第4讲第1课时《勾股定理的逆定理》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

教学路径

师：上节课我们学习了勾股定理的具体内容，找同学说一说勾股定理.

生：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.

启动型问题

如图所示，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B，已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里，反走私艇B测得离C艇的距离是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

学生独立完成，然后指定学生讲解.

答案：

如图，设MN交AC于E(点E飞进来)，则∠BEC=90°.

又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2，

∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°.

又∵MN⊥CE.∴走私艇进入我领海的最近距离是CE，

则CE2+BE2=144，（CA-CE）2+BE2=25，26CE=288，CE=，

∴走私艇进入我国领海所用时间为÷13≈0.85（时）,

0.85×60=51(分),   9时50分+51分=10时41分.

故走私艇最早在10时41分进入我国领海.

回顾

1.勾股定理的逆定理（下一步）

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.

2.勾股数（下一步）

(1)满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数. （下一步）

(2)勾股数组有无数个,对于任意两个正整数m,n(m＞n),m2+n2,m2-n2和2mn这三个数就是一组勾股数组.

师：下面让我们来看看怎么利用勾股定理的逆定理来解题呢？

初步性问题

探究类型之一  利用勾股定理的逆定理判断直角三角形

例1  已知△ABC的三边分别是a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,

试判断△ABC是否是直角三角形.

解析：动画依次闪蓝色，绿色，黑色的字，然后出示箭头，出示：

a2-6a+b2-8b+c2-10c+50=0

（下一步）出示箭头，然后出示文字：(a2-6a+9)+(b2-8b+16)+(c2-10c+25)=0

（下一步）出示箭头，然后出示文字：(a-3) 2+(b-4) 2+(c-5) 2=0

（下一步）a=3,b=4,c=5.

（下一步）根据勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形.

答案：

解：将a2+b2+c2+50=6a+8b+10c变形得

(a2-6a+9)+(b2-8b+16)+(c2-10c+25)=0,

即(a-3) 2+(b-4) 2+(c-5) 2=0.

∴a=3,b=4,c=5,a2+b2=c2,

根据勾股定理逆定理知，△ABC是直角三角形.

1.师：如何判断△ABC是否是直角三角形？

生：等式中有二次项一次项和常数项，可以尝试配方写成几个完全平方式的和的形式.

师：好，配方后的结果是？

生： (a-3) 2+(b-4) 2+(c-5) 2 =0.

师：所以我们得到了三角形三边的长度，分别为3，4，5，说明？

生：这是一个直角三角形.

2.师：通过这道题目，我们来总结从代数的角度判断一个三角形为特殊三角形的方法有哪些？

生：结合式子的特点将所给的等式变形，通过配方，因式分解法，或者与已知的代数结论相结合建立三角形三边的关系.

师：现在判断一个三角形是直角三角形的方法？

生：有一个角为90°的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理.

师：如果一边上的中线等于这边的一半，这个三角形为直角三角形.

类似性问题

1.△ABC的边长分别为a=m-1,b=m+1,c=2m(m＞0),则△ABC是（     ）

A.等边三角形     B.钝角三角形

C.直角三角形     D.锐角三角形

学生独立完成，指定学生讲解.

解析：

a+ c=（m2-1）2+ 4m2=m4+ 2m2+1=（m2+1）2=b.

（下一步）勾股数组有无数个,对于任意两个正整数m,n(m＞n),m+n,m-n和2mn这三个数就是一组勾股数组.

2.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式，则△ABC的形状为__________.

学生独立完成，指定学生讲解.

解析：

在式子下面划横线，然后出示：然后出示：c2-a2-b2=0且a-b=0，

（下一步）c2=a2+b2且a=b，故△ABC的形状为等腰直角三角形.

3.若△ABC的三边长a,b,c满足a+b+c+200=12a+16b+20c,试判断△ABC的形状.

学生独立完成，指定学生讲解.

答案：

解： a+b+c+200=12a+16b+20c移项、整理得：

(a-6) +(b-8) +(c-10) =0，

∴a=6,b=8,c=10.

∴a+b=c,

根据勾股定理逆定理可知△ABC是直角三角形.

初步性问题

探究类型之二  利用勾股定理的逆定理证明线段的垂直关系

例2  如图所示,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=BC,试问AF与EF有何位置关系?请说出你的理由.

         图1                   图2                    图3

方法1（按钮）：

连接AE（如图 1，动画在图中作出）,利用勾股定理的逆定理证明.

（下一步）

设CE=a，（如图2，在图中标出几条线段的长度），（下一步）

利用勾股定理求出线段AE2、EF2、FA2.（下一步）

利用勾股定理的逆定理证明△AEF是直角三角形. （下一步）

答案：

解：AF⊥EF，证明如下：  

连接AE，如图.

