2023浙江省杭州市中考数学模拟卷（三）（含答案）

这是一份2023浙江省杭州市中考数学模拟卷（三）（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列式子正确的是（ ）
A．49=±7B．(-3)2=-3C．23-3=2D．3×2=6
2．世界文化遗产—长城的总长约为210000米，数据210000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.21×107B．2.1×105C．2.1×106D．21×105
3．下列计算正确的是（ ）
A．5a2﹣3a2＝2B．（﹣2a2）3＝﹣6a6
C．a3÷a＝a2D．（a+b）2＝a2+b2
4．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分 ∠AOD .若 ∠BOD=40° ，则 ∠COE 的度数为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
（第4题） （第6题） （第8题） （第9题）
5．一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中3个红球，5个白球和1个黄球，从中任意摸出一个球是白球的概率是( )
A．19B．13C．59D．23
6．如图，已知圆心角∠AOB=140°，则圆周角∠ACB=（ ）
A．40°B．70°C．110°D．120°
7．元代名著《算学启蒙》中有一题：驽马日行一百五十里，良马日行二百四十里.驽马先行一十二日，问良马几何追及之.译文是：跑得慢的马每天走150里，跑得快的马每天走240里.慢马先走12天，问快马需要几天可追上慢马？若设快马需要x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（ ）
A．150×12+x＝240xB．150（12+x）＝240x
C．150x＝240（x﹣12）D．150x＝240（x+12）
8．如图，在同平面直角坐标系中，一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b1的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（ ）
A．k1k1<0B．k1+k2<0C．b1-b2<0D．b1b2>0
9．如图，在矩形ABCD中，M是边AD的中点，N为线段AC与BM的交点，则S△AMN：S△BCN=（ ）
A．1：2B．2：3C．1：3D．1：4
10．已知y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的其中一个交点为（1，0），该函数在1≤x≤4的取值范围，下列说法正确的是（ ）．
A．有最小值0，有最大值3B．有最小值-1，有最大值3
C．有最小值-3，有最大值4D．有最小值-1，有最大值4
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知tanA=1，则∠A= °.
12．如图，AO⊥BO，O为垂足，直线CD过点O，且∠BOD＝2∠AOC，则∠BOD＝ ．

（第12题） （第13题） （第14题）
13．如图，RtΔABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则ΔABC的内切圆半径为 ．
14．如图，已知在Rt△ABC与Rt△CDB中， ∠ACB=∠CDB=90°，AC=BC，CD=BD，连接AD交BC于点P，那么tan∠CAP= ．
15．如图，在△ABC中，∠A=75°，∠ABC=45°，AC=6，点D在AC上，过点D作AC的垂线，分别交射线BC，线段AB于点E，F，连接CF，CF恰好平分∠ACB，则线段BE的长是 .

（第15题） （第16题）
16．如图，在矩形ABCD中 ABBC=23 .动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN.动点M，N同时出发，点M运动的速度为 v1 ，点N运动的速度为 v2 ，且 v1三、解答题（本题有8小题，第17题6分，第18、19题每题8分，第20、21题10分，第22、23题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知多项式M＝（2x2+3xy+2y）﹣2（x2+x+yx+1）.
（1）当x＝1，y＝2，求M的值；
（2）若多项式M与字母x的取值无关，求y的值.
18．为进一步提高学生的英语口语听力水平，某校准备开展英语口语听力比赛．九（1）班准备从甲、乙两人中推荐1人参加比赛，现将两人在班级选拔赛中，5次的测试成绩（总分100分）绘制成如图所示的折线统计图（图中只标注了部分数据）．观察统计图，回答下列问题：
（1）甲5次测试成绩的众数为 分；乙5次测试成绩的中位数为 分；
（2）小红认为：应该选择两人中5次测试成绩方差小的去比赛．你同意他的观点吗？请结合统计图说明理由．
19．如图，在三边互不相等的△ABC中，AB=8cm，BC=16cm.动点P从A开始沿AB边运动，速度为2cm/秒，动点Q同时从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/秒，当点P到达点B时，P，Q就不再运动.设P，Q两点运动时间为x秒，解决以下问题：
（1）证明：当x=2时，△BPQ ∽△BAC；
（2）若△BPQ 与△ABC相似，求x的值.
