高中数学高考黄金卷01（新课标Ⅰ卷）（理）（解析版）

黄金卷01（新课标Ⅰ卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵，

，

∴，故选A。

2．已知为虚数单位，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】，故选C。

3．设、、，则、、的大小关系为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】由已知得，，

由于，故，而，故，故选B。

4．有名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有(  )。

A、种

B、种

C、种

D、种

【答案】B

【解析】首先将甲排在中间，乙、丙位同学不能相邻，则两人必须站在甲的两侧，

选出一人排在左侧，有种方法，

另外一人排在右侧，有种方法，

余下两人排在剩下的两个空位，有种方法，

综上：不同的站法有种，故选B。

5．执行如图所示的程序框图，输出的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】根据程序框图可知：

6．已知数列满足，(，)。定义：使乘积为正整数的()叫做“幸运数”，则在内的所有“幸运数”的和为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】∵，

∴，

为使为正整数，即满足，则，

则在内的所有“幸运数”的和为：

，

故选B。

7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】由三视图可还原成三棱锥如图所示，

其中是边长为的正三角形，

作平面与点，

连接，交于点，则为的中点，

、、，

∴，故选D。

8．已知、满足约束条件，则目标函数的取值范围是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】

作图，令，则，做虚线，上下移动，

则过截距最大即，过截距最小即，

则转换为()，求值域，

∴，最小为，最大值为，故选D。

9．已知，则中的系数为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】，

则，

的通项公式，

则两个通项公式为，当时，

，当时，

则的系数为，故选C。

10．已知()关于对称，将函数图像向左平移()个单位后与

重合，则的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵关于对称，∴，即()，

又，∴，，

将向左平移个单位，，

此时与重合，

∴有()，∴的最小值为，故选A。

11．设棱锥的底面是正方形，且，，如果的面积为，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵，，∴平面，

∴面面，记是的中点，从而，

∴平面，，

设球是与平面、平面、平面都相切的球，

由图得截面图及内切圆，

不妨设平面，于是是的内心，

设球的半径为，则，设，∵，

∴，，，

当且仅当，即时等号成立，

∴当时，满足条件的球最大半径为，故选A。

12．设函数的零点为、、…，表示不超过的最大整数，有下述四个结论：①函数在上单调递增；②函数与有相同零点；③函数有且仅有一个零点，且；④函数有且仅有两个零点，且。其中所有正确结论的个数是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】，当时，，

∴函数在上单调递增，故①正确，

显然不是零点，令，

则在上，与有相同零点，故②正确，

在上，，

∴在上单调递增，在上也单调递增，

而、，∴存在，使，

又、，∴存在的，使，

∴在上只有两个零点、，也即在上只有两个零点到、，

且，故③错误、④正确，正确的命题有个，故选C。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设向量，，，若，则        。

【答案】

【解析】由已知得，解得，

则，，故。

14．已知函数()，若直线与曲线相切，则        。

【答案】

【解析】，设切点为，则切线斜率为，故，即，故，

令()，则，

∴当时，故在上单调递减，

当时，故在上单调递增，

∴，即有唯一实数根，∴。

15．已知数列、为等差数列，其前项和分别为、，，        。

【答案】

【解析】设，则、，

∴，

，

∴。

16．已知点为双曲线：(，)在第一象限上一点，点为双曲线的右焦点，为坐标原点，，则双曲线的离心率为        ；若、分别交双曲线于、两点，记直线与的斜率分别为、，则        。(本题第一空2分，第二空3分)

【答案】   

【解析】设，则，则，，

即，将其代入双曲线方程得：，即，

又，∴，即，

两边同除以得，即，

解得或，又，∴；

设，又，则，

将点、的坐标分别代入双曲线方程得，

两式做差得：，故。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

已知在锐角中，三个内角、、所对的边分别为、、，满足。

(1)求的值；

(2)若，求的取值范围。

【解析】(1)在中，，

由得：，又由正弦定理得：，          2分

即，    4分

即，解得，∴；                5分

(2)在锐角中，，，，

由正弦定理可得，                                        6分

∴

       ，             9分

∵，∴，而，，                   10分

又正切函数在上单调递增，∴，                       11分

从而，即的取值范围是。           12分

18．（12分）

“一带一路”为世界经济增长开辟了新空间，为国际贸易投资搭建了新平台，为完善全球经济治理拓展了新实践。某企业为抓住机遇，计划在某地建立猕猴桃饮品基地，进行饮品、、的开发。

