第12讲第1课时《一次函数的应用》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

教学路径

方案说明

一 、课前谈话：

欢迎大家走进佳—数学思维训练课堂，在这里大家感受到学习的快乐，数学源于生活，服务于生活，在现实生活中有太多的事情需要我们用数学知识：用函数的思想来解决，大家讨论一下，来举一些例子.

生讨论，列举.

师：这里也有一个实例，我们一起来看一下：

小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：

请根据图中给出的信息，解答下列问题：

（1）放入一个小球后，量桶中水面升高多少？

（2）你知道放入小球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式是什么？

（3）量桶中至少放入几个小球后有水溢出？

小亮：（1）放入三个球后，量桶中的水面上升6 cm，由此可求放入一个小球后，量桶中水面升高的高度为（36-30）÷3=2 cm；

小萍：（2）设一次函数的关系式为y=kx+b，把(0,30)，(3,36)坐标代入得解得即y=2x+30．

小颖：（3）由2x+30>49，得x>9.5，即至少放入10个小球后有水溢出．

二、自主探究，合作交流

师：用一次函数解决实际问题的一般方法是什么呢？

回顾：

用一次函数解决实际生活问题：

方法：从给定的信息中抽象出一次函数关系，再利用一次函数的图象和性质求解，要求出自变量的取值范围.

常见类型：

（1）求一次函数的解析式；

（2）利用一次函数的图象与性质解决某些问题，如最大（小）值问题等.

师：下面我们来看几道例题：

初步性问题

探究类型之一   利用一个一次函数的方案选择

例1：某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，购进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元.甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6 710元且不超过6 810元购进这两种商品共100件.

(1)求这两种商品的进价；

(2)该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？

师：如何求两种商品的进价？

生：根据等量关系甲的进价=乙的进价×；甲的进价×3+乙的进价×1=200元列方程(组)求解.

学生独立列方程(组)求解，然后师指定学生说说自己的解题思路.

师：该商店有几种进货方案使得利润最大？

生：该商店购进a件甲商品，列出利润关于a的函数关系，根据函数的增减性求最大值.

师：（1）读懂题目信息，理清题中不等量关系，列出不等式组是解题的关键.（2）利用一次函数的增减性求最值要注意自变量的取值范围．

解析：

（1）相等关系：甲的进价=乙的进价×；

甲的进价×3+乙的进价×1=200元；（下一步）

（2）相等关系：甲的数量+乙的数量=100件；

不等关系：6710≤甲的数量×甲的进价+乙的数量×乙的进价≤6810．

答案：

解：(1)设甲商品的进价为x元，则乙商品的进价为2x元，

根据题意，列方程得：3x+2x=200，解得x=40，

即甲商品的进价为40元，则乙商品的进价为80元.

(2)设该商店购进a件甲商品，则购进(100-a)件乙商品.

根据题意，得6710≤40a+80(100-a)≤6810，解得29≤a≤32.

∵a为正整数,∴a=30或31或32，即有三种进货方案：

购进30件甲商品，70件乙商品；

购进31件甲商品，69件乙商品；

购进32件甲商品，68件乙商品.

(下一步)

设销售两种商品的利润为W，则

W=(80-40)a+(130-80)(100-a)=-10a+5 000.

∵W是a的一次函数，且W随a的增大而减小，

∴当a=30时，W有最大值，为4700，即购进30件甲商品，70件乙商品时可获得最大利润，最大利润是4700元.

例2：某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示：

（此题分两题出示）

（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？

（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？

师：第一问的等量关系你找到了吗？

生：A型台灯的数量+B型台灯的数量=100台；

A型台灯的进货款+B型台灯的进货款=3500元.

师：如何确定进货方案使得利润最大？

生：列出利润关于A型台灯数量的函数关系式，然后根据B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍求自变量的取值范围，在取值范围内求利润的最大值.

师：利用一次函数进行方案选择问题时，一般先根据题意建立一次函数关系式，再根据题目要求及实际意义列不等式（组），求出自变量的取值范围，然后根据一次函数的性质及自变量的最大（或最小）整数解来求函数值的最值，从而确定方案.

解析：（1）等量关系：

A型台灯的数量+B型台灯的数量=100台；

A型台灯的进货款+B型台灯的进货款=3500元.

(下一步）

（2）表示出利润关于A型台灯数量(B型台灯数量)的函数关系式，

(下一步)根据“B型台灯数≤A型台灯数×3”确定出自变量的取值范围，然后根据一次函数的增减性确定利润最大值.

答案：

（1）    解：设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100-x）盏.

根据题意,得30x+50(100-x)=3500,

解得x=75，∴100-x=25.

答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏.

（2）    设商场应购进A型台灯x盏，商场销售完这批台灯可获利y元，

则y=(45－30)x+(70－50)(100－x)=－5x+2000.

由题意得100－x≤3x，解得x≥25.

∵k=－5＜0，∴y随x的增大而减小，

∴当x=25时，y取得最大值－5×25+2000=1875（元）.

答：商场购进A型台灯25盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯获利最多，此时利润为1875元.

类似性问题

1. 某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套．经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需

1820元．

（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？

（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳的23，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？

1、学生独立解答完成本题，最后找学生来说说自己的解答过程.

2、老师评价.

课件出示解析：（1）等量关系：

一套B型课桌凳的价钱－一套A型课桌凳的价钱=40元，

购买4套A型课桌凳的价钱+购买5套B型课桌凳的价钱=1820元.

(下一步)

（2）等量关系：购买 A型课桌凳的数量+购买B型课桌凳的数量=200元.

     不等关系：购买A型课桌凳的价钱+购买B型课桌凳的价钱≤40880元；

                购买 A型课桌凳的数量≤购买B型课桌凳数量的.

2.建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A，B两种树木，需要购买这两种树苗1000棵．A，B两种树苗的相关信息如下表：

设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元．解答下列问题：

（1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；

（2）若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少元？

（3）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B种树苗多少棵？

三、总结反思，拓展升华

这节课我们主要学习了不等式组解法的相关知识，同学们自己思考掌握的怎么样？还有哪些地方需要努力.

教师引导学生寻找信息；尝试解答。（假如解决有困难，可以在第一课时讲解完成后在来叫学生独立解答）

学生相互交流；

尝试解答