20．如图，已知点A在反比例函数y=kx的图象上，点A的横坐标为-1，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，且AB=3BO．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点P(m，0)在x轴的正半轴上，将线段AP绕着点P顺时针旋转90°，点A的对应点C恰好落在反比例函数y=kx在第一象限的图象上，求m的值．
21．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，设ADAE=λ（λ＞0）.
（1）若λ=1，求证：CE=FE；
（2）若AB=3，AD=4，且D、B、F在同一直线上时，求λ的值.
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-3a(a≠0)与y轴交于点A，将点A向左平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上.
（1）抛物线的对称轴是直线x= ；
（2）若M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线上两点，满足x1+x2<-2，x10时，判定y1与y2的大小关系，并说明理由；
（3）已知点D的横坐标为1，且点D在直线y=(4a+3)x-a+1上，点C的坐标为(-2，-52a)，若抛物线与线段CD恰有一个公共点，请结合函数图象，求a的取值范围.
23．如图，矩形ABCD中，点M在对角线BD上，过点A、B、M的圆与BC交于点E.
（1）若AM=4，EB=EM=3，求BM.
（2）若AB=6，BC=8，
①求AM：ME.
②若BM=7，求BE.
答案与解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列式子正确的是（ ）
A．49=±7B．(-3)2=-3C．23-3=2D．3×2=6
【答案】D
【解析】A、49=72=7，故此选项错误，不符合题意；
B、-32=32=3，故此选项错误，不符合题意；
C、23-3=3，故此选项错误，不符合题意；
D、3×2=3×2=6，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
2．世界文化遗产—长城的总长约为210000米，数据210000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.21×107B．2.1×105C．2.1×106D．21×105
【答案】B
【解析】210000=2.1×105.
故答案为：B
3．下列计算正确的是（ ）
A．5a2﹣3a2＝2B．（﹣2a2）3＝﹣6a6
C．a3÷a＝a2D．（a+b）2＝a2+b2
【答案】C
【解析】A、5a2-3a2=2a2，故此选项计算错误，不符合题意；
B、（-2a2）3=-8a6，故此选项计算错误，不符合题意；
C、a3÷a=a2，故此选项计算正确，符合题意；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
4．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分 ∠AOD .若 ∠BOD=40° ，则 ∠COE 的度数为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
【答案】C
【解析】 ∵ ∠BOD=40° ， ∴∠AOD=180°-40°=140°，∠AOC=∠BOD=40°，
∵ OE平分 ∠AOD ，∴∠AOE=12∠AOD=70°，∴∠COE=∠AOC+∠AOE=110°.
故答案为：C.
5．一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中3个红球，5个白球和1个黄球，从中任意摸出一个球是白球的概率是( )
A．19B．13C．59D．23
【答案】C
【解析】由题意得从袋中任意摸出一个球是白球的概率是：59.
故答案为：59.
6．如图，已知圆心角∠AOB=140°，则圆周角∠ACB=（ ）
A．40°B．70°C．110°D．120°
【答案】C
【解析】如图，在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，
∵ ∠AOB=140° ，
∴∠ADB=12 ∠AOB=70° ，
∵∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°-∠ADB=110°.
故答案为：C.
7．元代名著《算学启蒙》中有一题：驽马日行一百五十里，良马日行二百四十里.驽马先行一十二日，问良马几何追及之.译文是：跑得慢的马每天走150里，跑得快的马每天走240里.慢马先走12天，问快马需要几天可追上慢马？若设快马需要x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（ ）
A．150×12+x＝240xB．150（12+x）＝240x
C．150x＝240（x﹣12）D．150x＝240（x+12）
【答案】B
【解析】∵慢马先走12天，快马需要x天可追上慢马，
∴快马追上慢马时慢马走了（12+x）天.
