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第8讲第1课时《平行四边形的综合》(教案)2022—2023学年人教版数学八年级下册
展开第八讲 平行四边形的综合[教学内容]八年级第八讲“平行四边形的综合”.(第一课时)[教学目标]知识技能1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质并会应用;2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理并能够证明.3.综合运用特殊平行四边形的性质与判定解决问题.数学思考 在研究图形性质的过程中,进一步发展空间观念,经历借助图形思考问题的过程,初步建立几何直观.问题解决通过小组合作交流,培养学生独立思考及团队合作意识,经历从不同角度分析问题和解决问题的方法的过程,体验解决问题方法的多样性,掌握分析问题和解决问题的一些基本方法,在与他人合作交流的过程中,能较好地理解他人的思考方法和结论.情感态度积极参与数学活动,对数学有好奇心和求知欲,感受成功的快乐,体验独自克服困难,解决数学问题的过程,有客服困难的勇气,具备学好数学的信心.[教学重点、难点]重点:特殊四边形的性质和判定难点:特殊四边形性质和判定的综合运用[教学准备]动画多媒体语音课件 第一课时教学路径 导入:师:前面三节课我们一起学习了特殊四边形的性质及判定,这节课我们就一起来对前面三节课学习的知识进行一下总结和复习.启动型问题:重心是使物体保持平衡的位置.(下一步)三角形的重心就是三条中线的交点.在△ABC的三条边AB、BC、CA上,分别找到它们的中点F,D,E,连接AD,BE,CF,那么这三条线必相交于点O,点O就是这个三角形的重心,如图(1).(下一步)中心对称图形的重心是它的对称中心,如平行四边形的重心在其对角线的交点O处,如图(2).(下一步)凡是质地均匀、外形规则的物体的重心,都在它的几何中心.例如均匀的立方体的重心在点AC与BD的交点O处,如图(3).(下一步)质地不均匀的物体的重心可用悬挂法去确定其重心位置.先任意找一点将物体悬挂,平稳后,画出悬挂线AB,之后再次悬挂,画出CD,AB和CD的交点O就是重心.如图(4),在点O处支撑物体会平衡. 师:下面我们就一起来回忆一下我们前面学习的基本知识.回顾1.平行四边形判定:(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(4)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(下一步)性质:(矩形、菱形,正方形都是特殊的平行四边形.)(1)平行四边形对边平行且相等.(2)平行四边形两条对角线互相平分.(3)平行四边形的对角相等,两邻角互补.(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形.(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积.(6)过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形.(7)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两对角线的交点. (下一步)2.矩形性质:(1)矩形的四个角都是直角; (2)矩形的对角线相等; (3)具备平行四边形的性质. (下一步)判定:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义); (2)对角线相等的平行四边形是矩形; (3)有三个角是直角的四边形是矩形. (下一步)3.菱形性质:(1)菱形的四条边都相等;(2)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;(3)具备平行四边形的性质. (下一步)判定:(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形;(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;(3)四边相等的四边形是菱形. (下一步)4.正方形性质: (1)两组对边分别平行;四条边都相等;相邻边互相垂直;(2)四个角都是90°;(3)对角线互相垂直;对角线相等且互相平分;每条对角线平分一组对角;(4)既是中心对称图形,又是轴对称图形(有四条对称轴);(5)正方形具有菱形,矩形的一切性质. (下一步)判定: (1)对角线相等的菱形是正方形;(2)有一个角为直角的菱形是正方形;(3)对角线互相垂直的矩形是正方形;(4)有一组邻边相等的矩形是正方形;(5)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形;(6)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形;(7)对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形;(8)一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形;(9)既是菱形又是矩形的四边形是正方形. 