2022-2023学年天津市南开中学高三下学期第四次月考数学试题含解析

   2023届高三第四次月考

数学

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，，则集合（    ）

A.  B.  C.  D.

2. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

3. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 学校组织班级知识竞赛，某班的12名学生的成绩（单位：分）分别是：，则这12名学生成绩的分位数是（    ）．

A. 92 B. 87 C. 93 D. 91

5. 已知，，，则的大小关系是（    ）．

A.  B.

C.  D.

6. 已知一个正四棱柱所有棱长均为3，若该正四棱柱内接于半球体，即正四棱柱的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则半球体的体积为（    ）．

A  B.  C.  D.

7 已知函数，有下述三个结论：

①的最小正周期是；

②在区间上单调递减；

③将的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，得到函数的图象.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A ① B. ② C. ①② D. ①②③

8. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于点，交抛物线的准线于点，若三角形（为原点）的面积，则双曲线的方程为（ ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ）．

A.  B.

C  D.

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．

10. 复数z满足（i是虚数单位），则复数z为__________．

11. 在的展开式中，的系数是__________．

12. 直线l经过点P（5，5）且和圆C：相交，截得弦长为，则l的方程是______．

13. 某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．则该选手仅回答正确两个问题的概率是______；该选手闯关成功的概率是______．

14. 已知，，，则的最小值为__________．

15. 如图，在边长为1的正方形中，P是对角线上一点，且，则__________，若点M为线段（含端点）上的动点，则的最小值为__________．

三、解答题：

16. 在中，角所对的边分别为.已知.

（1）求A的值；

（2）求的值；

（3）求的值.

17. 如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD，，，，点P为棱DF的中点.

（1）求证：平面APC；

（2）求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；

（3）求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值.

18. 已知椭圆，其离心率为，右焦点为，两焦点与短轴两端点围成的四边形面积为.

（1）求椭圆的标准方程：

（2）直线与椭圆有唯一的公共点（在第一象限，此直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点且，求直线的斜率.

19. 设是公比大于0的等比数列，是等差数列，已知，，，．

（1）求数列，数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

20. 已知函数，在点处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）对于在中的任意一个常数，是否存在正数，使得，请说明理由.

2023届高三第四次月考

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，，则集合（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出，计算求解即可.

【详解】根据题意得，，所以.

故选：A.

2. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数函数、幂函数的单调性将问题转化，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；

【详解】解：因为在上单调递增，由得到，由在定义域上单调递增，又，即，所以；

故由能够推得出，即充分性成立；由推不出，即必要性不成立，故是的充分不必要条件；

故选：A

3. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】本题可用排除法，先根据函数的奇偶性排除A、B选项，再由特殊值，即可确定结果.

【详解】因为函数定义域为R，且，所以为偶函数，排除A、B；又，排除D，即可确定答案为C.

故选：C

【点睛】本题主要考查函数性质的应用体现学生数形结合思想，属于中档题.

4. 学校组织班级知识竞赛，某班的12名学生的成绩（单位：分）分别是：，则这12名学生成绩的分位数是（    ）．

A. 92 B. 87 C. 93 D. 91

【答案】C

【解析】

【分析】根据百分位数概念，计算，即可求得答案.

【详解】因为，

故的分位数是，

故选：C

5. 已知，，，则的大小关系是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数以及对数函数的性质可判断的范围，结合指数函数的单调性，判断的大小，可得答案.

【详解】由题意得，，

，

由于是R上的递增函数，且，故，

故，

故选：B

6. 已知一个正四棱柱所有棱长均为3，若该正四棱柱内接于半球体，即正四棱柱的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则半球体的体积为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】作出半球体的截面图，求出半球的半径，即可求得答案.

【详解】设正四棱柱的底面在半球的底面圆上，

则球心O为的中心，

作出半球体的截面图如图，四边形为正四棱柱的对角面，连结 ，

正四棱柱所有棱长均为3，

所以，

即半球的半径，

所以半球体的体积为，

故选：A

7. 已知函数，有下述三个结论：

①的最小正周期是；

②在区间上单调递减；

③将的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，得到函数的图象.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A. ① B. ② C. ①② D. ①②③

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可判断①；利用正弦型函数的单调性可判断②；利用三角函数图象变换可判断③.

【详解】因为.