由题意得：150（12+x）=240x.
故答案为：B.
8．如图，在同平面直角坐标系中，一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b1的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（ ）
A．k1k1<0B．k1+k2<0C．b1-b2<0D．b1b2>0
【答案】B
【解析】依题意，k1<0，b1>0，k2<0，b2<0
∴k1k1>0，k1+k2<0，b1-b2>0，b1b2<0，
故答案为：B.
9．如图，在矩形ABCD中，M是边AD的中点，N为线段AC与BM的交点，则S△AMN：S△BCN=（ ）
A．1：2B．2：3C．1：3D．1：4
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵M是边AD的中点，
∴AM=12AD=12BC，
∵AD∥BC，
∴△AMN∽△CBN，
∴AMBC=12，
∴S△AMNS△CBN=(12)2=14，
故答案为：D．
10．已知y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的其中一个交点为（1，0），该函数在1≤x≤4的取值范围，下列说法正确的是（ ）．
A．有最小值0，有最大值3B．有最小值-1，有最大值3
C．有最小值-3，有最大值4D．有最小值-1，有最大值4
【答案】B
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的其中一个交点为（1，0），
∴-b2a=2a+b+3=0，
∴a=1b=-4，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为（2，-1），当x=4时，y=3，
令y=0，则x2-4x+3=0，
解得x=1或x=3，
∴抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0），
∴当1≤x≤4时，抛物线有最小值-1，有最大值3.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知tanA=1，则∠A= °.
【答案】45
【解析】∵tanA=1，
∴∠A=45°.
故答案为：45.
12．如图，AO⊥BO，O为垂足，直线CD过点O，且∠BOD＝2∠AOC，则∠BOD＝ ．
【答案】60°
【解析】∵AO⊥BO，
∴∠AOB＝90°，
∵∠COD＝180°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠BOD＝2∠AOC，
∴3∠AOC＝90°，
∴∠AOC=30°，
∴∠BOD＝60°．
故答案为：60°．
13．如图，RtΔABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则ΔABC的内切圆半径为 ．
【答案】2
【解析】如图，
∵在RtΔABC，∠C=90°，AC=6，BC=8
∴由勾股定理得：AB=AC2+BC2=10，
∵圆O为ΔABC的内切圆，
∴OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；
∴四边形OECF是正方形；
由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；
∴CE=CF=12(AC+BC-AB)，
即：r=12(6+8-10)=2，
故答案为：2．
14．如图，已知在Rt△ABC与Rt△CDB中， ∠ACB=∠CDB=90°，AC=BC，CD=BD，连接AD交BC于点P，那么tan∠CAP= ．
【答案】13
【解析】∵∠ACB=∠CDB=90°，AC=BC，CD=BD，
∴△ACB，△CDB是等腰直角三角形，
∴∠ABC+∠CBD=90°
∴∠ABD+∠CDB=180°
∴CD∥AB
∴△CDP∽△BAP，
设CD=DB=a，则CB=2a，AB=2a
∴CDAB=CPBP=12
∴CPBC=13
∵AC=BC
∴tan∠CAP=CPAC=13，
故答案为：13．
15．如图，在△ABC中，∠A=75°，∠ABC=45°，AC=6，点D在AC上，过点D作AC的垂线，分别交射线BC，线段AB于点E，F，连接CF，CF恰好平分∠ACB，则线段BE的长是 .
【答案】33-3
【解析】∵在△ABC中，∠A=75°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=180°-45°-75°=60°，
∵CF平分∠ACB，
∴∠BCF=ACF=12∠ACB=30°，
∴∠AFC=∠ABC+∠BCF=75°=∠A，
∴CF=AC=6，
在Rt△CDF中，DF=12CF=3，CD=CF2-DF2=33，
在Rt△CDE中，∠CED=30°，CE=2CD=63，
过F作FG⊥BC于G，
在Rt△CFG中，∠FCG=30°，CF=6，
∴FG=12CF=3，CG=CF2-FG2=33，
在Rt△BFG中，∠ABC=45°，
∴∠BFG=∠ABC=45°，
∴BG=FG=3
∴BE=CE-CG-BG=63-33-3=33-3，
故答案为：33-3.