师:接下来我们一起来看几道例题:初步性问题探究类型之一 平行四边形的综合例1 如图,在△OAB中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以OB为边,在△OAB外作等边△OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.(1)求证:四边形ABCE是平行四边形;(2)如图(2),将图(1)中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长. 师:如何证明四边形ABCE是平行四边形?生:证明两组对边分别平行.师:如何证明两组对边分别平行?生:利用平行线的判定方法,证明角相等或互补.师:如何得到角之间的数量关系?生:根据特殊三角形可以得到特殊角.师:如何求线段的长度?生:设未知数,利用勾股定理建立等量关系式.师:如何表示线段AG的长?生:化折为直.师:非常好,(1)本题考查了平行四边形的判定与性质,以及勾股定理的应用,图形的翻折变换;(2)利用方程解决几何计算,是常用方法,体现了数形结合思想.(1)解析:证明AE∥BC和AB∥OC. 答案:证明:∵Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,∴∠ABO=60°,AB=BO.∵D为OB的中点,∴BD=OD=BO=AB,∴△ABD是等边三角形,∴∠BAD=60°,∴∠DAO=90°-∠BAD=30°.∵△OBC是等边三角形,∴∠COB=∠C=60°,∴∠OED=180°-∠COB-∠AOB-∠DAO=60°=∠C,∴AE∥BC.又∵∠COB=∠ABO,∴AB∥CO,即AB∥CE,∴四边形ABCE是平行四边形. (2)解析:动画出示翻折的过程,然后将CG和AG描红,CF与AF描绿.(下一步) 设OG=x,(下一步按下图标)(下一步)在Rt△AOB中由勾股定理计算出AO,然后在Rt△AOG中根据勾股定理列方程求解. 答案:解:设OG=x,则GC=OC-OG=OB-OG=8-x.由折叠的性质可知AG=GC=8-x.在Rt△ABO中,∵∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8,∴AB=OB=4,∴由勾股定理得OA2=OB2-AB2=48.在Rt△OAG中,根据勾股定理得OG2+OA2=AG2,即x2+48=(8-x)2,解得x=1,∴OG=1. 探究类型之二 菱形的综合例2 如图,在四边形ABCD中,AB=DC,E、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是对角线BD、AC的中点.(1)求证:四边形EGFH是菱形;(2)若AB=1,则当∠ABC+∠DCB=90°时,求四边形EGFH的面积. 师:如何证明四边形EGFH是菱形?生:证明四条边都相等.师:如何证明线段相等?生:利用三角形中位线定理.师:如何求四边形的面积?生:根据已知条件可知四边形为正方形,只要求出一边长即可.师:“遇中点、找中点”,说的是在几何图形中,如果发现有线段的中点时,通常要找出相关线段的中点,构造三角形的中位线,利用三角形中位线的定理来解题. (1)解析:做个动画,做动画时叫我利用三角形中位线定理证明FG=FH=HE=EG. 答案:证明:∵四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AD、BC、BD、AC的中点,∴FG=CD,HE=CD,FH=AB,GE=AB.∵AB=CD,∴FG=FH=HE=EG.∴四边形EGFH是菱形. (2)解析:动画用手描HF和AB,然后标上∠ABC与∠HFC一样的弧度线,然后用手描GF和DC,然后标上∠DCB与∠GFB一样的弧度线,最后给∠GFH标上垂直符号.(下一步)菱形EGFH是正方形,根据三角形的中位线定理求GE的长.答案:解:∵四边形ABCD中,G、F、H分别是BD、BC、AC的中点,∴GF∥DC,HF∥AB,∴∠GFB=∠DCB,∠HFC=∠ABC.∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°,∴∠GFH=90°,∴菱形EGFH是正方形.由(1)知EG=AB=.∴正方形EGFH的面积为()2=. 探究类型之三 矩形的综合例3 已知四边形ABCD中,AB=CD,BC=DA,对角线AC、BD交于点O.M是四边形ABCD外的一点,AM⊥MC,BM⊥MD.试问:四边形ABCD是什么四边形,并证明你的结论. 师:如何判断四边形的形状?生:先判断是否为平行四边形,再判断是否为菱形或矩形,最后判断是否为正方形.师:是平行四边形吗?生:根据两组对边分别相等证明为平行四边形.师:是否为菱形或矩形?生:由于平行四边形对角线的交点O是两个直角三角形斜边上的中点,所以连接OM,证明对角线相等.师:非常好,(1)若一点是直角三角形斜边的中点或等腰三角形底边的中点,则应常想到作该三角形的中线.