第12讲第2课时《一次函数的应用》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

教学路径

方案说明

一、课前谈话

上节课，我们学习了一些利用一次函数解决的实际问题，知道了利用一次函数解决实际问题的基本方法和步骤，这节课呢我们继续来学习利用一次函数来解决实际问题，不过我们前面学习的实际问题中都只涉及一个一次函数，而下面我们遇到的问题可不是一个函数就能解决的了.下面我们一起来看一看：

二、自主探究，合作交流

初步性问题

探究类型之二  利用两个一次函数的方案选择

例3   川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务.为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商.经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元.经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费.另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人.

(1)分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1(元)和y2(元)与参演男生人数x之间的函数关系式.

(2)问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．

师：首先通过审题，大家能否列出两种方案下总费用与男生人数的函数关系式？

学生独立思考，指定学生说说自己答案.

生： y1=0.7［120x+100(2x－100)］+2200=224x－4800，

y2=0.8［100(3x－100)］=240x－8000.

师：如何做出合理的选择？

生：比较y1，y2大小.

师：解方案选择题的一般步骤：（1）建立数学模型——列出两个函数关系式；（2）通过解不等式或利用图象来确定自变量的取值范围；

（3）选择出最佳方案.

解析：

（1）根据“总费用=男生的人数×男生每套的价格+女生的人数×女生每套的价格”分别表示出y1（元）和y2（元）与男生人数x之间的函数关系式；

（下一步）

（2）根据条件可以知道购买服装的费用随x的变化而变化，分情况讨论：y1＞y2，y1=y2，y1＜y2，求出x的取值范围．

答案：

解：

(1)总费用y1(元)和y2(元)与参演男生人数x之间的函数关系式分别是：

y1=0.7［120x+100(2x－100)］+2200=224x－4800，

y2=0.8［100(3x－100)］=240x－8000.

(2)

当y1＞y2时，即224x－4800＞240x－8000，解得x＜200；

当y1 = y2时，即224x－4800=240x－8000，解得x=200；

当y1＜y2时，即224x－4800＜240x－8000，解得x＞200.

即当参演男生少于200人时，购买B公司的服装比较合算；

当参演男生等于200人时，购买两家公司的服装总费用相同，可选择任一家公司购买；

当参演男生多于200人时，购买A公司的服装比较合算.

探究类型之四 利用一次函数与不等式的关系进行方案选择

例4   某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示.

（分两道题出示）

（1）填空：甲种收费的函数关系式是___________________,乙种收费的函数关系式是___________________．

师：图中哪一条直线表示的甲种收费，哪一条直线表示的是乙种收费？

生：因为甲种方式有制版费，所以上边的直线表示的甲种收费方式,因为乙种收费方式没有制版费，所以过原点的直线就是乙种收费方式.

师：说得非常好，那你们会求甲乙两种收费函数关系式吗？

生：待定系数法.

生独立完成，然后找学生说说自己的答案，其他同学更正.

解析：动画在“甲种方式还需收取制版费而乙种不需要”下面划线，

然后用手将上边的线描红标上：y甲，用手将下面的线描绿标上：y乙

（下一步）

设甲种收费的函数关系式y甲=kx+b，乙种收费的函数关系式是y乙=k1x，运用待定系数法求解.

（下一步）

设甲种收费的函数关系式y甲=kx+b，乙种收费的函数关系式是y乙=k1x，由题意，得100k1=12，

解得k1=0.12,

∴y甲=0.1x+6(x≥0), y乙=0.12x(x≥0).

答案：

y甲=0.1x+6(x≥0), y乙=0.12x(x≥0).

（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？

师：如何选择印刷方式呢？

生：比较y甲，y乙大小.

解析：根据条件可知购买服装的费用随x的变化而变化，分三种情况进行讨论：

y甲＞y乙， y甲=y乙， y甲＜y乙，求出x的取值范围．

答案：

解：由题意，得

当y甲＞y乙时，0.1x+6＞0.12x，得x＜300；

当y甲=y乙时，0.1x+6=0.12x，得x=300；

当y甲＜y乙时，0.1x+6＜0.12x，得x＞300.

∴当100≤x＜300时，选择乙种方式合算；

当x=300时，甲、乙两种方式一样合算；

当300＜x≤450时，选择甲种方式合算．

师：解方案选择题的一般步骤：

1.建立数学模型——列出函数关系式；

2.通过解不等式或利用图象来确定自变量的取值范围；

3.选择出最佳方案.

类似性问题

3.某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用.该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球.设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB （元）.请解答下列问题：

（1）分别写出yA和yB与x之间的关系式.

（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？

（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案.

1、学生独立解答完成本题，最后找学生来说说自己的解答过程.

2、老师评价.

三、课堂小结：

通过今天课的学习，你都收获了哪些知识呢？相信大家对函数应用题都有了一定的了解和掌握。希望你们在以后的学习中遇到类似的问题能迎刃而解、收获更多。                      

找学生读题

有什么收获？