设CE=a，则CF=FD=2a，BE=3a，AD=AB=4a，

在Rt△CEF中，∠C=90°,EF 2=CF 2+CE 2=5a2,

同理，AE 2=AB 2+BE 2=25a2,AF2=AD2+DF2=20a2,

∴AF 2+EF 2=20a2+5a2=25a2，

∴AF2+EF2=AE2.

∴△AEF是直角三角形，且∠AFE=90°,

即AF⊥EF. （下一步）

图1                图2                      图3

方法2：连接AE，延长AD、EF交于一点G（动画在图1中作出），利用全等三角形、等腰三角形三线合一证明. （下一步）

设CE=a，（如图2，在图中标出几条线段的长度），（下一步）

利用全等三角形的性质、勾股定理求出线段GD、AE的长（如图3，在图中标出几条线段的长度），（下一步）

利用等腰三角形三线合一证明AF⊥EF.

答案：

连接AE，延长AD、EF交于一点G，如图.

设CE=a，则BE=3a，AD=AB=4a，

在Rt△CEF中，AE 2=CF 2+CE 2=25a2,即AE =5a..

在△CEF和△DGF中,

∵∴△CEF≌△DGF，∴GD=CE= a ，FG=FE.

∴AG=5a，∴AG=AE=5a，

∵AG=AE， FG=FE，∴AF⊥EF.

1.师：我们先猜想AF与EF的位置关系是？

生：垂直.

师：接下来就是证明两条直线互相垂直了，如何证明呢？分析已知条件.

2.学生独立思考，然后指定学生说说：

生1： F点和E点两个分点的位置是确定的，如果设出正方形的边长，我们就可以表示出边FA，FE，再连接AE，同样可以表示出AE，这样利用勾股定理的逆定理就可以证明了.

3.探究多种解法：

师：很好，我们利用勾股定理的逆定理来证明垂直.还有其他方法吗，能不能利用等腰三角形三线合一来证明呢，那么我们就需要？

生2：构造等腰三角形，连接AE，延长AD、EF交于一点G，证明△AEG是等腰三角形，且F是EG的中点.

4.师：非常好，我们来总结一下目前为止证明垂直的方法.

生：

（1）利用勾股定理的逆定理证明边之间的关系；

（2）利用等腰三角形三线合一证明是高线；

（3）利用平行线的性质找等量角；

师：非常好，我们以后还会学到很多其他的方法来证明垂直关系，比如相似三角形，锐角三角函数，四边形的性质，圆的性质等等，或从边，或从角，或从边角关系，大家要学会总结归纳联想类比.

注：此题还可以用三角形中位线（如图）.

初步性问题

探究类型之三  利用勾股定理的逆定理求不规则图形的面积

例3   如图所示，在四边形ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm, CD=24 cm, DA=

26 cm，且∠ABC=90°,求四边形ABCD的面积.

解析：

连接AC（动画在图中作出），（下一步）（每一个颜色代表一步）

    △ABC中，∠B=90°         S△ABC=24 

BA=6                  AC=10       

BC=8                                   △ADC为直角三角形

CD=24           S△ADC=120

    AD=26 

（最后突出黄色阴影部分，方法你自己决定）

答案：

解：连接AC，如图.

∵在△ABC中，∠B=90°，BA=6 cm, BC=8 cm，

∴AC===10(cm)，S△ABC=24 cm2.

又∵CD=24 cm, DA=26 cm,且10+24=100+576=676=26,

即DA=AC+CD，

∴△ACD是直角三角形，

∴S△ADC=120 cm2.

∴=120+24=144(cm).

1.学生独立思考，然后指定学生说说自己的解题思路.

2.师：如何求不规则四边形的面积呢？

生：通过面积的割补将不规则四边形转化为规则图形的面积的和差.

师：具体如何割补？

生：连接AC，将四边形的面积表示为两个三角形的面积之和，利用勾股定理逆定理可以证明，两个三角形都是直角三角形.

3.师：非常好，我们在用勾股定理逆定理的时候对于常见的勾股数要特别熟悉，大家来列举一下.

生： 3、4、5；5、12、13；7、24、25.

师：这些都是一些整数勾股数，还有一些常见的如1、1、；1、、；1、、2；1、2、等等,最后要注意我们前面复习的结论：

如果a、b、c是一组勾股数，那么ka、kb、kc(k＞0)也是一组勾股数.

类似性问题

4.如图所示的一块地，AD=12 m,CD=9 m,∠ADC=90°,AB=39 m,BC=36 m.求这块地的面积.

学生独立完成，然后指定学生讲解.

解析：

连接AC，（动画在图中作出）

在Rt△ACD中求出AC的长，然后根据勾股定理的逆定理判定

△ABC为直角三角形.

(下一步)S四边形ABCD=S△ABC-S△ACD.