第5讲第2课时《平行四边形》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

教学路径

导入：

师：在之前的两讲内容中，我们主要学习了勾股定理及其逆定理，勾股定理帮我们解决了很多和直角三角形有关的数学问题，直角三角形是一种特殊的三角形，那么我们今天重点学习一种特殊的四边形——平行四边形.

启动型问题：

如图（1）为某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F，乙乘2路车，路线是B→D→C→F.

假设两车的速度，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站？

小萍：连接BE交AD于点G，如图（2）.

∵BA∥DE，BD∥AE，∴四边形ABDE为平行四边形.

∴BG=EG，AB=DE，BD=AE.

∵GF∥BC，∴EF=FC.

又∵BC⊥EC，∴GF⊥EC.∴DC=DE，AB=DC.

∴BA+AE+EF=BD+DC+CF.

∴两人同时到达F站.

师：考虑一下，我们都运用了哪些平行四边形的性质及判定定理？

下面让我们一起回顾一下平行四边形的概念、性质及判定定理.

回顾

1.平行四边形

定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.(下一步)

2.平行四边形的性质

定理1：平行四边形的对边相等；

定理2：平行四边形的对角相等；

定理3：平行四边形的对角线互相平分.(下一步)

                                 两组对边分别平行

                                 两组对边分别相等

         两组对角分别相等（邻角互补）    角

                                 对角线互相平分         对角线

3.平行四边形的判定

定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

定理2：对角线互相平分的四边形是平行四边形；

定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(下一步)

             两组对边分别平行

             两组对边分别相等

一组对边平行且相等   的四边形是平行四边形

角           两组对角分别相等   

对角线       对角线互相平分        

（下一步）

4.三角形的中位线定理

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.

初步性问题

探究类型之一 平行四边形的判定

例1  如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．（分两题出示）

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．

（1）解析：

四边形ABCD      AD∥BC     DF∥CE

是平行四边形      AD＝BC                  四边形CEDF是平行四边形

F是AD的中点    DF=AD    DF＝CE

             CE=BC

出现顺序：红色 黑色  蓝色 绿色 紫色 下划线 橙色

（下一步）

答案：

证明: ∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC.

∵F是AD的中点，

∴DF=AD.

又∵CE=BC，

∴DF＝CE

又∵DF∥CE．

∴四边形CEDF为平行四边形．

（2）课件出示解析：

闪图中AB∥CD，然后在图中标上∠B与∠DCE标上弧度线，并标上60°

（下一步）

过点D作DH⊥BE于点H(动画在图中作出），构造含30°角的

Rt△DCH和Rt△DHE，然后运用勾股定理来求线段ED的长度．

答案:

解：过点D作DH⊥BE于H，如图.

∵AB＝4，∴CD＝4．

∵AB∥DC，∴∠B=∠DCE，

∵∠B＝60°，∴∠DCE＝60°.

在Rt△DCH中，∠DHC＝90°，

∵CD＝4，∠CDH＝30°，∴CH＝2，

∴DH＝2.

∵四边形CEDF为平行四边形．

∴CE＝DF＝AD＝3,∴EH＝1.

在Rt△DHE中，∠DHE＝90°，

DE＝=.

1.师：如何证明四边形CEDF是平行四边形呢？

生:根据四边形ABCD是平行四边形知边DF∥CE，已知一组对边平行的前提下，我们可以证明另一组对边平行或这组对边相等，根据条件我们可以证这组对边相等.

师：非常好，在这里我们采用的证明方法是？

生：综合法,由因导果.

师：我们在证明的时候要注意分析已知条件和要证明的结果，选取适当的方法进行证明.

生独立完成（1），然后指定学生讲解.

2.师：如何求DE的长，边分析边标已知条件？

生：将已知条件标在图中，根据已知条件得CD＝4，∠DCE＝60°，此时可过点D作DH⊥BE于点H，构造含30°角的Rt△DCH和Rt△DHE，然后运用勾股定理来求线段ED的长度．

学生独立完成，然后找学生说说自己的答案.

3.师：非常好，根据给出的线索我们可以渐渐的找到解决问题的方法，通过构造直角三角形来求线段的长度，在九年级的时候我们能够将这个问题看的更清楚，大家发现已知条件是边角边，正好和判定三角形全等的条件吻合，这其实是一个解斜三角形问题，目前初中阶段的方法就是转化为解直角三角形，当然高中还有其它更简单的方法，余弦定理.

类似性问题

1.已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（      ）

A.6种      B.5种     C.4种      D.3种

解析：

从四个条件中任选两个有6种情况：①②;①③,①④,②③;②④,③④.

（下一步）

其中能使四边形ABCD是平行四边形的有①②，①③，②④，③④.

