第9讲第2课时《平行四边形的辅助线》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

教学路径

初步性问题

探究类型之二   菱形的辅助线作法

例4  如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD与BC交于点D,E是AB上一点，且AE=AC, EF∥BC,交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形．

师：如何证明四边形CDEF是菱形？

生：从条件出发，由AE=AC，∠CAD=∠EAD我们可通过全等证明四边形有一组邻边相等，再证四边形为平行四边形即可.

师：还有其他方法吗？

生：由AE=AC，∠CAD=∠EAD我们可连接CE，得到FD垂直平分CE，再利用全等证明FD也被平分.

师：非常好，我们从两个不同的方向去证明四边形是菱形，同一个条件我们可以从不同的角度去理解，菱形常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连接菱形的对角线.

解析：

连接CE（动画在图中作出）交AD于点O，

（下一步）（右手将AC，AE描红，然后用手标出∠CAD和∠EAD,然后在∠AOC处标上垂直符号，给CO和OE标上短线，然后出示文字）

根据等腰三角形三线合一的性质证明AD垂直平分CE；（下一步）

先将△COD与△EOF填上颜色，动手给CO和OE标上短线，然后出示文字：证明△COD≌△EOF得到OD=OF.

答案：

证明：连接CE交AD于点O，如图.

由AC=AE得△ACE是等腰三角形.

∵AO平分∠CAE，

∴AO⊥CE，且OC=OE.

∵EF∥CD，

∴∠EFO=∠CDO.

又∵∠COD=∠EOF，

∴△COD≌△EOF,

∴OF=OD，

∴CE、DF互相垂直平分，

∴四边形CDEF是菱形.

初步性问题

探究类型之三 矩形的辅助线作法

例5  如图，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的长.

师：如何求PD的长？

生：过点P分别作两组对边的的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G，利用勾股定理证明.

师：利用方程的思想求解几何题目，充分体现了数形结合的数学思想.

解析：

过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G（动画在图中作出），

（下一步）

设PG=a，PE=b，PH=c，PF=d，（在图中作出）根据勾股定理有：

PA2=a2+b2，

PB2=b2+c2，

PC2=c2+d2，

PD2=d2+a2，

  （下一步）所以PA2+ PC2 =PB2+ PD2，（用手将描AP和PC同色，用手将描BP和PD同色，在图中变色，然后再出下一行的文字）

所以PD2= PA2+ PC2-PB2.

答案：

解：过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G.

由四边形ABCD是矩形，易知四边形PFCH,AEFD,EBHP是矩形,

设PG=a，PE=b，PH=c，PF=d，（在图中作出）根据勾股定理有：

PA2=a2+b2，

PB2=b2+c2，

PC2=c2+d2，

PD2=d2+a2，

    所以PA2+ PC2 =PB2+ PD2，

所以PD2= PA2+ PC2-PB2=32+52-42=18,

所以PD=3.

初步性问题

探究类型之四 正方形的辅助线作法

例 6  如图，过正方形ABCD的顶点B作BE∥AC，

且AE=AC，又CF∥AE.求证：∠BCF=∠AEB.

师：如何证明两角之间的数量关系？

生：（预设）根据要证的结论和已知条件我们知道即是要证∠AEB=30°.

师：如何证明∠AEB=30°？

生：（预设）连接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H，可证AH=AE.

师：非常好，正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形.解决正方形的问题时需要作辅助线，连接正方形的对角线是解决正方形问题常用的辅助线.

解析：（用手描一遍BE，AC，再用手描AE,CF两个颜色不同，在图中给AE，AC标上短线，然后出示文字，出完文字，用手在图中标上好∠ACF和∠AEF）

证明四边形AEFC是菱形得到∠ACF=∠AEF.

（下一步）

连接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H（动画在图中作出），

（下一步）给四边形OAHB填充上红色，△AEH填充上绿色，然后出示文字：

在Rt△AHE中证明∠AEH=30°；（下一步）

∠BCF=∠ACB-∠ACF=45°-30°=15°.

答案：

证明：连接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H.

在正方形ABCD中，AC⊥BD，AO=BO，

又∵BE∥AC，AH⊥BE，

∴AH⊥AO，

∴四边形AOBH为正方形，

∴AH=AO=AC.

∵AE=AC，

∴∠AEH=30°.

∵BE∥AC，AE∥CF，

∴四边形ACFE是平行四边形.

又∵AC=AE,

∴平行四边形ACFE是菱形，

∴∠AEF=∠ACF=30°.

∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠ACB=45°，

∴∠BCF=15°，

∴∠BCF=∠AEB.

师：正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形.解决正方形的问题时需要作辅助线，连接正方形的对角线是解决正方形问题常用的辅助线.

类似性问题

3. 如图，已知点O在菱形ABCD内，过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AD于F，且OE=OF．

（1）求证：OB=OD；

（2）把菱形换成矩形、平行四边形、等腰三角形，上述结论仍成立吗？（写出结论，不证明）

解析：

连接AC，BD（动画在图中作出），

（下一步）根据角平分线的判定定理证明点O在AC上，再根据线段垂直平分线的性质得到OB=OD.

4.如图①，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，那么EF⊥AE”．他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图②、③、④），其他条件不变，发现仍然有“EF⊥AE”结论．

你同意小明的观点吗？同意，请结合图④加以证明；若不同意，请说明理由．

解析：

延长AE交BC的延长线于点M（动画在图中作出，然后将△ADE与

△MCE填充颜色，然后照图中黑色和紫色的线用手标出，然后再出文字），证明△ADE≌△MCE得到AE=ME，∠M=∠DAE；

（下一步）

进而证明∠M=∠FAE，△AFM为等腰三角形；（下一步）

根据等腰三角形三线合一的性质得到EF⊥AE.