2022-2023学年苏教版（2019）选择性必修二第七章计数原理 单元测试卷（含答案）
展开苏教版（2019）选择性必修二第七章计数原理 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到的不同值的个数是( )
A.6 B.8 C.12 D.16
2、的展开式中的系数为( )
A.12 B.16 C.20 D.24
3、将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( )
A.15 B.20 C.30 D.42
4、某单位在春节七天的假期间要安排值班表，该单位有值班领导3人，值班员工4人，要求每位值班领导至少值两天班，每位值班员工至少值一天班，每天要安排一位值班领导和一位值班员工一起值班，且一人值多天班时要相邻的安排方案有( )
A.249种 B.498种 C.1052种 D.8640种
5、设，若，则( )
A.8 B.9 C.10 D.11
6、某学校为了丰富同学们的寒假生活,寒假期间给同学们安排了6场线上讲座,其中讲座A只能安排在第一或最后一场,讲座B和C必须相邻,问不同的安排方法共有( )
A.34种 B.56种 C.96种 D.144种
7、已知展开式的各项系数之和为128，则展开式中的系数为( )
A.30 B.33 C.26 D.29
8、7人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是( )
A.3600 B.1440 C.4820 D.4800
9、把二项式的所有展开项重新排列,求有理项不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
10、的展开式中的常数项为( )
A.-120 B.120 C.-60 D.60
二、填空题
11、己知，则________.（用数字作答）
12、已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是__________.
13、在的展开式中，的系数为___________.
14、的展开式中的系数为_________(用数字作答).
15、将五名学生和三名老师分成三组参加志愿者服务，要求每个小组至少一名老师，至少一名学生，则不同的分组方法数是__________.(答案用数字表示)
16、的展开式中的常数项为__________.
三、解答题
17、3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数.
（1）选5名同学排成一排：
（2）全体站成一排，甲、乙不在两端：
（3）全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
（4）全体站成一排，男生彼此不相邻；
18、有0，1，2，3，4，5六个数字.
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？
19、为弘扬我国古代的“六艺”文化，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程.
（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求其中“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的所有可能排法种数；
（2）甲、乙、丙、丁、戊五名教师在教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求其中甲不任教“数”的课程安排方案种数.
20、对于给定的奇数，设是由个数组成的行列的数表，数表中第行，第列的数，记为的第行所有数之和，为的第列所有数之和，其中.对于，若且同时成立，则称数对为数表的一个“好位置”
1 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1.直接写出右面所给的数表的所有的“好位置”；
2.当时，若对任意的都有成立，求数表中的“好位置”个数的最小值；
3.求证：数表中的“好位置”个数的最小值为．
参考答案
1、答案：C
解析：由于，所以从3，5，7，11中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有种，并且计算结果不会重复，所以得到不同的值有12个.
故选：C.
2、答案：A
解析：因为，所以展开式中的系数为.
3、答案：C
解析：四个篮球分成三组有种分法，三组篮球进行全排列有种排法，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有种分法，所以有种分法，故选C.
4、答案：D
解析：先安排值班领导：选1位值班领导值三天班，则安排3位领导值班共有（种）方案.再安排值班员工：若4名员工中有1名员工值四天班，其他员工各值一天班，则有（种）选法；若1名员工值两天班，另一名员工值三天班，剩余2名员工各值一天班，则有（种）选法；若3名员工各值两天班，1名员工值一天班，则有（种）选法，故安排4名员工值班共有（种）方案.因此，该单位在春节七天的假期间值班表安排方案共有（种）.故选D.
5、答案：D
解析：
6、答案：C
解析:由题意知讲座A只能安排在第一或最后一场,有种结果,讲座B和C必须相邻,共有种结果,根据分步计数原理知共有种结果.故选C.
7、答案：C
解析：令，可得系数之和为，解得，
.易得展开式中的系数为.故选C.
8、答案：A
解析：由题意，7人并排站成一行的不同排法有种，其中甲、乙两人相邻的不同排法有种，所以甲、乙两人必须不相邻的不同排法种.故选A.
9、答案：B
解析:,其中,
当,3,6,9,项为有理项,则有4项有理项,6项无理项,展开式的10项全排列共有的,有理项互不相邻可把6个无理项全排把4个有理项在形成的7个空中插空即可,有种,有理项都互不相邻的概率为,故选:B.
10、答案：D
解析：的展开式中的项为，
令，解得，
所以的展开式中的常数项为.
故选：D.
11、答案：34
解析：令，得；令，得.
二项式的通项公式为，
又，，
所以.
故答案为：34.
12、答案：1215
解析：二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，令，得，.的展开式的通项公式为，令，可得，的展开式的常数项为.
13、答案：
解析：因为（，1，…，8），所以要求的系数，则，，所以其对应系数为.
14、答案：56
解析：，令，，.故的展开式中的系数为56.
15、答案：150
解析：解：依题意各组的学生人数可能情况为或，
若为则有种方法；
若为则有种方法，
综上可得一共有种方法；
故答案为：150.
16、答案：
解析：展开式的通项公式为：，
令，解得.
，
令，解得，
，
展开式中常数项为：.
故答案为：.
17、答案：（1）2520
（2）2400
（3）288
（4）1440
解析：（1）无条件的排列问题,排法有种.
（2）先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙，然后剩余5个人在剩余五个位置全排列，
所以有种.
（3）相邻问题，利用捆绑法，共有种.
（4）即不相邻问题，先排好女生共有种排法，男生在5个空中安插，共有种排法，
所以共有种.
18、答案：（1）156
（2）108
（3）284
解析：（1）由题意组成无重复数字的四位偶数分为三类：
第一类：0在个位时，有个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个，有种，十位和百位从余下的数字中选，有种，共有个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个，
由分类加法计数原理知，共有个无重复数字的四位偶数.
（2）组成无重复数字且为5的倍数的四位数分为两类：
个位上的数字是0时，满足条件的四位数有个；
个位数上的数字是5时，满足条件的四位数有个，
故满足条件的四位数有（个）.
（3）组成无重复数字且比1230大的四位数分为四类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个；
第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个；
第三类：形如124□，125□，共有个；
第四类：形如123□，共有个.
由分类加法计数原理知，共有（个）.
19、答案：（1）504种；（2）1440种.
解析：
20、答案：1.“好位置”有：
2.因为对于任意的，；
所以当时，，
当时，；
因此若为“好位置”，
则必有，且，即
设数表中共有个，其中有列中含的个数不少于，
则有列中含的个数不多于，
所以，，
因为为自然数，所以的最小值为
因此该数表中值为，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过
所以，该数表好位置的个数不少于个
而下面的数表显然符合题意
1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
此数表的“好位置”的个数恰好为
综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为
3.当为“好位置”时，且时，
则有，所以，
注意到为奇数，，所以有
同理得到
当为“好位置”，且时，
则，则必有，
注意到为奇数，，所以有
同理得到
因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，
所以不妨设
其中，
则数表可以分成如下四个子表
其中是行列，是行列，是行列，是行列
设，，，中的个数分别为
则，，，中的个数分别为
则数表中好位置的个数为个
而，
所以
所以
而
显然当取得最小值时，上式取得最小值，
因为，所以
当时，数表中至少含有个，
而，所以至少为
此时
当时，数表中至少含有个
而，所以至少为
此时
下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为
解析：