对于①，函数的最小正周期是，①对；

对于②，当时，，

所以，函数区间上单调递减，②对；

对于③，将的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，

得到的图象，③错.

故选：C.

8. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于点，交抛物线的准线于点，若三角形（为原点）的面积，则双曲线的方程为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由抛物线方程得出焦点坐标和准线方程，联立直线与渐近线方程得出的坐标，联立直线与准线方程得出的坐标，根据三角形的面积得出，再结合，，可解得结果.

【详解】由得，所以，

所以直线，抛物线的准线为：，

联立可得，所以，

联立可得，所以，

所以，

所以，所以，即，

又，，

所以，所以，所以，

所以双曲线的方程为.

故选：D.

【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的几何性质，考查了三角形的面积，考查了运算求解能力，属于基础题.

9. 已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分析每一段函数，结合对勾函数和二次函数的性质以及复合函数的单调性作出函数图像即可求解.

【详解】令，当时，函数在区间上单调递减，易得，且存在唯一的实数满足，

当时，由对勾函数的性质可知：在区间上单调递减，在上单调递增，

结合复合函数的单调性可知：函数在上单调递减，在上单调递增；

当且仅当时，函数，

令，解得，

则由二次函数的图像和性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增，

这里很容易注意到函数，关于直线对称，

则函数的图像关于直线对称，作出函数的图像，如下图所示：

函数有4个零点，即方程有4个根，也就是方程有4个根，即与的图像有4个不同的交点，

因为当时，函数，

结合图像可得：或，解得：或，

故选：.

【点睛】关键点睛：这道题的关键之处是把分段函数的图象画出来，利用需要解出对勾函数的性质，二次函数的对称性，然后结合图象得到零点个数为4的满足条件

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．

10. 复数z满足（i是虚数单位），则复数z为__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求得，即可求得复数z.

【详解】因为，所以，

故，

故答案为：

11. 在的展开式中，的系数是__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意写出二项式展开式的通项公式，令，求得r的值，即可求得答案.

【详解】由题意可得的通项为，

令，

则的系数是，

故答案为：

12. 直线l经过点P（5，5）且和圆C：相交，截得弦长为，则l的方程是______．

【答案】或

【解析】

【分析】首先判断直线的斜率是否存在，然后结合弦长、点到直线的距离公式、圆的几何性质求得直线的方程.

【详解】圆的圆心为，半径.

若直线的斜率不存在，则直线的方程为，

直线与圆相切，不符合题意，所以直线斜率存在，设为，

故直线的方程为，即，

由于直线与圆相交所得弦长为，

所以圆心到直线的距离，

所以，

两边平方得，解得或，

所以直线的方程为或，

即或

故答案为：或

13. 某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．则该选手仅回答正确两个问题的概率是______；该选手闯关成功的概率是______．

【答案】    ①.     ②. ##0.5

【解析】

【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件加法求选手仅回答正确两个问题的概率，分析知只需第三问回答正确则选手即可闯关成功，否则失败，即可确定选手闯关成功的概率.

【详解】由题设，选手仅回答正确两个问题的概率，

由题意，只要第三问回答正确，不论第一、二问是否正确，该选手得分都不低于30分，

只要第三问回答错误，不论第一、二问是否正确，该选手得分都低于30分，

所以选手闯关成功，只需第三问回答正确即可，故概率为.

故答案为：，

14. 已知，，，则的最小值为__________．

【答案】12

【解析】

【分析】利用已知将化为，利用基本不等式即可求得答案.

【详解】由题意，，，

则，

当且仅当，即时取等号，

即的最小值为12，

故答案为：12

15. 如图，在边长为1的正方形中，P是对角线上一点，且，则__________，若点M为线段（含端点）上的动点，则的最小值为__________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，求得正方形各顶点坐标，利用向量的坐标运算求得，可得的坐标，根据数量积的坐标运算，求得；设，表示出，可得坐标，继而求得的表达式，结合二次函数性质求得的最小值.

【详解】如图，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则，

∴，

∵P是对角线上一点，且，可得，

∴，，

∴；

 因为点M为线段（含端点）上的动点，则设,

故，

所以，，

故，

由于，所以时，取到最小值，

即的最小值为，

故答案为：；

三、解答题：

16. 在中，角所对的边分别为.已知.

（1）求A的值；

（2）求的值；

（3）求的值.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）先求出，利用正弦定理求出，即可求出A；

（2）先利用和差角公式求出，利用正弦定理求出c；

（3）利用二倍角公式和和差角公式即可求解.

