第6讲第1课时《矩形与菱形》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

教学路径

导入：

师：同学们都知道红丝带吧！

生：知道.

师：“好的，那我请一位同学来帮我画一下。

生：动手画。

师:看来同学们的动手能力都很强啊，我们一起来看一下：  

启动型问题

课件出示：红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为1 cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图所示），得到重叠四边形ABCD.

（1）四边形ABCD是什么四边形？试说明理由.

（2）四边形ABCD的面积是多少？

小萍(图标)：四边形ABCD是菱形.

理由：

∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.(下一步)

如图，过A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB

于点F. （动画：用手画出示）

（下一步）

∵S=AE·BC=AB·CF，又AE=CF,

∴AB=BC.∴四边形ABCD是菱形.

小亮（图标）：

（用手在图中标上AB=1，BC=1,然后用手将△ABE描绿，标上∠ABE=60°）

（下一步）

∵S菱形=AE·BC，又在△ABE中，∠AEB=90°,∠ABE=60°，

∴∠BAE=30°,

∴BE=AB,AE= AB =AB=1cm.∴AB=BC=cm.

∴S菱形=×1=（cm2）.

师：考虑一下在刚才证明菱形的过程中，我们运用了什么判定方法？我们知道菱形、矩形是特殊的平行四边形，让我们一起回顾菱形和矩形的相关知识.

回顾：

1.矩形的概念

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.下一步

2.矩形的性质

定理1：矩形的四个角都是直角.

定理2：矩形的对角线相等.

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 下一步

3.矩形的判定

定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.

定理2：有三个角是直角的四边形是矩形. 下一步

4.菱形的概念

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 下一步

5.菱形的性质

定理1：菱形的四条边都相等.

定理2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

 下一步6.菱形的面积

公式1：S菱形=ah(其中a、h分别为菱形的底边及底边上的高).

公式2：S菱形=ab（其中a、b表示菱形的两条对角线的长）. 下一步

7.菱形的判定

定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

定理2：四边相等的四边形是菱形. 下一步

动画依次出示

初步性问题

探究类型之一 矩形的判定

例1  如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE.

(1)求∠CAE的度数；

（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形.

1.师：如何求∠CAE的度数？

生：利用等腰△ABC三线合一可以求出∠CAD=30°，再根据再根据∠CAE=∠DAE-∠CAD=30°.

师：如何证明四边形AFCE是矩形？

生：先证明四边形AFCE是平行四边形，再证明∠CFA=90°.

2.师：最后大家总结证明四边形是矩形的方法.

（1）

解析：

在“等边△ABC中，点D是BC边的中点”下面

划线，然后出示：根据等腰三角形三线合一的性质得

到∠BAD=∠DAC=30°，（同时在图中用手标出∠DAC=30°）

（下一步）∠CAE=∠DAE-∠CAD.（用手在图中标出∠DAE和∠CAD）

答案：

解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC, ∠BAC=60°，

同理，∠DAE=60°.

∵点D是BC边的中点，

∴∠BAD=∠DAC=30°，

∴∠CAE=∠DAE-∠CAD =30°.

（2）

解析：

先证明四边形AFCE是平行四边形，再由∠CFA=90°可证四边形AFCE是矩形.

答案：

证明：在等边△ABC中，

∵F是AB边的中点，D是BC边的中点，

∴CF=AD，∠CFA=90°, ∠ACF=30°.

又∵AD=AE，

∴AE=CF.

由（1）知∠CAE=30°,且∠ACF=30°, ∴∠ACF=∠CAE,

∴CF∥AE.

∵AE=CF,

∴四边形AFCE是平行四边形.

又∵∠CFA=90°,

∴四边形AFCE是矩形.

初步性问题

探究类型之二  矩形的性质

例2    如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC.

(分两题出示)

（1）求证：OE=OF；

（2）若BC=2，求AB的长.

1.师：如何证明两条线段相等？

生1：利用三角形全等.

师：还有别的方法吗？

生2：连接AF,CE利用平行四边形的性质证明.