16．如图，在矩形ABCD中 ABBC=23 .动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN.动点M，N同时出发，点M运动的速度为 v1 ，点N运动的速度为 v2 ，且 v1【答案】35
【解析】如图所示：
在矩形ABCD中 ABBC=23 ，设 AB=2a，BC=3a ，运动时间为 t ，
∴CD=AB=2a，AD=BC=3a，BN=v2t，AM=v1t ，
在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形 MA'B'N ，
∴B'N=BN=v2t，A'M=AM=v1t ，
若在某一时刻，点B的对应点B'恰好在CD的中点重合，
∴DB'=B'C=a ，
在 RtΔB'CN 中， ∠C=90°，B'C=a，B'N=v2t，CN=3a-v2t ，则 v2t=53a=BN ，
∵∠A'B'N=∠B=90° ，
∴∠A'B'D+∠CB'N=90° ，
∵∠CNB'+∠CB'N=90° ，
∴∠A'B'D=∠CNB' ，
∴ΔEDB'∼ΔB'CN ，
∴DEDB'=B'CCN=B'CBC-BN=a3a-53a=34 ，
∵DB'=B'C=a ，
∴DE=34DB'=34a ，则 B'E=(DB')2+DE2=a2+(34a)2=54a ，
∴A'E=A'B'-B'E=2a-54a=34a ，即 DE=34a=A'E ，
在 ΔA'EM 和 ΔDEB' 中，∠A'=∠D=90°A'E=DE∠A'EM=∠DEB'
∴ ΔA'EM ≅ΔDEB'(ASA) ，
∴A'M=B'D=a ，即 AM=v1t=a ，∴v1v2=v1tv2t=AMBN=a53a=35
故答案为： 35 .
三、解答题（本题有8小题，第17题6分，第18、19题每题8分，第20、21题10分，第22、23题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知多项式M＝（2x2+3xy+2y）﹣2（x2+x+yx+1）.
（1）当x＝1，y＝2，求M的值；
（2）若多项式M与字母x的取值无关，求y的值.
【答案】（1）解：M＝2x2+3xy+2y﹣2x2- 2x﹣2yx - 2
＝xy - 2x+2y - 2，
当x =1 ，y＝2时，
原式 =2-2+4-2=2 ；
（2）解：∵M＝xy - 2x+2y - 2＝（y - 2）x+2y - 2，且M与字母x的取值无关，
∴y - 2＝0，
解得：y＝2.
18．为进一步提高学生的英语口语听力水平，某校准备开展英语口语听力比赛．九（1）班准备从甲、乙两人中推荐1人参加比赛，现将两人在班级选拔赛中，5次的测试成绩（总分100分）绘制成如图所示的折线统计图（图中只标注了部分数据）．观察统计图，回答下列问题：
（1）甲5次测试成绩的众数为 分；乙5次测试成绩的中位数为 分；
（2）小红认为：应该选择两人中5次测试成绩方差小的去比赛．你同意他的观点吗？请结合统计图说明理由．
【答案】（1）100；96
（2）解：不同意，由图可知乙方差虽然比甲小，但测试成绩呈下降趋势，而甲呈上升趋势，且有2次满分，所以不能根据方差的大小选择比赛人选．
（同意，由图可知乙的方差比甲小，成绩比较稳定，所以从稳定性的角度可以选择方差小的去比赛）（答案不唯一，不同意要突出趋势，同意要突出稳定性）
【解析】【解答】(1)观察统计图可知：甲5次成绩中出现次数最多的数据是100，乙5次测试成绩按从小到大的顺序排列处于最中间的数据是96，
∴甲5次测试成绩的众数为100分，乙5次测试成绩的中位数是96分，
故答案为：100 ；96
19．如图，在三边互不相等的△ABC中，AB=8cm，BC=16cm.动点P从A开始沿AB边运动，速度为2cm/秒，动点Q同时从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/秒，当点P到达点B时，P，Q就不再运动.设P，Q两点运动时间为x秒，解决以下问题：
（1）证明：当x=2时，△BPQ ∽△BAC；
（2）若△BPQ 与△ABC相似，求x的值.
