第9讲第1课时《平行四边形的辅助线》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

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第九讲  平行四边形的辅助线［教学内容］八年级第九讲“平行四边形的辅助线”.（第一课时）［教学目标］知识技能掌握平行四边形常用的辅助线的作法.数学思考 在研究图形性质的过程中，进一步发展空间观念，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观.问题解决通过小组合作交流，培养学生独立思考及团队合作意识，经历从不同角度分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法，在与他人合作交流的过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论.情感态度积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲，感受成功的快乐，体验独自克服困难，解决数学问题的过程，有客服困难的勇气，具备学好数学的信心.[教学重点、难点]重点：平行四边形辅助线的作法难点：平行四边形辅助线的作法[教学准备]动画多媒体语音课件     第一课时教学路径 导入：师：我们都知道解决几何问题时经常需要添加一些辅助线来帮助我们解题，那么在解决平行四边形的相关问题时，我们经常会怎样做辅助线呢？生积极思考回答，师做总结：（1）连接对角线或平移对角线；（2）过顶点做对边的垂线构造直角三角形；（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线构造线段平行或中位线；（4）过顶点作对角线的垂线，构造线段平行或全等三角形；（5）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造等积三角形. 启动型问题：福尔摩斯巧辨平行四边形一天，大侦探福尔摩斯来平行四边形先生家做客，走进院子，看到一大群四边形孩子正在玩耍.福尔摩斯问平行四边形先生道：“平行四边形先生，这些孩子都是你们家的吗？”平行四边形先生说：“我们家哪有这么多孩子呀！都说你是神探，你能从中辨别出哪些是我们平行四边形家族的成员吗？”神探福尔摩斯答道：“那我就试试吧！不过我有个要求，他们必须说说各自的特征.”“当然可以.”平行四边形先生爽快地答道.只见平行四边形先生安排院子里的孩子们依次过来.四边形1说：“我的两组对边分别平行.”福尔摩斯说：“这个是.”四边形2说：“我的两组对边分别相等.”福尔摩斯说：“这个是.”四边形3说：“我有一组对边平行且相等.”福尔摩斯说：“这个是.”四边形4说：“我的两组对角分别相等.”福尔摩斯说：“这个是.”四边形5说：“我的对角线互相平分.”福尔摩斯说：“这个是.”四边形6说：“我有一组对边平行，另一组对边相等.”福尔摩斯说：“这个不是.”四边形7说：“我有一组对边相等，且有一组对角相等.”福尔摩斯说：“这个不是.”四边形8说：“我有一组对边平行，且有一组对角相等.”福尔摩斯说：“这个是.”“真是名副其实的神探.”平行四边形先生称赞道：“神探的判断完全正确，咱们回屋再叙.”一边说一边走，二位老友径直向客厅迈去. （下一步）出示下面两个四边形            四边形6                       四边形7师：下面我们就一起来回忆一下我们前面学习的基本知识. 回顾             师：接下来我们一起来看几道例题：初步性问题探究类型之一  平行四边形辅助线作法例1  如图所示，在ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．请你以F为一个端点，和图中已知标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接______；（2）猜想: ______=______；（3）证明:____________________________________． 师：我们要连接F和哪一点成一条线段？生：连接BF.师：为什么呢？生：因为AE=CF，所以我们可以证明BF=DE.师：如何证明BF=DE？生：利用三角形全等.师：还有其他作法吗？生1：可以连接DF，DF=BE.生2：可以连接BD，利用平行四边形证明线段相等. 方法1：连接BF（动画作出），利用全等三角形和平行四边形的性质证明BF=DE．（同时将图中的△AED和△BCF同样的颜色）      答案：解：（1）连接BF（在原图中作出）．（2）猜想：BF=DE．（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BCF．在△BCF和△DAE中，CB=AD,∠BCF=∠DAE,CF=AE,∴△BCF≌△DAE，∴BF=DE．（方案1与方案2不同时存在）方案2：连接DF（动画作出），利用全等三角形和平行四边形的性质证明BE=DF．（同时将图中的△AEB和△CDF同样的颜色）答案：解：（1）连接DF（在原图中作出）．（2）猜想：DF=BE．（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，CD=AB，∴∠DCF=∠BAE．在△CDF和△ABE中，CD=AB,∠DCF=∠BAE,CF=AE,∴△CDF≌△ABE，∴DF=BE． 例2   已知：如图，四边形ABCD为平行四边形.求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD 2+DA2.  师：如何证明这个等式？