第1讲第1课时《二次根式的性质与运算》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

教学路径

设计意图

导入

师：（老师做自我介绍）快乐的春节已经过去，数学伴随着我们一步步走来，走过了寒冷的冬天来到了春天，春天是一个生机勃勃的季节，俗话说的好一年之计在于春，春天是播种的季节，希望同学们都能在暖暖的春风中感受学习的快乐。从这节课开始，就由我带领大家一起学习，收获快乐！

  师：下面让我们来看看下面一个故事：

启动型问题

     19世纪俄国文学巨匠列夫 · 托尔斯泰曾在作品《一个人需要很多土地吗？》中写了这样一个故事：有一个叫巴霍姆的人到草原上去购买土地，卖地的酋长出了一个非常奇怪的地价：“每天1000卢布”，意思是谁出1000卢布，只要他日出时从规定地点出发，日落前返回原出发地，所走过的路线圈起的土地就全部归他.但是如果日落前不能回到出发地，那么他就得不到半点土地，白出1000卢布.巴霍姆觉得这个条件对自己有利，于是便付了1000卢布.第二天刚亮，他就连忙在草原上大步向前走去.他走啊，走啊，走了足足有10俄里，才朝左拐弯；接着又走了许久，才再向左拐弯；这样又走了2俄里，这时他发现天色不早，而自己离清晨出发的地方还足有15俄里的路程，于是只得改变方向，径直朝出发地点奔去……最后，巴霍姆总算如期赶到了出发地，却因劳累过度，口吐鲜血而死.

     请你算一算，巴霍姆这一天走了多少俄里路？他走过的路线围成的土地面积有多大？（结果保留根号）

1. 学生根据故事情景，将巴霍姆走过的路线画出来，并找学生到黑板上板演.
2. 学生独立完成计算，然后师指定学生讲解.

答案：动画出示:从A开始，经过AB，BC,CD到DA

(下一步)

实际上，在这一天中，巴霍姆走过的路线如图所示，是一个梯形，他所走过的路程，是这个梯形的周长.从图中可以看出，梯形ABCD的周长是AB+BC+CD+DA.

（下一步）动画连结DE.

（下一步）

由已知，AB=10俄里，CD=2俄里，在Rt△ADE中，根据勾股定理，可求得直角边DE的长是DE===（俄里）.由于BC=DE，所以巴霍姆一共走了10+2++15=27+（俄里），而梯形ABCD的面积是（平方俄里）.

 (下一题)想想看，巴霍姆应该怎么行走才能获得更多的土地呢？

学生独立思考，并找学生说说自己的想法，探求多种想法.

解析：在平面上一切等周长的封闭图形中，圆所围成的面积最大.

回顾：

1.二次根式的概念

 定义：一般地，我们把形如___（a≥0）的式子叫做二次根式，符号“”称为二次根号. （答案出现以后闪烁a≥0） (下一步)

2.二次根式的性质

（1）（a≥0）是一个非负数；

（2）（）2＝a（a≥0）；

（3）.(下一步)

3.二次根式的乘法

  ___________(a≥0，b≥0). (下一步)

4.二次根式的除法

 ___________(a≥0，b>0). (下一步)

5.积的算术平方根的性质

  =_____________(a≥0，b≥0). (下一步)

6.商的算术平方根的性质

  ___________(a≥0，b>0). (下一步)

7.最简二次根式

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式. (下一步)

8.二次根式的加减

二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.

师：接下来通过以下例题来加深大家对于知识点的理解和应用.

初步性问题

探究类型之一   二次根式有意义的条件

例1  使式子有意义的x取值范围是 (     )

A.x≥-，且x≠1                  B. x≠1

C. x≥-                         D. x>-，且x≠1

1.学生独立完成，并指定学生说说解题思路.

2.师：如何求x的取值范围？

生： 2x+1≥0，且x-1≠0.

师：那么你列不等式的依据是什么呢？也就是本题考查的知识点有哪些？

生：二次根式和分式的定义.

师：哪位同学可以具体说说二次根式和分式的定义呢？

生：形如（a≥0）的式子叫做二次根式.

生：若用A、B表示两个整式，A÷B可以写成的形式，如果B中含有字母（B≠0），式子叫做分式.

