高中数学高考第九章 9 9范围、最值、定点、定值问题-学生版(1)

这是一份高中数学高考第九章 9 9范围、最值、定点、定值问题-学生版(1)，共16页。试卷主要包含了若OA⊥OB等内容，欢迎下载使用。

进门测
题型一 范围问题
例1 已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为eq \f(\r(3),3)，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝eq \f(b2,4)截得的线段的长为c，|FM|＝eq \f(4\r(3),3).
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于eq \r(2)，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．
已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．
题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( )
A．2 B.eq \r(2) C．4 D．2eq \r(2)
命题点2 数形结合利用几何性质求最值
例3 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为__________．
命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值
例4 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为2eq \r(2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.
①设直线PM、QM的斜率分别为k、k′，证明eq \f(k′,k)为定值；
②求直线AB的斜率的最小值．
已知圆(x－a)2＋(y＋1－r)2＝r2(r>0)过点F(0,1)，圆心M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设P为直线l：x－y－2＝0上的点，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
作业检查
无
第2课时
阶段训练
题型一 定点问题
例1 已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足eq \(PM,\s\up6(→))＝λ1eq \(MQ,\s\up6(→))，eq \(PN,\s\up6(→))＝λ2eq \(NQ,\s\up6(→)).
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．
如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝eq \f(\r(2),2)，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|＝eq \f(\r(2),2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：x＝ty＋λ是椭圆C的一条切线，点M(－eq \r(2)，y1)，点N(eq \r(2)，y2)是切线l上两个点，证明：当t，λ变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．
题型二 定值问题
例2 椭圆有两顶点A(－1，0)，B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.
(1)当|CD|＝eq \f(3,2)eq \r(2)时，求直线l的方程；
(2)当点P异于A，B两点时，求证：eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))为定值．
如图，在平面直角坐标系xOy中，点F(eq \f(1,2)，0)，直线l：x＝－eq \f(1,2)，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹C的方程；
(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．
题型三 探索性问题
例3 如图，椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率是eq \f(\r(2),2)，点P(0,1)在短轴CD上，且eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝－1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
已知A(1,2)，B(eq \f(1,4)，－1)是抛物线y2＝ax(a>0)上的两个点，过点A，B引抛物线的两条弦AE，BF.
(1)求实数a的值；
(2)若直线AE与BF的斜率互为相反数，且A，B两点在直线EF的两侧，直线EF的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．
典例 椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右焦点分别是F1，F2，离心率为eq \f(\r(3),2)，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k2≠0，证明eq \f(1,kk1)＋eq \f(1,kk2)为定值，并求出这个定值．
第3课时
阶段重难点梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有
①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；
②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；
③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．
(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.
【知识拓展】
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；
过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；
过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．
重点题型训练
1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
2．已知P为双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1上的点，点M满足|eq \(OM,\s\up6(→))|＝1，且eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))＝0，则当|eq \(PM,\s\up6(→))|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为( )
A.eq \f(9,5) B.eq \f(12,5) C．4 D．5
3．已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(2,3]
C．(1,3] D．(1,2]
4．若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))的最小值为________．
5．已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．
6．已知椭圆C1：eq \f(x2,m＋2)－eq \f(y2,n)＝1与双曲线C2：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为________．
7．已知抛物线y2＝4x，焦点为F，过点(2,0)且斜率为正数的直线交抛物线于A，B两点，且eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＝－11.
(1)求直线AB的方程；
(2)设点C是抛物线 (不含A，B两点)上的动点，求△ABC面积的最大值．
8．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(eq \r(3)，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．
9．已知椭圆C1：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设点P在抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．
作业布置
1．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A，B是抛物线上的两个动点，且eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(FB,\s\up6(→))(λ>0)．过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
(1)证明：eq \(FM,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))为定值；
(2)设△ABM的面积为S，求S的最小值．
2．椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),3)，点(eq \r(3)，eq \r(2))为椭圆上的一点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1)，且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．
3．设直线l与抛物线x2＝2y交于A，B两点，与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1交于C，D两点，直线OA，OB，OC，OD(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，k3，k4.若OA⊥OB.
(1)是否存在实数t，满足k1＋k2＝t(k3＋k4)，并说明理由；
(2)求△OCD面积的最大值．
4．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线eq \f(x2,4－v)＋eq \f(y2,1－v)＝1(1(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点R(m，n)使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点M，N，且△OMN的面积最大？若存在，求出点R的坐标及对应的△OMN的面积；若不存在，请说明理由．
*5.已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：
(1)求C1，C2的标准方程；
(2)是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M，N，且满足eq \(OM,\s\up6(→))⊥eq \(ON,\s\up6(→))？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
x
3
－2
4
eq \r(2)
y
－2eq \r(3)
0
4
eq \f(\r(2),2)