生：构造直角三角形，过四边形的一个顶点作对边的垂线，利用勾股定理证明所给的等式.师：非常好，过四边形的一个顶点作对边的垂线是平行四边形辅助线的常用作法之一. 解析：过点A,D分别作AE⊥BC于点E，DF⊥BC的延长线于点F（用手动画在图中作出）.（下一步）先：动画用手描△AEC,然后在AC下面出示箭头，文字：AE2+CE2再：先动画用手描△BDF,再在BD下面出示箭头，文字： DF2+BF2.最后：给四边形AEFC填充上颜色.答案：证明：过点A,D分别作AE⊥BC于点E，DF⊥BC的延长线于点F，∴AC2=AE2+CE2=AB2-BE2+(BC-BE)2=AB2+BC2-2BE·BC,BD2=DF2+BF2=(CD2-CF2)+(BC+CF)2=CD2+BC2+2BC·CF.∵四边形ABCD为平行四边形 ，∴AB∥CD且AB=CD,AD=BC.∴∠ABC=∠DCF,AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2+2BC·CF-2BC·BE.∵∠AEB=∠DFC=90°，∴△ABE≌△DCF，∴BE=CF，∴AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2. 师：过一边的两端点作其对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形.  例3  已知，如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是CD,DA的中点，BE与CF交于点P，求证：AP=AB.    师：如何证明线段相等？生：从条件出发，有中点，倍长中线，使PA成为直角三角形斜边上的中线.师：延长一边中点与顶点的连线，把平行四边形转化为三角形.如果我们从结论出发，可能想到利用等角对等边证明，但是发现证明不了，还有没有别的方法？生：取BC的中点M，连接AM，交BP于N，连接MP，利用直角三角形的性质和垂直平分线的性质证明.师：非常好，到了初三我们学了新知识以后可以简化部分证明过程.方法1：倍长中线：延长CF交BA的延长线于点K（动画用手在图中作出），（下一步）（动画在图中将△CDF,△KAF两个三角形填充上颜色，然后在图中给AK，CD，AB标上短线，然后出示文字）证明△CDF≌△KAF得到AK=CD=AB；（下一步）（动画在图中将△CDF,△BCE两个三角形填充上颜色，然后在图中用手标出图中∠1=∠2，然后用手标出∠BCE,最后右手标出∠KPB为直角）证明△CDF≌△BCE得到∠1=∠2，进而证得∠KPB=90°.（下一步）（给△BPK填充上颜色，然后出示文字）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到AP=AB.                                                                                                                                                              答案：证明：延长CF交BA的延长线于点K.∵四边形ABCD为正方形,∴AB∥CD且AB=CD,CD=AD,BC=CD,∠BAD=∠BCD=∠D=90°,∴∠DCF=∠K，又∵∠D=∠FAK=90°,DF=AF，∴△CDF≌△KAF，∴AK=CD=AB.∵CE=CD,DF=AD，∴CE=DF.∵∠BCD=∠D=90°，∴△BCE≌△CDF，∴∠1=∠2.∵∠2+∠PCB=90°，∴∠1+∠PCB=90°，∴∠CPB=90°,∴∠KPB=90°，∴AP=AB.方法2：取BC的中点M，连接AM，交BP于N，连接MP（动画在图中作出），（下一步）（动画在图中将△CDF,△BCE,△ABM填充上同种颜色，然后用手将CF,BE描红，标垂直符号，用手将CF,BE描红，标垂直符号，出示文字）证明CF⊥BE，AM⊥BE，（下一步）（用手描一边△BC的三条边，然后用手给MP和BM标上短线，然后出示文字）利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得MB=MP；（下一步）证明AM是BP的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到AP=AB. 答案：证明：∵四边形ABCD为正方形,∴BC=CD,∠BAD =∠D=90°.∵CE=CD,DF=AD，∴CE=DF.∴△BCE≌△CDF，          ∴∠BEC =∠CFD，          ∴∠BEC +∠DCF=90°，          ∴∠CPB =90°，          同理∠ANB =90°.          ∵M为BC的中点，          ∴MB=MP，          ∴NB=NP，∴AM是BP的垂直平分线,∴AP=AB. 类似性问题1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD=AB．连接DE，DF．（1）求证：AF与DE互相平分；（2）若BC=4，求DF的长． 解析：（1）连接EF,AE（动画在图中作出），证明四边形AEFD是平行四边形（给图中四边形填充上颜色）；（下一步）（2）DF=AE=BC=2. 2.如图，在△ABC中，点E,F为AB上两点，AE=BF，ED∥AC，FG∥AC交BC分别为D，G.求证：ED+FG=AC.     解析：截长补短：过点E作EH∥BC交AC于H（动画在图中作出），（下一步）证明四边形CDEH是平行四边形得到ED=CH，（给四边形CDEH填充上颜色）（下一步）证明△BFG≌△EAH得到FG=AH.(给两个三角形填充颜色)