2.师：如何求AB的长？

生：证明∠ABO=30°，解含30°的特殊直角三角形. 

生独立证明，然后找学生说说自己的思路.

（1）

方法1：

证明△AOE≌△COF.

答案：

证明：∵四边形ABCD是矩形,

∴CD∥AB,

∴∠FCO=∠EAO.

∵在△FCO与△EAO中，

∠FOC=∠EOA,∠FCO=∠EAO,CF=AE,

∴△FCO≌△EAO(AAS),

∴OF=OE.

 方法2：连接AF,CE，（动画，用手画出）利用平行四边形的性质证明.

答案：连接AF,CE，如图.

在矩形ABCD中，AE∥FC，

又∵AE=CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴OF=OE.

（2）

解析：在图中用手标上依次标上红色和黑色的线，然后动画：

连接OB（在图中作出），根据等腰三角形的性质可得BO⊥EF，

（下一步）根据矩形的性质可得OA=OB，故∠BAC=∠ABO；

（同时在图中出示标记角）

（下一步）

结合∠BEF=2∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠ABO=30°，

即∠BAC=30°；（下一步）

根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，利用勾股定理求AB．

答案：

解：连接OB.

∵OE=OF，BE=BF,

∴OB⊥EF.

∵△FCO≌△EAO，

∴OA=OC，即O为矩形对角线的交点，

∴OA=OB，

∴∠BAC=∠ABO，

∴∠BEF=2∠BAC=2∠ABO.

∵OB⊥EF,

∴∠BEF+∠ABO=90°，即3∠ABO=90°，∠ABO=30°.

∴∠BAC =30°.

∵在Rt△ABC中，∠BAC =30°, BC=2，

∴AC=4.

根据勾股定理得AB==6.

探究类型之三   菱形的判定

例3   如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF．

(1) 证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；

(2) 若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；

(3) 在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由．

师：如何证明角相等？

生：利用全等三角形证明.

师：还有别的方法吗？

生：连接BD利用中垂线的性质定理.

师：如何证明四边形ABCD是菱形？

生：证明四条边都相等.

师：如何确定点的位置？

生：（预设）执果索因.

（1）

解析：动画：用手现在图上依次标上紫色，和红色的短线

（下一步）

先根据SSS证明△ABC≌△ADC，再根据SAS证明△ABF≌△ADF. (下一步)

答案：

证明：∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，

∴△ABC≌△ADC，

∴∠BAC =∠DAC.

∵ AB=AD,∠BAF=∠DAF，AF=AF，

∴△ABF≌△ADF,

∴∠AFB=∠AFD,

又∵∠CFE =∠AFB,

∴∠AFD=∠CFE,

∴∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE.

（2）

解析：

四条边都相等的四边形是菱形.

答案：

证明：∵AB∥CD,

∴∠BAC=∠ACD.

由(1)知∠BAC=∠DAC,

∴∠DAC=∠ACD,

∴AD=CD.

∵ AB=AD, CB=CD,

∴AB=CB=CD=AD,

∴四边形ABCD是菱形.

（3）

解析：先将△BCF，△DCF填充上颜色，然后再出示：证明△BCF≌△DCF得到∠CBE=∠CDE,（最后在图上用手给∠CBE与∠CDE标上弧度线）

(下一步)用手动画在图上用手给∠EFD与∠BCD标上弧度线）

根据三角形内角和定理可得∠BEC=∠FED，(下一步)

又∠BEC+∠FED=180°，故BE⊥CD．

答案：

解：当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD.理由如下：

证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴BC=CD,∠BCF=∠DCF.

又∵CF为公共边，

∴△BCF≌△DCF，

∴∠CBF=∠CDF.

∵BE⊥CD，

∴∠BEC=∠DEF=90°，

∴∠EFD=∠BCD.

类似性问题

4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.

(1)求证：AF=DC；

(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

解析：

（1）证明△AEF≌△DEB得到AF=BD,由中线定义得到BD=DC，故AF=DC；（下一步）

（2）由（1）结论易知四边形ADCF为平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质说明AD=CD即可.