2022-2023学年苏教版（2019）选择性必修一第三章 圆锥曲线与方程 单元测试卷（含答案）

苏教版（2019）选择性必修一第三章 圆锥曲线与方程 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、过抛物线的焦点F且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，抛物线的准线为l，于，于，则四边形的面积为(   )

A.32 B. C.64 D.

2、已知O为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线C交于A，B两点，，则，则(   )

A.4 B.3 C.2 D.1

3、设抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，，现将直线AF绕点F逆时针旋转30°得到直线l，且直线l与抛物线交于C，D两点，则(   )

A.1 B. C.2 D.3

4、下列命题中正确的是(   )

A.抛物线的焦点坐标为

B.抛物线的准线方程为

C.抛物线的图象关于x轴对称

D.抛物线的图象关于y轴对称

5、点P在直线上，若存在过P的直线交抛物线于A、B两点，且，则称点P为“点”，则下列结论中正确的是(   )

A.直线l上的所有点都是“点”

B.直线l上仅有有限个点是“点”

C.直线l上的所有点都不是“点”

D.直线l上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点”

6、设抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，.现将直线AF绕点F逆时针旋转30°，得到直线l，且直线l与抛物线交于C、D两点，则(   )

A.1 B. C.2 D.4

7、已知抛物线上的一点，则点M到抛物线焦点F的距离等于(   )

A.6 B.5 C.4 D.2

8、设抛物线的顶点为原点，焦点F在x轴上，过F的直线交抛物线于点A，则以AF为直径的圆(   )

A.必过原点  B.必与x轴相切

C.必与y轴相切  D.必与抛物线的准线相切

9、已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则(   )

A. B.2 C. D.

10、已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为(   )

A. B.4 C. D.2

二、填空题

11、过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______.

12、已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则满足条件的实数k的值组成集合_______.

13、已知抛物线的焦点为F，A为抛物线上第一象限内一点，直线AF与y轴交于点B，且，则直线AB的斜率为___________.

14、已知A是焦点为F的抛物线上的动点，O是坐标原点，线段OA的垂直平分线交x轴于点B.若，则_________.

15、已知抛物线的焦点为F，第一象限的A，B两点在C上，若，，，则直线AB的斜率为______.

16、抛物线的焦点为，则______，过F的直线l与C交于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为1，则______.

三、解答题

17、已知椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）椭圆上是否存在一点P使得?若存在求的面积，若不存在，请说明理由.

18、已知抛物线上一点到焦点F的距离为4.

（1）求实数p的值；

（2）若直线l过C的焦点，与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程.

19、已知抛物线的准线过双曲线的左焦点，点是两条曲线的一个公共点.

（1）求抛物线的方程；

（2）求双曲线的方程.

20、已知曲线C上任一点P与点的距离与它到直线的距离相等.

（1）求曲线C的方程；

（2）求过定点，且与曲线C只有一个公共点的直线的方程.

参考答案

1、答案：D

解析：由抛物线得其焦点，设直线AB的方程为，

与抛物线的方程联立，整理得，即，解得，

所以，，

所以，，，

所以四边形的面积为，

故选：D.

2、答案：D

解析：，，，

，且轴，

由抛物线的对称性为等腰直角三角形，

设AB与x轴的交点为D，

，即，

将代入得，解得.

故选：D.

3、答案：C

解析：由题意，，设，由及抛物线定义可得，得，代入抛物线方程可得，所以.如图，设，则，所以，将直线AF绕点F逆时针旋转30°得到直线l，所以直线l的倾斜角为90°，故轴，即C，D的横坐标为，代入抛物线方程得，所以.

故选：C.

4、答案：C

解析：抛物线的焦点坐标为，故A错误；

抛物线的准线方程为，故B错误；

抛物线的图象关于x轴对称，故C正确，D错误；

故选：C.

5、答案：A

解析：如图所示：

设，，

由题意可知点A是B，P的中点，则，

A，B在上，，

消去n，整理得关于m的方程，

恒成立，

方程恒有实数解.

即对于任意的P点，都存在m，使得.

故选：A.

6、答案：C

解析：抛物线交点F为()，准线为x=，

设，，设直线AF的倾斜角为，

，，，即，

，

将直线AF绕点F逆时针旋转30°得到直线l，则直线l倾斜角为90°，即直线l垂直于x轴，故，故.

故选：C.

7、答案：B

解析：将点代入抛物线方程可得，解得，

则，

故选：B.

8、答案：C

解析：如图，取AF中点P，以P为圆心，AF为直径作圆，与y相切于点Q，连接PQ，证明如下：因为P，Q为AF，OM中点，所以，又，所以，由抛物线定义可知，，所以为圆P的半径，即以AF为直径的圆与y轴相切.

故选：C.

9、答案：D

解析：，设，，

，则，得，

由抛物线定义得.

故选：D.

10、答案：A

解析：法一：由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线，

则，，

因为，

所以，所以，所以，

所以，，

所以.

因为，

所以，

解得，所以，点F到AM的距离为，

所以.

法二：因为，

所以，所以，即.

连接FM，又，

所以为等边三角形.

易得，所以.

故选：A.

11、答案：

解析：双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为.由，得.设，，则，，

所以.

故答案为：.

12、答案：

解析：联立，消x得，

当时，，解得，

此时直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意；

当时，则，解得，

综上所述或，

所以满足条件的实数k的值组成集合为.

故答案为：.

13、答案：

解析：由题意可设，，，

，，，

，

，

，

为抛物线上第一象限内一点，

，

直线AF的斜率为；，

直线AB的斜率为：.

故答案为：.

14、答案：

解析：不妨设，，，则，线段OA的中点，

依题意得，所以，

所以，所以，得，故.

因为，所以C为线段AF的中点，又，所以，所以.

故答案为：.

15、答案：

解析：如图所示，设C的准线为l，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为D，E，过A作于点P.

由抛物线的定义可知，，所以.又因为，，所以，所以直线AB的斜率.

故答案为：.

16、答案：1；4

解析：抛物线的焦点为，

所以，设，，则，，

又AB的中点为，直线l的斜率为k，

所以，

所以，

故，故.

故l的方程为，所以.

故.

故答案为：1；4.

17、答案：（1）

（2）椭圆上不存在点P，使得，理由见解析

解析：（1）椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为，

，，

，

椭圆的标准方程为：；

（2）假设椭圆上存在点，使得，

则，

即，

联立，得：，此方程无解.

椭圆上不存在点P，使得.

18、答案：（1）

（2）或

解析：（1）由题意可知：，

解得：.

（2）由（1）知抛物线，则焦点坐标为，

由题意知直线l斜率不为0，设直线l为：，，

联立直线与抛物线：，消x得：，

则，，

则，

所以，

解得，

所以直线l为：或.

19、答案：（1）

（2）

解析：（1）把，点代入方程，

得，解得：，

所以抛物线的方程为：.

（2）抛物线的准线方程为：，所以，

设双曲线的右焦点为F，则，

则，因此，

又因为，，

所以双曲线的方程为：.

20、答案：（1）

（2）或或

解析：（1）设P的坐标，由抛物线的定义可知，P的轨迹为抛物线，且焦点在x轴上，焦点坐标，所以P的轨迹方程为.

故曲线C的方程为：.

（2）当直线过点，且斜率为0时，即直线与拋物线的对称轴平行时，直线与曲线有一个公共点，

此时直线的方程为；

当过的直线的斜率不存在时，即直线的方程为，显然与拋物线相切；

当过的直线斜率存在时，设直线的方程为，

联立，整理可得，

则，即，解得，

此时直线的方程为，

综上所述，满足条件的直线的方程为或或.