师：好，大家如果对于题目考查的知识点和方法非常清楚，那么再去解决这道题目就非常容易了.后面的题目我们一起来分析和解决，希望大家踊跃表达自己的想法.

解析：先将式子中“”变色，然后出示：

由被开方数的非负性可知2x+1≥0，解得x≥-；（下一步）

将式子分母中x-1变色，然后出示：

由分母不为零可知x-1≠0，即x≠1,（下一步）

综上可知x≥-，且x≠1.

答案：A

3.师：在求解有关字母范围问题时，一般要注意以下两个方面：（1）二次根式的被开方数是非负数；（2）分式的分母不为0.

类似性问题

1.在函数y=中，自变量x的取值范围是(       )

A. x ≠         B.         C.        D.

学生独立完成，并指定学习程度较差学生讲解.

解析：

由二被开方数的非负性可知1-2x≥0，解得；由分式有意义的条件可知≠ 0，即x ≠，所以x的取值范围是.

初步性问题

探究类型之二    二次根式的性质

例2  如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为 (     )

A.2c-a          B.2a-2b

C.-a            D.a

1.学生独立审题.

2.师引导学生分析：

师：如何化简这个代数式呢？

生：（预设）首先去根号，再去绝对值.

师：去根号的依据是______？

生：（预设）二次根式的性质：.

师：然后再根据绝对值的性质去绝对值就可以了.

解析：

先去根号，再去绝对值符号. （下一步）

=（下一步1）

=-a-（-a-b）+（c-a）+（-b-c）（下一步4）

=-a+a+b+c-a-b-c（下一步5）

=-a.（下一步5）

观察数轴可知b<a<0<c，，（下一步2）

所以a+b<0，c-a>0，b+c<0.（下一步3）

答案：C

3.师小结：在求绝对值时，我们借助了数轴来判断a，a+b，c-a，b+c的符号.这就是数学中常用的数形结合的数学方法，大家在以后的学习中还会遇到，还有大家要注意总结绝对值和二次根式的联系和区别.

例3  已知 x y>0，化简二次根式x的正确结果为 (     )

A.            B.           C.-         D.-

1.学生先独立审题，然后师指定学生说说自己的解题思路.

2.师指定学生说说自己的解题思路.

师：如何化简这个二次根式呢?

生：（预设）化简被开方式,.

师：非常好，还有其他方法吗？

生：（预设）将因式x移入根号内，逆用二次根式的性质，即.

师：很好，通过这道题目我们一起来总结化简二次根式的方法.

生：（预设）既可以化简被开方式,又可以把根号外的因式移入根号内,关键是首先确定被开方式中字母的符号.

解析：

由被开方数的非负性可知，

又x2>0，所以-y>0，即y<0，（下一步）

又xy>0，所以x<0且y<0.（下一步）

方法一：x=x·=x·=x·=；（下一步）

方法二：x=-（-x）·=-·=-=.

答案：D

3. 考查：二次根式的定义，二次根式的性质，二次根式的乘法，最简二次根式.

类似性问题

4.已知x<1，则化简的结果是（    ）

A.x-1              B.x+1        C. -x-1           D.1-x

学生独立完成，指定学生讲解.

解析：

===1-x.

5.若整数m满足条件且，则m的值是_________.

学生独立完成，指定学生讲解.

解析：在“”下面划线，然后出示箭头：m+1≥0 下一步：m≥-1

所以-1≤<1；（下一步）又因为m是整数，所以m的值是-1或0.

6.把（a-2）根号外的因式移到根号内后，其结果是______________.

学生先独立完成，然后师指定学生到黑板上板演，然后其他同学指出错误更正.

解析：

由被开方数的非负性可知>0，即2-a>0，（下一步）

所以（a-2）=-（2-a）=-·

=-=-.

强调：

1、被开方数a的非负性：a≥0,这是二次根式的隐含条件.

2、二次根式的非负性.

注：

5，6也可简单的称为二次根式的性质.

学生对于定义的描述往往不够准确和完整，教师进行补充，强调概念的准确性.

总结：二次根式和分式对于字母的取值都有要求.

二次根式、绝对值、完全平方数都是非负的.

板书时将每一步都展示清楚.