(1)在对三种饮品市场投放的前期调研中，对名试饮人员进行抽样调查，得到对三种饮品选择情况的条形图。若饮品的百件利润为元，饮品的百件利润为元，饮品的百件利润为元，请估计三种饮品的平均百件利润；

(2)为进一步提高企业利润，企业决定对饮品进行加工工艺的改进和饮品的研发。已知工艺改进成功的概率为，开发新饮品成功的概率为，且工艺改进与饮品研发相互独立；

①求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率；

②若工艺改进成功则可为企业获利万元，不成功则亏损万元，若饮品研发成功则获利万元，不成功则亏损万元，求该企业获利的数学期望。

【解析】(1)根据样本的条形图可得：顾客选择饮品的频率为，

选择饮品的频率为，选择饮品的频率为，               2分

由样本估计总体可得总体顾客中选择饮品的频率为，

选择饮品的频率为，选择饮品的频率为，               3分

则可以得到总体的百件利润平均值为元；    4分

(2)①设饮品工艺改进成功为事件，新品研发成功为事件，

依题意可知事件与事件相互独立，事件为工艺改进和新品研发恰有一项成功，

则，                                 6分

②由题意知企业获利的取值为、、、，                          7分

∴，，

，，                          11分

∴的分布列为。            12分

19．（12分）

如图所示，在三棱柱中，四边形为菱形，， 平面平面，，，为的中点。

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成角的大小。

【解析】(1)∵四边形为菱形，，，                       1分

∴，∴，                                          2分

又平面平面，平面平面，

∴平面，                                                      3分

又，∴平面；                                        4分

(2)取的中点，的中点，连接、，

∵平面，∴平面，∴、，

又四边形是菱形，，是的中点，∴，

故、、两两互相垂直，                                            6分

以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

∴、、、，                         7分

由图可知，平面的一个法向量为，                              8分

设平面的法向量为，则，即，

取，得平面的一个法向量为，                          10分

设平面与平面所成角的平面角为，

则，                     11分

又∵，∴，∴平面与平画所成角为。             12分

20．（12分）

已知抛物线：的焦点为，点，圆()与抛物线交于、两点，直线与抛物线交点为。

(1)求证：直线过焦点；

(2)过作直线，交抛物线于、两点，求四边形面积的最小值。

【解析】(1)由题意，设、，直线的方程为，

联立得，                              2分

由题意可得，该方程有一个根为，

由韦达定理得，则，∴，

则直线的斜率为，直线的斜率为，          4分

∴，故、、三点共线，∴直线过焦点；                   5分

(2)设直线方程为，则直线的方程为，               6分

联立得：，

设、，则，

∴，同理可得，                        10分

∴四边形面积为：

，

当且仅当时，四边形面积取得最小值，最小值为。              12分

21．（12分）

已知函数。

(1)当时，判断函数的单调性；

(2)若函数有两个极值点，求正整数的最小值。

【解析】(1)当时，，定义域为，

则，                                            1分

设，定义域为，则，                     2分

令得，

当时，则在上单调递增，

当时，则在上单调递减，

则在处取极大值也是最大值，，                     4分

故当时，恒成立，当且仅当时取等号，

∴在设单调递减；                                               5分

(2)若()有两个极值点，

即()有两个极值点，

即有两个异号零点，

等价于函数的图像与直线有两个交点，                 6分

∵的定义域为，

，                                  7分

设，∴，故在上单调递增，

而，，故存在，使得，          9分

则在上单调递减，在上单调递增，

则，                              10分

若函数的图像与直线有两个交点，则，                    11分

当时，，∵，。                            12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为。

(1)写出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

(2)已知点、，直线过点且与曲线相交于、两点，设线段的中点为，求的值。

【解析】(1)由直线的参数方程消去，

得到直线的普通方程为：，                        2分

由得，

∴曲线的直角坐标方程为，                                       4分

(2)由题意可知直线必过点，∴，∴，       5分

∴直线的参数方程为(为参数)，                                   6分

代入中得：，

设、、点所对应的参数分别为、、，                              8分

∴，∴。                                        10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数。

(1)若，解不等式；

(2)对任意满足的实数、，若总存在实数，使，求实数的取值范围。

【解析】(1)当，，即或或，      2分

解得或或，                                     3分

∴，即不等式的解集为；                       4分

(2)根据题意得的取值范围是值域的子集，                         5分

∵，由基本不等式得：

，             7分

当且仅当、时等号成立，

∴的取值范围为，                                        8分

∵，∴的值域为，

∴，∴，即实数的取值范围为。                       10分