【小问1详解】

因为,所以.

因为，由正弦定理得：,所以.

因为，，所以.

【小问2详解】

由（1）知：.

因为，所以

.

由正弦定理得：.

【小问3详解】

由（1）知：.

所以.

.

所以.

17. 如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD，，，，点P为棱DF的中点.

（1）求证：平面APC；

（2）求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；

（3）求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）连接BD，交AC于点O，由中位线定理和线面平行判定定理即可证明结果；

（2）建立空间直角坐标系，写出坐标，求得平面的法向量，根据线面角公式即可求得直线与平面所成角的正弦值；

（3）由（2）可知平面的法向量，再求得平面的法向量，利用空间向量法即可求出结果.

【小问1详解】

证明：连接BD，交AC于点O，又P，O分别为DF和DB的中点，

所以，

因为平面APC，平面APC，所以平面APC；

【小问2详解】

解：直线平面ABCD，平面ABCD，所以，

由（1）得，，

所以以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

，，，，，，

所以，，

设平面BCF的法向量，

，，解得，

又.

设直线DE与平面BCF所成角的正弦值，

所以，

所以直线DE与平面BCF所成角的正弦值；

【小问3详解】

解：由（2），，，

设平面APC的法向量为，

则，即，令，则，，

所以平面APC的法向量，

所以，

所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为.

18. 已知椭圆，其离心率为，右焦点为，两焦点与短轴两端点围成的四边形面积为.

（1）求椭圆的标准方程：

（2）直线与椭圆有唯一的公共点（在第一象限，此直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点且，求直线的斜率.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由已知可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且，将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出，列出韦达定理，求出点、的坐标，进而求出点的坐标，由已知可得出，可求得，结合可求得的值.

【小问1详解】

解：由题意可得，解得，

因此，椭圆的标准方程为：.

【小问2详解】

解：由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且，

联立，消去并整理，得，

，可得，

由韦达定理可得，，

，则点，

因为点在第一象限，则，则，直线的方程为，

在直线的方程中，令可得，即点，易知点，

，则直线的方程为，

联立可得，即点，

因为，，即，即，可得，则，

将代入可得，则，

，解得.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用三角形面积之间的等量关系求出直线的斜率，解题的关键在于求出点的坐标，将三角形面积的等量关系转化为两点坐标之间的关系，进而构建等式求解.

19. 设是公比大于0的等比数列，是等差数列，已知，，，．

（1）求数列，数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）先根据等比数列的通项公式列方程，求得公比，可求得其通项公式，继而根据等差数列的通项公式列方程，求得首项和公差，可得其通项公式；

（2）由（1）的结论可得的表达式，分别利用错位相减法和裂项求和法，即可求得.

【小问1详解】

设等比数列的公比为q，，设等差数列的公差为d．

∵，，∴，

∵，∴，∴．

∵，，∴，

∴，∴．

【小问2详解】

由（1）得，

令，，

记数列前项和为A，数列的前项和为B，

，①

则，②

①－②得，

，

∴，

又，

∴

，

∴．

20. 已知函数，在点处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）对于在中的任意一个常数，是否存在正数，使得，请说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）存在；答案见解析.

【解析】

【分析】

（1）求导，表示在点处切线方程，再由已知条件得出方程组，解之可得答案.

（2）由（1）可得，问题转化为恒成立，令，求导，分析在上的单调性，由函数的最值可求得的取值范围；

（3）假设存在正数，使得：成立.并转化为函数的最小值小于0即可.求导，分析函数的单调性，得出最值，由此可得出正数的值.

【详解】解：（1）函数的导数为，

在点处切线方程为，可得；

∴函数的切线方程为，即，

∴，解得；

（2）证明：由（1）可得，

∵，∴，即为，

可令，，

由，可得，，即有，在递增，

可得，∴，

故的取值范围为；

（3）对于在中的任意一个常数，

假设存在正数，使得：.

由成立，

从而存在正数，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可.

令，，

令，解得，令，解得，

则为函数的极小值点，即为最小值点.

故的最小值为，

再令，（），

，

则在递增，可得，则.

故存正数，使得.

【点睛】本题考查导数的几何意义，运用导函数分析函数的单调性和最值，不等式的恒成立问题的转化，属于难题.