(2)平行四边形的常用辅助线的添法:①连接对角线或平移对角线;②过一个顶点作其对边的垂线来构造直角三角形;③连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或三角形的中位线;④连接一个顶点与其对边上一点的线段或延长这条线段,构造等积三角形;⑤过一个顶点作对角线的垂线,构造线段平行或三角形全等. 解析:由“AB=CD,BC=DA”得出四边形ABCD是平行四边形,(下一步)由平行四边形的对角线互相平分得OA=OC,OB=OD(同时在图中标出).(下一步)连接OM(动画在图中作出),(用手描一边△AMC和△BMD的三边)根据“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到BD=AC. 答案:答:四边形ABCD是矩形,证明如下:证明:如图,连接OM.∵AB=CD,BC=DA,∴四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵AM⊥MC,BM⊥MD,∴∠AMC=∠BMD=90°,∴OM=BD,OM=AC,∴BD=AC,∴平行四边形ABCD是矩形. 类似性问题1. 在ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,AF与DE相交于点G,CE与BF相交于点H.(1)求证:四边形EHFG是平行四边形;(2)若四边形EHFG是矩形,则ABCD应满足什么条件?(不需要证明) 解析:(1)证明四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形,(下一步)由平行四边形的性质得AF∥CE,BF∥DE;(下一步)(2)连接EF(在图中作出),若四边形EHFG是矩形,∠AFB=90°,易证EF=AB,AD=EF,从而得到AB=2AD. 探究类型之四 正方形的综合例4 在数学活动课中,小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上,如图(1),他连接AD、CF,经测量发现AD=CF.(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度,如图(2),试判断AD与CF还相等吗?说明你的理由.(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转,使点E旋转至直线l上,如图(3),请你求出CF的长. 师:如何两条线段的数量关系?生:根据第一问的特殊位置下两条线段的数量关系,猜测一般情况下两条线段也相等,利用全等三角形证明即可.师:如何求特殊位置下CF的长?生:因为AD与CF相等,只要求AD的长.连接DF交OE于G,利用勾股定理求线段AD的长. 师:正方形的四条边都相等,四个角都是直角,对角线相等且互相垂直平分是解题的关键,(2)作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.(1)解析:根据正方形的性质,利用SAS证明△AOD≌△COF.(将△AOD与△COF填充上颜色)答案:答:AD=CF.证明如下:证明:在正方形ABCO和正方形ODEF中,AO=CO,OD=OF,∠AOC=∠DOF=90°,∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD,即∠AOD=∠COF.在△AOD和△COF中 ,AO=CO,∠AOD=∠COF,OD=OF,∴△AOD≌△COF(SAS),∴AD=CF. (2)解析:证明△AOD≌△COF,进而得到AD=CF(下一步)连接DF交OE于G(动画在图中作出),根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得DF⊥OE,DG=OG=OE,再求出AG.(下一步)在Rt△ADG中,利用勾股定理列式计算即可求出AD. 答案:解:与(1)同理可证明CF=AD.如图,连接DF交OE于点G,则DF⊥OE,DG=OG=OE.∵正方形ODEF的边长为,根据勾股定理可求得OE=2,∴DG=OG=OE=1,∴AG=AO+OG=3+1=4.在Rt△ADG中,根据勾股定理得AD===,∴CF=AD=. 类似性问题2. 如图(1),已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连接EB,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F.(1)求证:OE=OF.(2)如图(2),若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,交DB的延长线于点F,其他条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由. 解析:根据正方形的性质及AM⊥BE利用ASA或AAS证明△AOF≌△BOE.
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