【答案】（1）证明：当x=2时，AP=2×2=4，BQ=2×4=8，
∴BP=AB-AP=4，
∴BPBA=BQBC=12，
又∵∠B=∠B，
∴△BPQ ∽△BAC
（2）解：∵△ABC的三边互不相等，
∴若△BPQ 与△ABC相似，则△BPQ ∽△BAC或△BPQ ∽△BCA，
当△BPQ ∽△BAC时，BPBA=BQBC，
∴8-2x8=4x16，
解得x=2，
当△BPQ ∽△BCA时，BPBC=BQBA，
∴8-2x16=4x8，
解得x=0.8.
∴若△BPQ 与△ABC相似，则x=2或x=0.8.
20．如图，已知点A在反比例函数y=kx的图象上，点A的横坐标为-1，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，且AB=3BO．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点P(m，0)在x轴的正半轴上，将线段AP绕着点P顺时针旋转90°，点A的对应点C恰好落在反比例函数y=kx在第一象限的图象上，求m的值．
【答案】（1）解：∵AB⊥x轴，且点A的横坐标为-1，
∴OB=1，
∵AB=3BO，
∴AB=3，
∵点A在第三象限，
∴A(-3，-1)
把A(-3，-1)代入反比例函数y=kx得，k=(-3)×(-1)=3，
∴反比例函数的解析式为：y=3x；
（2）解：过点C作CD⊥x轴于点D，如图，
∴∠CDP=∠ABP=90°，
∴∠DCP+∠DPC=90°，∠APB+∠DPC=90°，
∴∠APB=∠DCP，
在△ABP和△DCP中，
∠APB=∠PCD∠PDC=∠ABPAP=CP
∴△PAB≅△PCD(AAS)
∴PD=AB=3，CD=PB=m+1
∴OD=m-3
∴点C的坐标为(m-3，m+1)，
∴(m-3)(m+1)=3
整理得，m2-2m-6=0
解得，m1=1+7，m2=1-7，
∵m>0，
∴m=1+7
21．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，设ADAE=λ（λ＞0）.
（1）若λ=1，求证：CE=FE；
（2）若AB=3，AD=4，且D、B、F在同一直线上时，求λ的值.
【答案】（1）证明：连接DE，如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=90°，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∵DF⊥AE，
∴∠DFE=90°，
∴∠DFE=∠C，
∵ADAE=λ=1，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠FED，
∴∠FED=∠CED，
在△DFE和△DCE中，
∠DFE=∠C∠FED=∠CEDDE=DE，
∴△DFE≌△DCE（AAS），
∴CE=FE；
（2）解：当D、B、F在同一直线上时，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
在Rt△ADB中，AB=3，AD=4，
∴tan∠ABD=ADAB=43
∵DF⊥AE，
∴∠BFE=90°，
∵∠ABD+∠DBC=90°，∠DBC+∠FEB=90°，
∴∠FEB=∠ABD，
∴ABBE=tan∠FEB=tan∠ABD=43，
∵AB=3，
∴BE=94，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE=32+(94)2=154，
∴λ=ADAE=ADAE=4154=1615.
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-3a(a≠0)与y轴交于点A，将点A向左平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上.
（1）抛物线的对称轴是直线x= ；
（2）若M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线上两点，满足x1+x2<-2，x10时，判定y1与y2的大小关系，并说明理由；
（3）已知点D的横坐标为1，且点D在直线y=(4a+3)x-a+1上，点C的坐标为(-2，-52a)，若抛物线与线段CD恰有一个公共点，请结合函数图象，求a的取值范围.
