答案　(2，8)
解析　由已知a＝1，b＝，c＝2，则e＝＝2，
设P(x，y)是双曲线上任一点，
由对称性不妨设P在右支上，
则1 又∠F1PF2为锐角，则|PF1|2＋|PF2|2>|F1F2|2，
即(2x＋1)2＋(2x－1)2>42，解得x>，
所以



题型二　双曲线的定义及标准方程
命题点1　利用定义求轨迹方程
【例3】　已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
答案　x2－＝1(x≤－1)
解析　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝
|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
命题点2　利用待定系数法求双曲线方程
【例4】根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．
解　(1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知，2b＝12，e＝＝.∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.

命题点3　利用定义解决焦点三角形问题
【例5】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________.
答案　
解析　∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|
＝|PF2|＝2a＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cos∠F1PF2＝
＝＝.

【变式练习】
1、本例中若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
解　不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝，所以|PF1|·|PF2|＝8，
所以＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝2.
2．本例中若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
解　不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
由于·＝0，所以⊥，
所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
所以|PF1|·|PF2|＝4，
所以＝|PF1|·|PF2|＝2.
思维升华　(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．
【同步练习】(1)已知F1，F2为双曲线－＝1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　　)
A.＋4 B.－4
C.－2 D.＋2
(2)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D．3
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)由题意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，
要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，
当A，P，F1三点共线时，取得最小值，
则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝，
∴|AP|＋|AF2|的最小值为|AP|＋|AF1|－2a＝－2.
故选C.
(2)不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝.
又r1·r2＝ab，所以·＝ab，
解得＝(负值舍去)，
故e＝＝＝＝，
故选B.

题型三　双曲线的几何性质
【例6】(1)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
(2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
答案　(1)A　(2)
解析　(1)由题意可得m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，
又∵m＞0，n＞0，故m＞n.
又∵e·e＝·＝·＝＝1＋＞1，∴e1·e2＞1.
(2)由题意，不妨设直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x.
由得x2＝2p ·x，
∴x＝，y＝，∴A.
设抛物线C2的焦点为F，则F，
∴kAF＝.
∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
∴·＝－1，∴＝.
设C1的离心率为e，则e2＝＝＝1＋＝.
∴e＝.
思维升华　双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
【同步练习】1、已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)
A. B. C. D．2
答案　A
解析　离心率e＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.故选A.







题型四　直线与双曲线的综合问题
【例7】已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
解　(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，
再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得

∴k2≠且k2<1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2
＝.
又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2，
∴>2，即>0，
解得 由①②得 思维升华　(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
【同步练习】1、设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D．3
答案　B
解析　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，
∴直线l的方程为x＝c或x＝－c.
将其代入－＝1，
求得y2＝b2(－1)＝，∴y＝±，
∴|AB|＝.依题意，得＝4a，
∴＝2，即e2－1＝2，∴e＝.











2、已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？
解　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，
若直线l的斜率不存在，显然不符合题意．
设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，
即y＝kx＋1－k.
由
得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①
∴x0＝＝.
由题意，得＝1，解得k＝2.
当k＝2时，方程①可化为2x2－4x＋3＝0.
Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．
∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．
纠错心得　(1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件．
(2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.



















课后练习



1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　A
解析　依题意解得∴双曲线C的方程为－＝1.
2．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
答案　A
解析　∵方程－＝1表示双曲线，
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2 ∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1 3．已知双曲线－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A，B两点，若|AB|＝5，则△ABF1的周长为(　　)
A．16 B．20 C．21 D．26
答案　D
解析　由双曲线－＝1，知a＝4.
由双曲线定义|AF1|－|AF2|＝|BF1|－|BF2|＝2a＝8，
∴|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋16＝21，
∴△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝21＋5＝26.故选D.
4．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得(＋)·＝0(其中O为坐标原点)，且||＝||，则双曲线的离心率为(　　)
A.－1 B.
C. D.＋1
答案　D
解析　∵＝－，
∴(＋)·＝(＋)·(－)＝0，
即2－2＝0，∴||＝||＝c，
在△MF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得⊥.
∵||＝||，
∴可设||＝λ(λ>0)，||＝λ，
得(λ)2＋λ2＝4c2，解得λ＝c，
∴||＝c，||＝c，
∴根据双曲线定义得2a＝||－||＝(－1)c，
∴双曲线的离心率e＝＝＋1.
5．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点．若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　)
A. B．1
C．2 D．4
答案　C
解析　由题意，得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.
设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，∴AB的中点为(，)，
∴()2－()2＝2⇒x1x2＝2，∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝x1x2＝2.
6．已知椭圆＋＝1(a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线－＝1(a2>0，b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2，则e1e2等于(　　)
A. B．1 C. D．2
答案　B
解析　由b＝a1c1，得a－c＝a1c1，∴e1＝＝.
由b＝a2c2，得c－a＝a2c2，∴e2＝＝.
∴e1e2＝×＝1.
7．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由题意知a＝，b＝1，c＝，
∴F1(－，0)，F2(，0)，
∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，
即x－3＋y<0.∵点M(x0，y0)在双曲线上，
∴－y＝1，即x＝2＋2y，
∴2＋2y－3＋y<0，∴－ 8．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(1,1＋) D．(2,1＋)
答案　B
解析　由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A(－c，)，B(－c，－)，E(a,0)，
∵△ABE是锐角三角形，∴·>0，
即·＝(－c－a，)·(－c－a，－)>0，
整理得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0，
∴e(e＋1)2(e－2)<0，解得e∈(0,2)，又e>1，
∴e∈(1,2)，故选B.
9．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________.
答案　1　2
解析　由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2.
又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.
10．已知点A，B分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，点P是双曲线C上异于A，B的另外一点，且△ABP是顶点为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案　x±y＝0
解析　如图所示，过点P作PC⊥x轴，

因为|AB|＝|BP|＝2a，
所以∠PBC＝60°，BC＝a，
yP＝|PC|＝a，点P(2a，a)，
将P(2a，a)代入－＝1，得a＝b，
所以其渐近线方程为x±y＝0.




11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
答案　
解析　由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝＝－e2.
要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝，
即e的最大值为.
12．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________．
答案　12
解析　设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，
∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1，与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2,2)，此时S△APF＝－＝12.








13．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解　(1)由已知c＝，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a，b，
双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m，n，
则
解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.
∴椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左，右焦点，P是第一象限的一个交点，
则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
∴|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，
∴cos∠F1PF2＝
＝＝.