第10讲第1课时《一次函数》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

一、创设情景，导入新课

师：欢迎大家走进佳—数学思维训练课堂，在这里大家感受到学习的快乐，我们首先来看一段大家都耳熟能详的小故事：

课件播放启动型问题前面的动画（下一步）

师：这是什么故事啊？

生：龟兔赛跑

师：那么你们谁能用语言来描述下这个故事呢？

指定学生描述.

师：这位同学描述的非常棒，我们学习过了函数图象，哪位同学能够用数学语言，也就是用函数图象来表示乌龟和兔子所行路程与时间的关系呢？动手画一画.

“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用s1、s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是哪一个呢？（     ）

解析：龟兔赛跑的整个过程共分三个阶段：(分三步，每一步)

①    开始时兔子的速度比乌龟的速度快，s2在s1的上方；s1、s2随时间t的增大而增大.

②    兔子睡觉，，s2随时间t的增大而保持不变；乌龟的速度不变，s1随时间t的增大而增大；在兔子睡觉时，乌龟追上兔子后，s1在s2的上方.

③      睡醒后，兔子加速追赶，s2随时间t的增大而增大；

但是乌龟先到达终点，所以s1在s2的上方.

答案：D

师：亲爱的同学们，你能分析出图象中各段折线所表示的含义吗？

老师指定学生表述，其他学生补充.

师：这节课呢老师就带领大家一起来学习一下一次函数的知识，首先我们来一起回顾一下函数的基本知识：

1.函数：

一般地，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，则称y是x的  函数    ，其中x叫   自变量   .（下一步填空，再下一步）

自变量的取值范围：（1）使函数关系式有意义；（2）使实际问题有意义. （下一步）

2.函数的图象：

定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象. （下一步）

画法：列表，描点，连线. （下一步）

3. 正比例函数：

定义：一般地，形如 y=kx  （k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫比例系数. （下一步）

图象：过（0，0）和（1，k）的直线. （下一步）

性质：（1）当k＞0时，直线y=kx经过第  一、三   象限，从左向右上升，即随着x的增大y也  增大     ；

（2）当k＜0时，直线y=kx经过第 二、四    象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而 减小      . （下一步）

4. 一次函数：

定义：一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数. （下一步）

图象：一次函数y=kx+b的图象是一条直线. （下一步）

平移：可看作由直线y=kx(k≠0)平移｜b｜个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）. （下一步）

性质：（1）当k＞0时，直线y=kx+b由左至右上升，y随x的增大而 增大     ；

（2）当k＜0时，直线y=kx+b由左至右下降，y随x的增大而   减小      .

二、自主探究，合作交流

初步性问题

探究类型之一   根据函数图象获取实际问题的情景

例1  某天，小明走路去学校，开始他以较慢的速度匀速前进，然后他越走越快，走了一段时间，最后他以较快的速度匀速前进到达学校.小明走路的速度v（米/分）是时间t（分）的函数，能正确反映这一函数关系的大致图象是（      ）

师：首先确定横轴、纵轴所表示的意义？

生：横轴表示时间，纵轴表示速度.

师：小明速度的变化过程是？

生：先匀速再加快再匀速.

师：匀速是指？

生：速度不随时间的变化而变化.

师：表现在图象上是？

生：一条线段.

解析：

匀速运动即速度不变，两次匀速运动的速度不同.

答案：A

师小结：观察函数增减性的技巧：

当函数图象从左到右呈“上升” 状态时，函数y随x的增大而增大；

当函数图象从左到右呈“下降”状态时，函数y随x的增大而减小，反之也成立.

当x在某个区间上取值时，函数y的值始终是一个常数，那么在这个区间上函数的图象是平行于x轴的线段（或射线或直线）.

师：好，我们继续

探究类型之二   一次函数的性质

例2  如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线y=x+b与△ABC有交点时，b的取值范围是（      ）

A.-1≤b≤1             B.-≤b≤1

C.-≤b≤             D.-1≤b≤

师：如何求b的取值范围？

生：求当直线y=x+b经过点A，B，C时对应的b的值.

师：注意数形结合.

