高中数学高考第五章 5 3平面向量的数量积-教师版(1)

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判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ )
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( × )
(4)(a·b)c＝a(b·c)．( × )
(5)两个向量的夹角的范围是[0，eq \f(π,2)]．( × )
作业检查
无
第2课时
阶段训练
题型一 平面向量数量积的运算
例1 (1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的值为( )
A．－eq \f(5,8) B.eq \f(1,8)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(11,8)
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的值为________；eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为________．
答案 (1)B (2)1 1
解析 (1) 如图，由条件可知eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))
＝(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2.
因为△ABC是边长为1的等边三角形，
所以|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，∠BAC＝60°，
所以eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)－eq \f(1,8)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,8).
(2)方法一 以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，
设E(t,0)，t∈[0,1]，则eq \(DE,\s\up6(→))＝(t，－1)，eq \(CB,\s\up6(→))＝(0，－1)，所以eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝(t，－1)·(0，－1)＝1.
因为eq \(DC,\s\up6(→))＝(1,0)，所以eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，
故eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为1.
方法二 由图知，
无论E点在哪个位置，eq \(DE,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))方向上的投影都是CB＝1，∴eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝|eq \(CB,\s\up6(→))|·1＝1，
当E运动到B点时，eq \(DE,\s\up6(→))在eq \(DC,\s\up6(→))方向上的投影最大，即为DC＝1，
∴(eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→)))max＝|eq \(DC,\s\up6(→))|·1＝1.
思维升华 平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．
(1)已知向量eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则∠ABC等于( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
(2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))的值为________．
答案 (1)A (2)eq \f(29,18)
解析 (1)∵|eq \(BA,\s\up6(→))|＝1，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，
cs∠ABC＝eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(3),2)，
又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.
(2)在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，
∠ABC＝60°，∴CD＝1，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))，
eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(DC,\s\up6(→))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(BC,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,6)\(DC,\s\up6(→))))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \f(1,6)eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \f(1,6)eq \(DC,\s\up6(→))＝2×1×cs 60°＋2×eq \f(1,6)＋eq \f(2,3)×12×cs 60°＋eq \f(2,3)×eq \f(1,6)×12×cs 120°＝eq \f(29,18).
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 求向量的模
例2 (1)已知平面向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，且|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋2b，eq \(AC,\s\up6(→))＝2a－6b，D为BC的中点，则|eq \(AD,\s\up6(→))|＝________.
(2)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，eq \r(3))，C(3,0)，动点D满足|eq \(CD,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|的最大值是________．
答案 (1)2 (2)eq \r(7)＋1
解析 (1)因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(2a＋2b＋2a－6b)
＝2a－2b，
所以|eq \(AD,\s\up6(→))|2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)
＝4×(3－2×2×eq \r(3)×cs eq \f(π,6)＋4)＝4，
所以|eq \(AD,\s\up6(→))|＝2.
(2)设D(x，y)，由eq \(CD,\s\up6(→))＝(x－3，y)及|eq \(CD,\s\up6(→))|＝1，
知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．
又eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝(－1,0)＋(0，eq \r(3))＋(x，y)
＝(x－1，y＋eq \r(3))，
∴|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|＝eq \r(x－12＋y＋\r(3)2).
问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－eq \r(3))间距离的最大值．
∵圆心C(3,0)与点P(1，－eq \r(3))之间的距离为eq \r(3－12＋0＋\r(3)2)＝eq \r(7)，
故eq \r(x－12＋y＋\r(3)2)的最大值为eq \r(7)＋1.
即|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|的最大值是eq \r(7)＋1.
命题点2 求向量的夹角
例3 (1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cs α＝eq \f(1,3)，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cs β＝________.
(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________________．
答案 (1)eq \f(2\r(2),3) (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(9,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,2)，3))
解析 (1)因为a2＝(3e1－2e2)2
＝9－2×3×2×12×cs α＋4＝9，
所以|a|＝3，
因为b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×12×cs α＋1＝8，
所以|b|＝2eq \r(2)，
又a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)
＝9eeq \\al(2,1)－9e1·e2＋2eeq \\al(2,2)＝9－9×1×1×eq \f(1,3)＋2＝8，
所以cs β＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(8,3×2\r(2))＝eq \f(2\r(2),3).
(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角，
∴(2a－3b)·c＜0，
即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，
∴4k－6－6＜0，
∴k＜3.
又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－eq \f(9,2).
当k＝－eq \f(9,2)时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，
即2a－3b与c反向．
综上，k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(9,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,2)，3)).
思维升华 平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，要注意θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
②|a±b|＝eq \r(a±b2)＝eq \r(a2±2a·b＋b2).
③若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
(1)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝________.
(2)已知单位向量a和b满足|a＋b|＝eq \r(2)|a－b|，则a与b夹角的余弦值为( )
A．－eq \f(1,3) B．－eq \f(2,3)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
(3)在△ABC中，若A＝120°，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－1，则|eq \(BC,\s\up6(→))|的最小值是( )
A.eq \r(2) B．2
C.eq \r(6) D．6
答案 (1)9 (2)C (3)C
解析 (1)因为eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0.所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))2＋eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋0＝32＝9.
(2)由|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝eq \r(2)|a－b|，
得2＋2a·b＝2(1－2a·b＋1)，
即a·b＝eq \f(1,3)，cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,3).
(3)∵eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－1，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·cs 120°＝－1，
即|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，
∴|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝|eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))|2＝eq \(AC,\s\up6(→))2－2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))2
≥2|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|－2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝6，
∴|eq \(BC,\s\up6(→))|min＝eq \r(6).
题型三 平面向量与三角函数
例4 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为eq \f(π,3)，求x的值．
解 (1)因为m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，m⊥n.
所以m·n＝0，即eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x＝0，
所以sin x＝cs x，所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，
即eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x＝eq \f(1,2)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,2)，
因为0