（下一步）

    反例：①④；②③                        

5.如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD,②AO＝CO,③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构成命题．

（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；

（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．（命题请写成“如果……，那么……”的形式）

答案：

（1）解：是真命题.证明如下：

∵AB∥CD，

∴∠ABO＝∠CDO，

又∵∠AOB＝∠COD，AO＝CO，

∴△ABO≌△CDO,

∴AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形.（下一步）

（2）假命题1：四边形ABCD中，如果AB∥CD，AD＝BC，那么四边形

ABCD是平行四边形；

假命题2：四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果AO＝CO，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形.

反例：

如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，但四边形ABCD不是平行四边形；

如图②，四边形ABCD中，AO＝CO，AD＝BC，但四边形ABCD不是平行四边形.

图①                           图②

初步性问题

探究类型之二 平行四边形的性质

例 2  如图，在ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，

∠AND=90°，连接CM交DN于点O．

（1）求证：△ABN≌△CDM；

（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，

若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．

（1）解析：

四边形ABCD        AB=CD

是平行四边形       ∠B=∠CDM                    △ABN≌△CDM

AD=BC                        

M、N分别是       DM=AD       DM= BN

AD，BC的中点     BN=BC

出现顺序：红色 黑色  蓝色  下划线   绿色

（下一步）

答案：

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM.

∵M、N分别是AD，BC的中点，

∴DM=AD ，BN=BC，

∴BN=DM.

∵在△ABN和△CDM中，AB=CD,∠B=∠CDM,BN=DM,

∴△ABN≌△CDM(SAS).

（2）解析：结合直角三角形斜边中线的性质、平行线的性质及∠1=∠2可得

∠MND=∠CND=∠2=30°，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．

答案：解：∵M是AD的中点，∠AND=90°，

∴MN=MD=AD，∴∠1=∠MND.

∵AD∥BC，∴∠1=∠CND.

∵∠1=∠2，∴∠MND=∠CND=∠2，

∵CE⊥MN，∴∠CEN=90°，∴∠MND=∠CND=∠2=30°.

在Rt△PNE中，∠PEN=90°，

∵∠MND=30°，PE=1，∴PN=2PE=2，∴NE=.

∵∠MNC=60°，CN=MN=MD，

∴△CNM是等边三角形，

∵CE⊥MN，∴MN= 2NE=2，∴CM=2．

∵△ABN ≌△CDM，∴AN=CM=2．

师：如何证明两个三角形全等呢？

生：，根据SAS来证明两个三角形全等.

师：如何求AN的长？

生：结合直角三角形斜边中线的性质、平行线的性质及∠1=∠2可得∠MND=∠CND=∠2=30°，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可.

师：其实四边形CDMN是？

生：菱形.

师：求线段的长时注意找等量线段.

初步性问题

探究类型之三   平行四边形的性质和判定的综合

例  3  如图，已知在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，EH∥FG分别交BA和DC的延长线于点G、H，连接EG,FH．（分两题出示）

求证：（1）△BFG≌△DEH；

（2）GE=HF．

（1）解析：                   

                        （标出∠1、∠2、∠3、∠4）

四边形ABCD     AB∥CD      ∠1=∠2

是平行四边形                                   

EH∥FG      ∠3=∠4         △BFG≌△DEH

BE=DF      BF =DE

出现顺序：红色 黑色  蓝色  下划线   绿色

答案：

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，∴∠1=∠2.

∵EH∥FG，∴∠3=∠4.

∵BE=DF，∴BF=BE+EF=DF+EF=DE.

∵在△BFG和△DEH中 ,

∠1=∠2,BF＝DE, ∠3=∠4,

∴△BFG≌△DEH（ASA）.

（2）解析：

△BFG≌△DEH    FG=EH         

四边形GEHF是平行四边形    GE=HF

FG∥EH      

出现顺序：红色 黑色  绿色  下划线   蓝色 

答案：证明：由（1）知△BFG≌△DEH，∴FG=EH.

又∵EH∥FG，∴四边形GEHF是平行四边形，

∴GE=HF．

师：如何证明两个三角形全等？

生： ASA.

师：如何证明两条线段相等？

生：将两条线段放在平行四边形中，利用平行四边形的性质证明.

师：很好，还有别的方法吗？

生：全等.

师：很好，大家要学会不断的总结证明的方法，比如这里证明线段相等的方法有哪些？

学生回答.

类似性问题

3.如图，ABCD中，∠ABC=60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是________.

学生独立完成，然后指定学生说说自己的解题思路.

解析：

证明四边形ABDE为平行四边形得到AB=DE,从而得到AB=CE.

（下一步）

在Rt△CEF中，设CF=x，则CE=2x，根据勾股定理求出x的值.