解析1：动画：

（下一步）分别求出当直线y=x+b经过点B，C时对应的b的值；（下一步）

把B（3，1）坐标代入y=x+b得1=+b，b =-；

把C（2，2）坐标代入y=x+b得2=1+b，b =1；（下一步）

综上可知b的取值范围是-≤b≤1.

解析2：

考虑极端情况，分别求出当直线y=x+b经过点A，B，C时对应的b的值；（下一步）

把A（1，1）坐标代入y=x+b得1=+b，b =；（下一步）

把B（3，1）坐标代入y=x+b得1=+b，b =-；（下一步）

把C（2，2）坐标代入y=x+b得2=1+b，b =1；（下一步）

综上可知b的取值范围是-≤b≤1.

答案：B

探究类型之三  求一次函数的解析式

例3  已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是-2≤y≤4,则kb的值为（    ）

A. 12    B. -6    C. -6或-12     D. 6或12

师：如何求kb的值？

生：分情况讨论，k＞0，y随x的增大而增大，确定过直线上两点的坐标分别为（0，-2），（2,4）；k＜0，y随x的增大而减小，确定过直线上两点的坐标分别为（0，4），（2,-2）,进而分别求出k,b的值.

师：（1）用待定系数法求一次函数解析式的步骤：

设：设一般式y=kx+b(k≠0)；

列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组）；

解：解出k、b；

写：写出一次函数的解析式.

（2)分类讨论是常用的数学思想.

解析：分k＞0和k＜0两种情况讨论.

（下一步）

当k＞0时，解得 kb=-6；（下一步）

当k＜0时，解得 kb=-12.

答案：C

探究类型之四     一次函数的性质运用

例4  在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形.如图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B，则△OAB为此函数的坐标三角形.

（分两道题出示）

（1）求函数y=-x+3的坐标三角形的三条边长；

（2）若函数y=-x+b(b为常数）的坐标三角形的周长为16，求此三角形的面积.

师：如何求函数y=-x+3的坐标三角形的三条边长？

生：先求直线与坐标轴的交点坐标.

师：对于第（2）我们要想求出三角形的面积，我们必须求出b的值，那我们怎么求呢？

生：先用b表示出三角形的三边长,根据三角形的周长等于16列方程.

师提示学生分情况讨论.

解析：

（1）分别求出直线y=-x+3与两坐标轴的交点坐标，再求边长；（下一步）

（2）分别对b＞0和b＜0进行讨论.

答案：

解：（1）∵直线y=-x+3与x轴的交点坐标为（4，0），与y轴的交点坐标为（0，3），

∴函数y=-x+3的坐标三角形的三条边长分别为3，4，5.

（2）直线y=-x+b与x轴的交点坐标为（b,0）,与y轴的交点坐标为（0，b).

当b＞0时，b+b+b=16,得b=4，此时，坐标三角形的面积为；

当b＜0时，-b-b-b =16,得b=-4，此时，坐标三角形的面积为.

综上，当函数y=-x+b的坐标三角形的周长为16时，此坐标三角形的面积为.

（下一页）

小结：直线y=kx+b与x轴的交点为（-,0）,与y轴的交点为（0，b),且这两个交点与坐标原点构成的三角形的面积为

·｜-｜·｜b｜.

探究类型之五   一次函数图象上点的坐标

例5  如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线y=2x-4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是_________.

师：什么时候线段AB最短呢？

生：AB垂直直线y=2x-4

师：如何求点到直线的距离？

生：（预设）求点B的坐标.

师：如何求点的坐标？

生：求出两条直线的解析，然后联立，然后求交点坐标.

解析：当AB′⊥BB′时，点B′的坐标即为当线段AB最短时B点坐标.(动画做垂线)（下一步）

设AB′的解析式为y=kx+b，

∵AB′⊥BB′，BB′所在直线解析式为y=2x-4，

∴2k=-1，k=，即 y=x+b.

把（-1，0）坐标代入，得0=+b，即b=，

∴AB′的解析式为y=x；（下一步）

解方程组得

∴B′.

答案：

三、总结反思，拓展升华

［总结］本节课我们学习了哪些数学知识与数学的方法？

主要有待定系数法求一次函数的解析式.