【答案】（1）-1
（2）解：y1>y2，理由如下∶
由（1）得：抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴-b2a=-1，
∴b=2a，
∴抛物线解析式为y=ax2+2ax-3a，
∵M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线上两点，
∴y1=ax12+2ax1-3a，y2=ax22+2ax2-3a，
∴y1-y2=(ax12+2ax1-3a)-(ax22+2ax2-3a)，
=ax12-ax22+2ax1-2ax2，
=a(x1+x2)(x1-x2)+2a(x1-x2)，
=a(x1-x2)[(x1+x2)+2]，
∵x1+x2<-2，x10，
∴x1-x2<0，x1+x2+2<0，
∴y1-y2>0，
∴y1>y2；
（3）解：由（2）可知，抛物线解析式为y=ax2+2ax-3a，
∵点A(0，-3a)，点B(-2，-3a)，
当x=1时，y=a+2a-3a=0，
∴抛物线与x轴交于点(1，0)，
∵点D的横坐标为1，且点D在直线y=(4a+3)x-a+1上.
∴点D(1，3a+4)，
①如图，当a>0时，抛物线开口向上，
∵C(-2，-52a)，B(-2，-3a)，
∴-52a>-3a，
∴点C在点B的上方，
∵3a+4>0，
∴点D在(1，0)的上方，
观察图象可知，此时抛物线与线段CD没有公共点；
②如图，当a<0时，抛物线开口向下，-52a<-3a，
此时点C在点B的下方，
观察图象得：当点D在(1，0)的上方或与点(1，0)重合时，抛物线与线段CD恰有一个公共点，
∴3a+4≥0且a<0，
∴-43≤a<0；
综上所述，若抛物线与线段CD恰有一个公共点，a的取值范围为-43≤a<0.
【解析】（1）根据题意得：点A的横坐标为0，点B的横坐标为-2，
∴抛物线的对称轴是：直线x=-2+02=-1，
故答案为∶-1；
23．如图，矩形ABCD中，点M在对角线BD上，过点A、B、M的圆与BC交于点E.
（1）若AM=4，EB=EM=3，求BM.
（2）若AB=6，BC=8，
①求AM：ME.
②若BM=7，求BE.
【答案】（1）解：设AE交于BD于点G，过点A、B、M的圆记作⊙O，如图，
在矩形ABCD中，有∠ABC=∠BAD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴弦AE为⊙O直径，
∴∠AME=90°=∠ABC，
∵EB=EM=3，AE=AE，
∴Rt△AEB≌Rt△AEM，
∴AB=AM，
∵EB=EM=3，
∴∠EAB=∠EAM，即AG平分∠BAM，
∴根据“三线合一”有：AG⊥BM，BG=GM，
在Rt△AEM中，EM=3，AM=4，
∴AE=AM2+EM2=5，
∵S△AME=12×AM×EM=12×AE×GM，
∴GM=3×45=125，
∵BG=GM，
∴BM=BG+GM=245；
（2）解：①在（1）中已证明弦AE为⊙O直径，
即有∠AME=90°，
∴在Rt△AEM中，AM：ME=tan∠AEM，
∵∠AEM=∠ABM，
在Rt△ABD中，tan∠ABM=ADAB，
∵在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AB=6，BC=8
∴tan∠ABM=ADAB=86=43，
∴AM：ME=tan∠AEM=tan∠ABD=43；
②设AD与⊙O交于点H，连接HM，HE，如图，
根据圆内接四边形中对角互补的性质，
有：∠AHE=∠ABE=90°=∠BEH=∠BAH，∠BMH=∠BAH=90°，
∴四边形ABEH为矩形，即AH=BE，
∵∠BMH=∠BAH=90°，
∴∠DMH=∠BAD=90°，
∵∠HDM=∠BDA，
∴△DMH∽△DAB，
∴DHDM=DBDA，DH=DB×DMDA，
∵AB=6，AD=BC=8，
∴BD=AD2+AB2=82+62=10，
∵BM=7，
∴DM=BD-BM=3，
∴DH=DB×DMDA=10×38=154，
∴AH=AD-DH=8-154=174，
∴BE=AH=174.